Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002 (1123213), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Если объем культиватора равен Г, а скорость притока у, то величина, .называемая разбавлением, определяется как т'.с —... )УЪ', и согда скорость вымывания микроорганизмов из культиватора (11.2) Рис. 11.2. 1 — регулятор, 2 — поступление субстрата, 3 — отток (вымывание) смеси субстрата н биомассы. 4 . культура внутри культиватора, 5 — мешалка.
Без учета вымывания клеток рост биомассы описывается уравнением; — —... рх. И~ с!1 (11.3) При неограниченных ресурсах питательных веществ величина д постоянна, и уравнение (11.2) описывает экспоненциальный рост популяции клеток. Если же какие-либо причины начинают лимитировать рост, величина д будет уменьшаться. Для микробиологических систем обычяо величина, лимитирующая рост, — это концентрация субстрата. Наиболее распространенная форма записи, учитывающая насыщение скорости роста культуры по питательному субстрату, предложена Моно: 0 К Рис. 11.3. 1'рафик зависимости скорости роста от концентрации субстрата в соответствии с формулой а ми Моно (11.4). Здесь рос максимальная скорость рост кроорганизмов при данных условиях; Ля константа, численно равная концентрации субстрата, при которой скорость роста культуры равна половине максимальной.
График функции величины скорости роста от концентрации субстрата приведен на рис. 11.3. 194 Вид уравнения Моно аналогичен формуле Михаэлиса — Ментен из ферментативной кинетики. И это не только формальное сходство. В основе жизнедеятельности любой клетки лежат ферментативные процессы. Скорость роста биомассы в конечном счете определяется скоростью переработки лимитирующего субстрата ферментом узкого места в метаболической сети. Пусть концентрация фермента на единицу биомассы равна Ео.
Тогда, по закону Михаэлиса, скорость переработки субстрата единицей биомассы определяется формулой: 1 сИ ЬЕоБ л(г К -я' (11.5) Здесь К,,„— константа Михазлиса, й константа скорости реакции. Вся биомасса концентрации т обладает количеством фермента Евю. счедовательно,. суммарная скорость убыли субстрата равна а ЙЕОЯх пй К,„— Я' (11.6) Предпологкиьь что прирост биомассы пропорционален убыли субстрата: (11.7) Обозначив Ке .— — К и р, .— —. 1Ео1'о, получим формулу (11.4).
В формулах (11.4) и (11.6) имени си важные различия. Формула Мпхазлиса — Ментен (11.6) относится к отдельной ферментативной реакции, все входящие в нее константы выражаются через скорости соответствующих биохимических реакций. В формуле Моно (11.4) константы скоростей Кэ и й„, являются эффективными величинами и определяются по эмпирической зависимости скорости роста культуры от конпентрации питательного субстрата. При моделировании конкретной культуры микроорганизмов часто нелегко выделить лимитирующий фактор. Здесь может играть роль соотноп|ение коэффициентов растворимости различных веществ или проницаемости мембран клеток по отношению к этим веществам. Только специально поставленные эксперименты могут выделить управляющее звено лимитирующий субстрат, который входит в формулу (! 1.4).
В стационарном состоянии процессы размножения популяпии и вымывания должны быть уравновешены. При непрерывном культивировании подбором скорости протока можно стабилизировать скорость роста популяпии в любой точке на восходящей ветви кривой роста популяции. Для этого применяются различные способы управления скоростью протока. Основное их свойство обратная связь между приростом концентрации биомассы и удалением части популяции нз ферментера.
В различных культурах применяются разные физико-химические методы поддержания плотности культуры на разном уровне: турбидостатный, основанный на регулировании оптической плотности культуры, рН-статный для процессов, в которых имеется связь между приростом биомассы и изменениями рН, оксистатный — для аэробных микроорганизмов. Эти способы управления дают возможность поддерживать культуру в условиях нелимитированного роста, когда скорость прироста биомассы определяется лишь собственной генетически обусловленной способностью популяции к размножению. При этом достигаются очень высокие скорости, которые особенно важны при изучении микроэволюционных процессов.
Например, бактерии могут размножаться в турбидостате со скоростью, соответствующей средней продолжительности поколения, .-- около 5 мин. 195 Моделирование микрвбн»ел пвпуллций Для поддержания культуры в области нелимитированного роста требуются внешние регуляторы. В случае лимитирования роста внешним фактором, например, недостатком субстрата, сташлонарный режим работы культиватора устанавливается путел« саморегуляции.
Это имеет место в природньж проточных системах и в наиболее распространенном типе непрерывных культиваторов -- вел»ос»пате, где задается скорость разбавления культуры,или скорость протока. Наиболее устойчиво работает хемостат в пределах скорости протока, малых по сравнению с максимальной удельной скоростью роста культуры.
В ооласти сравнимых значений этих величин система становится неустойчивой: малые колебания скорости протока могут приводить к заметным изменениям конпентрации биомассы и даже к вымыванию культуры из культиватора. Теория хемостата впервые была разработана Моно (1950) и Гербертом (1956) и с той норы постоянно совершенствуется.
Однако основы ее остались незыблемыми. На них мы и сосредоточим свое внимание. Модель Моно Прн непрерывном перемешиваиии можно считать весь объем кулыиватора однородно заполненным, концентрации субстрата и клеток в каждой точке культиватора одинаковыми гл описывать поведение этих концентраций во времени с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений: — — — УФ) --Р(х) «Ы — = РБв — одФ)х — Х% гЮ «1« д(Я вЂ”вЂ” (11.8) т' — -- ох(Ез, у — — Б~Ея: уо — -- $в~Кн,. 1' =- 1у: Р' — -- Рг'у Штрихи у новых переменных опустим.
В новых переменньж система имеет вид: —, — -1(у)х- Рх, —,,', — -- д(у) - Р(ув-- у), д(у) =, (П.9) Йх «У У Здесь Я вЂ” концентрация субстрата, х концентрация клеток в культиваторе, Яе — концентрация субстрата, поступившего в культиватор, Р— скорость протока (разбавления) культуры о г «экономический» коэффициент, показывающий, какая часть поглощенного субстрата идет на приращение биомассы. Поясним смысл членов, входящих в правые части уравнений. В первом уравнении: д(Я)х прирост оиомассы за счет поглощения субстрата, — Рх отток биомассы из культиватора.
Во втором уравнении: -ад(Я)х количество субстрата, поглощенного клетками культуры, РЯв приток субстрата в культиватор, -РБ — отток неиспользованного субстрата из культиватора. Скорость роста биомассы предполагается зависящей только от концентрации субстрата в соответствии с 4юрмулой Моно (третье уравнение). Исследуем тип стационарных регкимов и переходных процессов в культиваторе, используя методы, изученные в лекциях (3 — 5).
Введем безразмерные концентрацигл, врел«я и скорость протока: 196 Лсвц П Найдем стационарные концентрации биомассы и субстрата. Приравняем правые части уравнений нулю: ( У вЂ”. Р)и="О, .- У л "Р(у .-у) =.О. (11.10) Система алгебраических уравнений (11.10) имеет два решения, следовательно, система дифференциальных уравнений (11.9) имеет два стационарных состояния: (11.11) аз=О, У~=Ус:, Р = уев (11.12) Р< =Р. 1 — Уо (11.13) Граничное значение скорости протока называется скоростью вымывания. В размерном вине его величина равна: Дч УО Кя тэ уо' (11.14) При скоростях протока, больших Р„прирост биомассы не может компенсировать ее отток и культура полностью вымывается из культиватора. Определим характер устойчивости стационарных состояний системы, используя метод линеаризации системы в окрестности стационарного состояния, рассмотренный в лекции 4.
Характеристический определитель системы (11.9) имеет вид; (1-ь У) , — Р— Л (1 †)2 р(у) — Р— Л р(у) (11 16) Исследуем характер устойчивости режима вымывания особой точки с координатами (11.11). В этом случае (11.16) и характеристический определитель принимает вид: Р— Р— Л 0 — Р, — Р— Л Корни характеристического уравнения (11.17) Примем во внимание, что безразмерная концентрация клеток т имеет смысл только при значениях х > О., а безразмерная концентрация субстрата у ограничена сверху значением уе = Яе~Кя -- концентрапией притекающего субстрата.
Легко видеть, что ненулевое стационарное значение биомассы (11.12) имеет смысл только в случае, когда безразмерная скорость протока Р меньше определенной величины: 197 Моделирование минробнмх популяций )о Уо х Рис, 11.4, Фазовые портреты системы 11.9. а -- стационарный режим работы, б -- режим вымывания. Пояснения в тексте. действительны и имеют различные знаки при Р < Р„, то есть прн скоростях разбавления, меньших скоростей вымывания. При этом точка (О, уо) неустойчива — седло. Если оке Р > Р оба корня отрицательны, и особая точка (11.11) является устойчивым узлом. Этот режим называется режимом вымывания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
