Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002 (1123213), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Любав со ска внутри сферы харакшризует малое отклонит!с от начального сосзояиия. Применим оператор зволюции н цосмо(рим за трансформацией зтого ма.,юго ооъема во с»ремевн. Вс.ш сис!ема устончнва, любое мсонсе отклонение со временем будет затухать, шарик радиуса '.. буде! уме!и пцыься со временем н в пределе прн 1 — зс схго радиус уменыннтся до нуля. Такая !рансформацня обьема фазового пространства изображена на рнс.
1ОА в слу шях устойчивых режимов рс»гулярных (лтракторов 1, 2. 3. 11а рис. 10.6 представлено посыедователыюе сжатие первоначальной области неопределенное с и фазового объема ралвусн в стлучас, когда устой!васю с!1кс!ел!»е!се мю !жество представляет гобой пределынсй пикл. Рис. 10.6. Солтис (меме!на фасоаого пространства радиуса .. Ирн си!считывании» чраекс орин на устой швмй аре,.рсльный (искл -- троек нсряя Г. (Анни(си!ко и др., 1999.) 1 не. 10.7. Дсг!есноасн(1(аваев(! (й коси! э .(15схх!ернссй системе (!0.12).
(1»азовая траектория,хси значений паране!рон т .— — 1,5., д — —. 0,2, (.1»нии(евк(5 и др,. 1999.) Д!я неуст ой чи Вьсх режиьюв д(11!о н)5онсх»1дпт (шо51(иее. 11( тсс ! ойчнвость О(жима В(- д(т к росту возмтшенвй. Но е( !и снос(ма!!Исси!Юс непа, не!анисах!о оз то! о, утт(1й и!На нлн нсустой нсна гвстсма, прон(1х(сдвт умецыпес(ис злснснта фазового обвес(а во врет!е.
ни, что связано с потерями енк1ргии. Это значит( что злемент фазового пространства по одним направлениям растягивас»ня (что соснвстс'нсует поскнкшельным нокюаселям Лак<<и<к 10 Рг<с. 10,8. Перез<ешивание в квазисгохасти <еской <истек<е. Эволюция малого первоначального фазового объема во аремеин в гдгнамвческои сясм мо <10.12). <Анищенко я ць, 1999.) Ляпунова), ,а по друтим - сжимается. Причем степень сжатия превалирует над степенью расширения. Пример такой трансформации д»я <<и темы, описывгиогцей радиотехническое устройство (х<одифицированный< генератор г инерционной нелинейностью) продсталили В. С. Анин<о<и<о с соавторамн н кеше ~Н<лннсйная дицамика хаотических и стохастичесьих си< теми Модгчь генератора описьгнается системой уравнений: .г =.
тя 1 р — згп —. яч ) 1. з > О. 1~ гъ.е г ~ О. х.-" О. )10.12) При определ<'нных значениях параметров система дом<ни трирует квазястохастическог поведение <рг<с. 10.7). Рисса<отрим, как будет с<бя а<с< и милыя <))гш<зиь~й ооы. «радиуса е., он)~1»ин<»ций начни<ьнук1 точку, для такой квкзпстохастической сцстемы.
Речу.п таты компьютерного моделирования иредставлю<гя на рнс, 10,8, Динамический хаос. Иобели биологических сообщаете 173 Размерности аттракторов Важной отличительной чертой странного аттрактора является его сложная геометрическая структура, Характеристикой геометрической структуры является размерность, которая зависит от метрических свойств аттрактора. Такую размерность пазьшшот фрактальной размерностью.
Размерность, определяемук> с учетом вероятности посещения траекторией различных областей аттрактора в фазовом пространстве, называют информационной. Она зависит от статистических свойств >ютока, о»ределяе»>ого динамикой системы, и может оыть оценена из спектра ляпуновских показателей. Введем определение фрактальной размерности Рк произвольного предельного множества С в >че-и>ерном фазовом пространстве по Колмогорову . Хаусдорфу: Рр =-!пп[ 1 1и >»>'(е) (10.13) Здесь ЛХ минимальное число Ж-мерных кубиков со стороной е, необходимых для покрытия всех элементов множества 1>.
Если это определение применить для вычисления размерности точки, линии и поверхности, мы получим привычные,чля нас величины О, 1, 2. Для геометрически сложных множеств размерность (10.13) может оказаться дробной. Примером множества дробной размерности является канторовское множество, описанное в прило>кенни. Вычисленная по формуле (10.13) размерность канторовского множества: И, — й ['и'] =0.03. !п3 Мы уже видели на примере преобразования подковы Смейла, что стршшые аттракторы имеюг структуру типа канторовской. Информационная размерност> 1>> определяется следующим образом: м1«1 !2> 1>ш " г (е) Е > о 1п(1>>е) (10.14) Здесь 1( ) -- количество информации, необходимое для того, чтобы определить состояние системы в пределах точности е, М(е) число куоиков, со стороной е, покрывающих аттрактор, Р, вероятность посещения фазовой траекторией >иго кубика.
Видно, что со временем имеет место растяжение в некоторых направлениях и сжатие в других. Спустя некоторое время точки траекторий, начинающихся в элементе 1, можно обнаружить в любой части фазового пространства, занятого аттрактором. Процесс перемешивания имеет простую аналогию. Поместим в жидкость, находящуюся в сосуде, капельку чернил и будем жидкость перемешивать. В силу «неус>ойчивости» капли молекулы чернил под влиянием потоков жидкости скоро «разоегутся» по всему обьему. Их траектории будут представлять собой хаотические траектории.
Если нсе в сосуд поместить твердую частицу, молекулы вещества будут перемещаться по влиянием потока жидкости тоже по сложной траектории, по не удаляясь друг от друга (траектория устойчива). 176 Лекция 10 Поскольку для малых еГЯ = >'.» 1п(1>е), размерность 19> характеризует скорость возрастания информации с уменьшением е. Существует также понятие ляпуновской размерности, которая позволяет выразить величину размерности через значения характеристических ляпуновских показателей.
После определения характерных свойств и разработки методов диагностики явления детерминированного хаоса оно было обнаружено практически во всех областях науки. Мы рассмотрим некоторые примеры моделей квазистохастического поведения биологических систем. Стационарные состоянии и динамические режимы в сообществе из трех видов Для системы из трех видов в случае разветвленной трофической цепи лаже исследование автономной локальной системы становится чрезвычайно сложным. Здесь отступление от вольтерровской схемы и у >ет биологических факторов, влияющих на динамику численности сосуществуя>щих популяций, приводят к большому разнообразию модельных систем. В работах А.
Д. Базыкина, А. И. Хибника, Т. И. Буриева (1985) проведено качественное исследование систем, состоящих из трех видов, и получены полные наборы двухмерных срезов параметрического портрета и фазовых портретов для сообществ два хищника-жертва и две жертвы-хищник. При исследовании последней системы получены результаты, свидетельствующие о стабилизирующей роли хищника в таком биоценозе. Если в отсутствие хищника, в соответствии с теорией Гаузе, сосуществование двух видов жертв невозможно, то при наличии хищника в системе при разных значениях параметров возможны следующие разнообразные режимы 1Базыкин, 1985). 1. Глобально притягивающие режимы: а) одна популяция без хи>пинка; б) одна популяция жертвы с хищником; о) стационарное сосуществование трех популяций. 2.
Триггерные реэн:имки а) в отсутствие хищника либо одна, либо другая популяция жертвы; б) либо одна популяция жертвы сосуществует с хнпщиком, либо другая существуе> без хищника; о) с хищником сосуществует либо одна, либо другая популяция жертвы; г) устойчивое п>ацнонарное сосуществование всех грех популяций либо существование одной из популяций жертвы в отсутствие хищника и конкурента; д) то жс, по сосуществование всех трех видов возможно лишь в автоколебательном режиме. Отсюда следуют интересные результаты, касающиеся условий сосу.шествования популяций.
1. Введение в сообщество хищника может обеспечить устойчивое сосуществование конкурирующих видов жертвы, невозможное в отсутствие хищника. Сходный резу.льтат был получен В. В. Алексеевым (1975) при анюшзе систем с ограничением по массе. 2. Рехги» сосуществования всех трех популяций люлгет быть либо глобально устойчивым, либо иметь в фазовом пространстве границу области притяжения (триггер- ность).
3. Сосуществование всех трех видов может происходить в стационарном или автоколебательном режиме в отсутствие каких-либо специальных дестабилизнрук>щих факторов (в силу автономных свойств системы). Динамический хаос. Мебели биологических сообилесгав и 4О 40 го 20 0,5 1 и > 0,5 и 4О го го 1 и, 1 и, О,5 В с»ютемах, состошцих из хищника и двух жертв при наличии внутривидовой конкуренции между жертвами при изменении параметров системы, возмолсны бифуркационные явления, приводящие к появлен»по квазистохастических режимов. Примером такой системы, обладающей различными типами поведения в зависимости от соотношения параметров, является рассмотренная Л, Д.
Базыкиным с сотрудниками модель хищник — две жертвы: Й>,> с>'е .=. и>(о> — и> — бив — 4> ), а>из й = иг(ог -.ив — и> — 10и), (10.15) с(из Ж = из(1 — 0,2би> — 4из — и). Здесь и>, ив безразмерные численности жергв, и безразмерная численность хищников, ог, оя параметры, соответствующие скоростям роста численностей жертв. В такой системе наряду с устойчивым состоянием равновесия возможны колебательные изменения численностей всех трех видов. В некоторой области параметров в системе имеется предельный цикл сложной формь>. При улгеньшении гез наблюдав>та серия последовательных удвоений цикла (рис. 10.9 а- в). В некотором диапазоне значений ов, пз резуль штов численного эксперимента видно, что траектория системы полностью заполняет некоторый фазовый объем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
