Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002 (1123213), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Во второй половине ХХ века стало понятно, что в автономнон системе третьего и более высокого порядка возможны квазнстохастическне режимы. Впервые этот вывод для некоторых механических систем сделал еще на грани Х1Х вЂ” ХХ веков французский математик йнрн Пуанкаре. В книге «Наука и э«епюд» в 1908 г. он писал: «В неустойчивых системах совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительные действия, которые мы не в состоянии предугадать... Предсказание становится невозможным, мы имеет перед собой явление случайное.ь Однако большинством физиков этот результат был воспринят как курьез, и прошло более 70 лег, пока метеоролог Лоренц (Ьогепх, 1963) не обнаружил, что даже простая система из трех нелинейных дифференциальных уравнений: (10.1) х —.
пу — пх, у.—.. «х — р — х., й —.. ху — йх может привести к хаотическим траекториям (рис. 10.1). Рис. 10.1. Хаотические траектории в системе Лоренца. В последующие десятилетия значимость работы Лоренца стала общепризнанной. Он открыл один из первых примеров детерминированного хаоса в диссипативных системах. Хаотическое поведение затем было обнаружено при расширении их размер- 166 Лекаил 10 ности в большинстве классических моделей биологических систем, имеющих колебательные решения, в том числе в моделях взаимодействия видов, моделях гликолиза н клеточного цикла, моделях ферментативного катализа и других.
Некоторые из этих моделей мы рассмотрим в дальпейшекь Хаотическое поведение в таких системах возникает ° не из-за внешних источников шума 1их нет в системе Лоренца); ° не из-за бесконечного количества степеней свободы (нх три в системе Лоренца); ° не из-за неопределенности, связанной с квантовой механикой 1рассматриваемые системы чисто классические).
Настоящая причина нерегулярности определяется свойством нелинейных систем экспоненциально быстро разводить первоначально близкие траектории в ограниченной области фазового пространства. Механической системой такого типа является биллиард Синая, у которого стенки выпуклы внутрь, отчего отражение шара от стенки приводит к большому 1экспоненциальному) разбеганию траекторий при малых отклонениях угла падения. То же происходит прн рассеивании частил на круглых шарах. В таких системах траектория частицы становится непредсказуемой на больших време- К такому типу процессов относятся жидкости вблизи порога возникновения турбулентности, приборы нелинейной оптики 1лазеры), некоторые химические реакции, метеорологические процессы, движения горных масс при землетрясениях.
1( яим относятся и многие биологические процессы в достаточно узкой области значений параметров. Изучение роли динамического хаоса в организации биологических процессов одна нз актуальных задач математической биологии. Необходимым (но не достаточиным) условием существования динамического 1детерминированного) таиса лвллетсл НЕЛИНЕЙНОСТЬ. Линейные дифференциальные и разностные уравнения могиле быть решены преобразованием Фурье и не приводят к хаосу.
Понятие «хаотическое поведение» означает неустойчпвостпь фазовых п«раекторий, рост малого начального возмушеи л во времени, пере,мещивание элементов фазового обеема и, каь следсп«вие, непредсказуемость поведения систел«м нсс больших временах. Важно, что такого тапа режимы обнаруживаются в детерминированнъ~х системах, где однозначно задан закон изменения системы г, течением времени. Детерминированность означает, что зависимость будущего состояния х(г) можно записать в виде: (10.2) .Р) — — Г'.
(1о)1. Здесь Г -- детерминированный закон (оператор), который осуществляет строго однозначное преобразование начального состояния хаасс) в будущее состояние х11) для любого 1 ) 1о. Частный случай такого закона мы видели в лекции 3, когда изучали дискретный аналог логистического уравнения. При некоторых значениях параметра эта система демонстрировала квазистпохастическое поведение. Мы видели., что траектории системы при этом приобретали слон«ный непериодический характер.
И попытки воспроизвести начальную реализацию приводилн к непредсказуемым результатам. 1(ак в случае истинно хаотического броуновского движения, с каждой новой реализации при тех же начальных условиях 1в пределах возможной точности!) мы получали 167 Динамический хаос. Модели биологических сообществ другие сложные траектории, даже близко пе напоминающие >трус друга. На самом деле, если бы начальные значения воспроизводились с абсолютной точностью, гложная траектория такгке бы повторилась. Но в области детерминированного хаоса траектории являются неустойчивыми по отношению к малым отклонениям.
Поэтому дажо малейшие отклонения, допускаемые компьютером, приводят к разбеганию. Этим и объясняется название «детерминированный хаос», объединяюгцее два несовместимых представления детерминированность (однозначную определенность) и непредсказуемость поведения. Для понимания свойств детерминированного хаоса вернемся к определению основных понятий теории динамических систем. Устойчивость н неустойчивость В лекциях '2, 4 мы рассмотрели понятие устойчивости стационарного состояния по Ляпунову. Однако устойчивостью и неустойчивостью характеризуются не только состояния равновесия, но любые фезовые траектории.
Существует несколько пояятий устойчивости движения: устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость, орбитальная устойчивость, устойчивость по Пуассону. Для у«:тойчивого по Ллпуноеу движения '.«алое начальное возмущение не нарастает. Т.е. движение. устойчиво по Ляпунову, если для любого г > О можно указать такое банг), что для всякого двиокения х(г), длл которого ~~ха«) — х" (1)~~ < б, при всех б > !е выполняется неравепстоо хЯ вЂ” х*(г)~( < «. Знак ~~: означает норму вектора. Если малое начальное возмущение б не только не нарастает, а со временем стремится к нулю, то есть ,'х11) — х*(г); — О при 1 — оо, то движение обладает более сильным свойством асимппютической устойчивости. В понятии орбитальной устойчивости рассматривается не расстояние между точками исходной и возмущенной траекторий в один и тот же момент времени, а минимальное расстояние от изображающей точки возмущенной траектории до орбиты Г*, соответствующей исходному.
движению. Орбитально устойчивое движение может не быть устойчивым по Ляпунову. Усгпойчиеость движения по Пуассону предполагает, гто соответствуюилая фазовая траектория при ! — 1 сю не покидает ограниченной области фазового пространства. Находясь в этой области бесконечно долго, она неизбежно будет возвращаться в сколь утодно малую окрестность начальной точки. Времена возврата июгут соответствовать периоду или каазипериоду при регулярном движении, а могут представлять собой случайную последовательность, если решение отвечает режиму динамического хаоса. Предельные множества Понятие предельного множества играет важнойшую роль в нелинейной динамике.
Изучая некоторые модели биологических гнетем, мы уже сталкивались с несколькими типами предельных множеств. В первую очередь, с устойчивыми стационарными состояниями типа устойчивый узел и фоку«, а также с устойчивыми замкнутыми фазовыми траекториями предельными циклами (лекция 8). В динамических системах третьего порядка, кроме этих двух типов, возможны тороидальныо предельные множества, соответствующие квазицериодическим фазовым траекториям, и еще более сложные хаотические предельные множества.
Пусть в момент времени «а гогтояние системы определяется век>'ором хе, а в момент ! .—. вектором х!г) = Та«хе, где Та« --. оператор эволюции на интервале «л! = ! — !е. 168 .!Еекеил !О Если в фазовом пространстве существуют два множосгва г и 1 й '»'. такие, что для любого начального состояния хе ~ Лг при ! -« оо нли прн ! — — оо,начиная с определенного момента времени х!!) е Е, то тогда Е называют предельным множеством динамической системы. Таким образом, под действием оператора эволюции все точки системы в пределе переходят в точки предельного множества. Е«щн все точки множества 1г будут принадлежать Е прн ! — оо, то Е притягивающее предельное множество, иаи аттрактвр.
Тогда 1' -- бассейн притяжения аттпракпзора (подобно бассейну реки территории, .с которой опа собирает свои воды). Если все точки множества 1' будут принадлежать Е при ! — оо, то Е -- отталкивающее предельное множество, или репеллер. Если множество Г состоит из двух подмножеств Лг = 1Лгз С 1Л'", причем точки, принадлежащие И~«, стремятся к Е в прямом времени, а точки, принадлежащие Иг", стремятся к Е н обратном времени. тогда Е называется седловим предальним множеством (или седлом). Множества 1Лг«и И™ "- устойчивое н неустойчивое многообразия седла.
При инверсии времени (такую возможность предоставляют большинство современных математических пакетов для визуального решения дифференциальных уравнений) аттракторы системы становятся репеллерами, репеллеры -" аттракторами, а у седел меняются ролями устойчивое н неустойчивое многообразия.
!»1ы знакомы с простейшими предельными л«ножестваын динамической системы-- состояниями равновесия (лекция 4). Устойчивый узел н устойчивый фокус являются аттракторами, неустойчивый узел и неустойчивый фокус репеллерами. Седлами являются простое седло, рассмотренное в лекции 4, и седло-фокус, реализуемый в фаювом пространстве с размерностью !У > 3 1рис. 10.2). ф Рис. 10.2. Седло-фокусы в пространство !У! = 3.
а) р| — действительно и отрицательно, рз, »в комплексно сопряженные, мерз,з > О: б) р~ — действительно н положительно, р,з -- комплексно сопрюкенные, Керз, з ( О. Точка типа «це>«тр», которую мы рассматривали в простейшей вольтерровской системе «хищник-жертва» (лекция 5), не является нн аттрактором, ни репеллером, нн седлом, так как не существует множества точек, стремящихся к центру в прямом или обратном времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
