Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002 (1123213), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Это особый случай предельного множества, для которого à — -- Е. Такая особая точка является негрубой. Предельное множество в виде замкнутой кривой также может быть аттрактором устойчивый предельный цикл, репеллером неустойчивый (схь лекцнк1 8). Седповые предельные циклы су.ществуют лишь в фазовом пространстве размерности Х > 3. 169 Динамический хаос. ЛХодгли биологических оообп1оото Таким же образом подразделяются торондальпые предельные множества, соответствующие квазипериодическим колебаниям с двумя несоизмеримыми частотами. Седловые торы существуют в пространстве Х > 4.
Все перечисленные предельные множества представляют собой простые в геометрическом смысле множества —. точка, кривая, поверхносгь .— целой размерности (О, 1, 2). Их называют регулярными, Отметим, что с увеличением рснмерности фазового пространства старые типы предельных множеств, присущие пространствам малой размерности, сохраняются и появляются новые.
В системах с размерностью фазового пространства гг > 3 возможны установившиеся изменения переменных, не являющиегя ни периодическими, ни квазипериодическими. Таким хаотическим изменениям переменных соответствуют аттракторы, представляюпше собой геометрически сложные множества дробной размерности, названные ххаотическими аттрпкторамим Пример одной из классических систем, демонстрирующих детерминированный хаос, представляет система Ресслера: (10.3) Траектории системы (10.3) напоминают клубок спутанных ниток (рис.
10.3). Рис. 10.3. Внд проекций фазовой траектории на странном аттракторе в системе Ресхлера. Линейный анализ устойчивости траекторий Линейный анализ устойчивости траекторий проводится подобно тому, как мы проводили линейный анализ устойчивости стационарных состояний в лекции 4. Поскольку мы анализируем малое возмущение, можно линеаризовать оператор эволюции в окрестности исследуемой траектории и провести линейный анализ ее устойчивости. Для автономной динамической системы й =-.
Г(л, о) я —. вектор переменных, а -- вектор параметров, г -- вектор-функция с компонентами Д. 11ас интересует устойчивость решения те(1). Введем малое возмущение у —. л(1) — ав(1). Для него можно записать ~(, о+,) ~(, е) 170 Лес йия 10 Раскладывая Е(ло + у) в ряд в окрестности та и учитывая малость возмущения, получим линеаризованное уравнение относительно у: у =- А(1)у, (10.
4) где А -- матрица линеаризации системы с элементами аг,ь — --, 3., к = 1, 2, гЛс. дгг аль ~» Матрица А характеризуется собственными векторами е, и собственными значениями р,: Ае,=ре,, 1=1,2,...,Х. (10. 5) Собственные числа являются корнями характеристического уравнения с1ег,[А — рЕ[ .=. О, (10. 6) где Š— - единичная матрица. Начальное возмущение с течением времени будет меняться в соответствии с эволюцией вектора у'(1) = у'(Р) ехр р,(1 — 1*). (10.7) Будет отклонение уменьшаться или нарастать, определяется значением действительной части р,.
Элементы матрицы А со временем могут меняться. Соответственно меняются ее собственные вектора и собственные значения, в том число может меняться знак действительной части р,. Необходимо понять, чго происходит с возмущением в пределе при 1 — ~ ж. Для общей характеристики устойчивости траектории по отношению к возмущению вдоль 1-го собственного вектора используют величину, называемую характериети«еским пои заспелем Ляпунова: Л, = 1пп 1п~ ,у'(1)[. г — 1о (10.8) Для гЛс-мерной задачи устойчивость траектории характеризуется набором Ас ляпуновских характеристических показателей. Они связагсы с собственными значениями матрицы линеаризации соотношением: Л, = !пп Ве р,(Г') с(!'. с х! — !о у (10.9) 'Таким образом, ляпуновский показатель это усредненное вдоль исследуемой траектории значение действительной части собственного значения р, матрицы линеаризации.
Ъстойчнвость траектории по Ляпунову означает, что произвольное начальное возмущение у(1в) в среднем вдоль траектории не возрастает. Для этого необходимо и достаточно, чтобы спектр ляпуновских показателей Л, не содержал пологкительных показателей. 171 Динамический хаос. Модели биологических сообилеств Диссинативныс системы В физике системы приняго подразделять на консервативные и диссипативные.
В консервативных системах энергия сохраняется 1маятник без затухания). В диссипативных системах энергия со временем умецьшаотся (маятник в вязкой среде). Для того чтобы диссипативная система поддерживала непрерывное движение (например, автоколебапия), необходимы источники энергии. Биологические системы по своей природе являются диссигсативными.
Поэтому. их модели принципиально нели нейнас Существование аттрактора в диссипативной системе связано со свойством сжатия элемента фазового ооъема под дойствием оператора эволюции. Рассмотрим ллно>кество точек, заполняющих элемент объема сл)с', и множество фазовых траекторий, стартующих из этих точек в момент времени 1о 1рис.
10,4). Странный аттрактор Двумерный тор <~~м в 11Р(У)о Предельный цикл ° Л)> — + О Точка покоя Рис. 10.4. Сжатие элемента фазового объема в разные типы аттракторов. С течением времени объем сл1' меняется по закону: ~1'(1) = 11Г(1о) ехр)(1 — 1о)с)1 Е(х(1))1, где г (х1с)) поле фазовых скоростей (поток) динамической системы. Черта сверху означает усреднение вдоль фазовой траектории.
Если в среднем дивергенция потока отрицательна, а это всегда выполняется для систем с потерями, то элемент фазового объема ЬГ в пределе при 1 — > ос стремится к нулю. Это означает, что рассматриваемое множество фазовых траекторий, которые берут свое начало в >л)с. стремится попасть на некоторое предельное множество, разллерность которого меньше размерности Х фазового пространства системы. Леан 1Р На рис. 4.10 нарисованы различные типы аттракторов, в которые может перейти элемент фазового пространства размерности 3.
Это точка покоя (1), предельный цикл (2), двумерная поверхность тора (3), и, наконец. хаотический аттрактор (4). Средняя вдоль траектории дивергенция потока н, следовательно, эволюция элемента фазового объема определяются суммой ляпуновских показателей: ге Л, = 1пп / ЖлгГ(Г') с(1'. 1 — "в,/ г=3 0 (10.10) Дая фазовых траекторий на аттракторе должно иметь место сжатие элемента фазового ооьема. Соответственно, дивергенция потока вдоль траектории отрицательна, а значит,ляпуновские показатели удовлетворянлт неравенству Лг <О. (10.1Ц г -и Хаотические аттракторы имеют по крайней мере один по.чожительный ляпуновский показатель.
Если траектории на аттракторе имеют более чем одно направление неустойчивости, хаос называется винертавсвеь Устойчивость хаотических решений Фазовые траектории, принадлежащие регулярным предельным множествалл аттракторам -- устойчивы по Ляпунову, а принадлежащие репеллерам и седлале— неустойчивы. Для хаотических траекторий это пс так. Хаотическая траектория обязательно неустойчива хотя бы по одному направлению.
Значит, в спектре характеристических показателей Ляпунова обязательно присутствуют положительные величины. Неустойчивость фазовых траекторий и притягивающий характер предельного множества не противоречат друг другу, так как фазовые траектории, стартующие из близких точек бассейна притяжения, стремятся к аттрактору, но на аттракторе разбегаются. Траектории на хаотическом аттракторе неустойчивы гю Ляпунову, нв уствйчивы пв Пуассвггу.
Такое поведение возможно лишь на множествах, обладаюшпх сложной геометрической структурой. 11редставление о том, как формируется структура хаотического аттрактора, дает рассмотрение предельного множества, возникающего в втвбраагсении подковы (вгпвбражении Схгвг1ла) (ряс. 10.5). Рис.
10.5. Вогзникновепие странного аттрактора в отображении подковы (Смейла). Единичный квадрат сжимается по одному направлению и растягивается по другому, причем площадь при этом уменьшается. Затем получившаяся полоска изгибается в 173 д(15(а»си !Сский хаос. Модели бис»савич(с!Ния сооаисосто форл!е подковы и вкладьцсается обратно в цсходный квадрат. Эта, процедура повторяется много раз.
В пределе обрасустся множсство с нулевой плосцадыо, кслорск' имеет с, попере !ном сс"!епни ла!г!пороой сну!йкай!ру (см. приложение). Отметим, что с тоокнсх ть гсометрп !вской структуры штрактора может н ие сопровождаться неустойчивостьк1 траекторий на нем. Перемешнванне Непредсказуемость поведения системы в области кишамического хаоса связана с неуссОЙ'!И!сессию (!и и!Ыы но 01ношс!ник1 к ма тын отк1онгни5(м на !а1ьпон1 сос1оеснпя. Эт(5 о(н!11'нсет, что мы до'1жпы аналичпроват1* ЭВолеоцию Во гр(хц!Ни пс» начнлыюй !очки, .а на шлынпо объс.ма вокруг втой то !ки. 1 ассмотрим ш1лс'ЕО Сф('ръ' радНКСН С ) О, окртжаюсцуЮ пачалы!(К' с:ОсстО51вне Хи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
