Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002 (1123213), страница 40
Текст из файла (страница 40)
12.6 в). Кинетика переменных для случаев з~ < ш < шт (б) и ш ) шт (в) представлены на рис. 12.6 б, е. Таким образом, частота внешнего периодического воздействия может служить управляющим параметром, изменяя который, можно переключать систему из одного в другое стационарное состояние, причем в некотором диапазоне частот это переключение имеет необратимый характер. Автоколебательиая система Более детальный учет химических превращений, возможньгх в системе К'" — Н антипорта, приводит к системе.
в которой возникают автоколебательные изменения пе- 216 Лв Ч 12 1'ис. 12.6 в. ы > ы . 1л„ Ч„н',+ Т ТН 1л... н", +тн (тн )' 1л., Н, + ТК . ТНК вЂ” и ТК+ Н, — -"-Ч 1л.. 1л 4 1л„ Ч Кл+ ТН -~ — — ТНК. ~.ТН ~ К,-~ — — Ч. к 1л л Схема 12.3. — .; 1гп(1+ Аа1 1) — Ьпх— г1х Ьху л11 1 1 Ь(т: -1-.гу -~ у) -Ь схи ллу Ьту — = Гк(1 -1 Лвгивлс)— 1-Ь Ь(х+ ху+ у) 1 схз ( ) Кролле введенных в формулах 12А., 12.11 параметров, в формулу (12.12) входит такгке Система уравнений в безразмерных переменных (12.3) с учетом внепинего периодического воздействия имеет вид: Модель еоодейстоил слабого электрического полл на систему переноса ионоо 217 Рис.
1'2.7. Фазовый портрет системы (12.12) в отсутствие внешнего поля 1А = О) при разных значениях параметра Гн вблизи значений, соотяетстну1ощих бифуркации Андронова — Хопфа. т, р -- безразмерные концентрации протонов и ионов калия, 1 к = 0,5, Ьн = 0,01, Ь = 1, с = 1. При И11 = 0,5241 я системе реализуется устойчивый фокус А, при 1йн —... 0,5242 возникает предельный цикл В, при 1'и = 0,5245 амплитуда цикла резко возрастает, кривая С. параметр'. гьти'1н 5 с= (12.13) й — 1й — 5 Исследование системы (12.12) в отсутствие воздействия (Л = О) показало, что при определенных значениях параметров выполняется условие теоремы Хопфа (см. лекцию 8), в системе имеет место суперкритическая бифуркация и происходит мягкое рождение предельного цикла.
При аналитическом исследовании и компьютерном моделировании были получены значения управляющего параметра гн, при которых в системе возникают бифуркационпые изменения. Область возникновения бифуркаций является очень узкой: изменения параметра па десятитысячные доли приводит к переходам от режима затухающих колебаний к предельным циклам разной амплитуды и к появлению двух аттракторов, один из которых устойчивый фокус, а другой -- устойчивый предельный цикл большой амплитуды. Измененне структуры фазового портрета в зависимости от величины параметра Ън вблизи точки субкритической бифуркации Андронова — Хопфа показано на рис. 12.7.
Воздействие внешнего периодического поля на зависящий от градиента потенциала параметр 1п изучали как вблизи точки бифурюшии, так и при значениях параметров, далеких от бифуркации. Вдали от точек бифуркации система сохраняет устойчивость в широком диапазоне амплитуд и частот воздействий, характер собственных автоколебаний практически не меняется. Вблизи критических значений 1н внешнее малое возмущение полем вызывает смену режима функционирования. При нижнем критическом значении параметра 111 = 0,5241, соответствую1пем устойчивому фокусу, слабое внешнее воздействие пе- 218 Лекция 1в ~ Включение внешнего поля Рис.
12.8. Кинетика концентраций протонов (к) и ионов калия (у). В ответ на внешнее п>. риодическое возмущение в системе возникают переходы от колебаний малой амплитуды к колебаниям больвюй амплитуды. 1к = 0,5, йн = 0,01, 6 = 1, с = 1, Гн = 0,5243, А = О,ОООЗ, ш =- 0,004. реводит систему из режима затухающих колебаний в режим автоколебаний. Еш>и воздействие осуществляется, когда система находятся в режиме автоколебаний (при ен, близком к бифуркапионному), в системе воз>южны переходы от колебаний малой амплитуды к колебаниям большой амплитуды.
На рис. 1>07 это переход от цикла В к циклу С. Соответствующая киветнка переменных показана па рис. 12.8. Фазовый портрет невозмущенной системы в области больших значений параметра ен показан на рис, 12.9. Вблизи верхнего критического значения $'и = 0,7065 в ответ на внешнее слабое периодическое воздействие в зависимости от частоты ответ системы может быть различным.
Прн относительно высоких частотах воздействия система либо совершает колебания в окрестности устойчивого фокуса (>> на рис. 12.9), либо стремится к предельному циклу (г на рис, 12.9). При некоторых критических частотах систему, находящуюся вблизи устойчивого фокуса, можно ш>еребросить» в окрестность предельного цикла. Подобное явление переброса от одного аттрактора к другому мы видели в бистабильной системе. При уменьшении частоты внешнего воздействия вблизи гй>едельного цикла возникает предельное множество типа странного аттрактора (лекцня 10).
Вид траекторий лля значения параметра > = 0.,002о показан на рнс. 12.10. Помимо странного аттрактора при рассматриваемой частоте воздействия в системе существует предельная периодическая траектория 1рис. 12.10, кривая 2), содержащая внутри себя неустойчивую точку покоя — неустойчивый фокус. Таким образом, в системе в зависимости от начальных условий могут реализоваться либо периодические колебания сравнительно малой амплитуды, либо кваэистохастические колебания большой амплитуды.
Модель ооздейотоия слабого злекшрического поля па сими«му переноса ионов 219 Рис. 1'2.9. Фазовый портрет невозмущенной системы вблизи большего критического значения параметра 1н. В интервале значений К« = 0,701 — 0,7065 в системе одновременно существуют устойчивый фокус Р», неустойчивый предельньш пикл Е, устойчивый предельный пикл Р. 1кк —.- 0,5, /сн .—. 0,01, 5.—" 1, с.— 1. Рассмотренная модель является одной из возможных базовых моделей для описания процессов, возникающих в возбудимых мембранах и других процессов, характеризующихся набором сложных паттернов поведения. Стохастический резонанс Понятия «шум», «глучайные флуктуации» обычно воспринимаются как «помеха», то есть нечто нежелательное для работы системы.
Однако в радиофизике угке давно известно., что источники шума могут вызвать в системе принципиально новые режимы функционирования, например, инднцированные шумом колебания, они называются «нндуцированными шумом переходами». Это явление легко представить себе для бистабильных систем, рассмотренных нами в лекциях 7 и 12. Флуктуации, которые носят случайньпй характер, могут иметь различную амплитуду. Чем больше амп.титула флуктуации, тем реже онн возникают. Вообще говоря, для флуктуации любой амплитуды суц1ествует среднее время ожидания.
Таким образом, если долго ждать, в системе с шумом всегда возникнет флуктуация, которая «перебросит» систему из одного стационарного состояния в другое. Исследования последних лет показали, что в нелинейных системах шум может приводить к увеличению степени упорядоченности системы. К таким явлениям отпо- 220 Лекция И Рис. 12.10. Квазнхаотичекий режим.
Рк — 0,5, Ьн — 0,01, Ь вЂ”. 1, е —. 1, 1'н = 0,7065. А — ' О,ООЗ, ы = 0,0025 сигея стохастический резонанс, определяющий группу явлений, при которых отклик нелинейной системы на слабый внешний сигнал заметно усиливается с ростом интенсивности шума в системе. Точнее, существует некоторая оптимальная амплитуда шума, при которой отклик системы на глаоый сигнал максимален. Термин «стохастический резонанск был предложен авторами модели бистабильного осциллятора, предложенной для описания периоди шосги в наступлении ледниковых периодов па Земле. Модель описывала движение частипы в симметричном двухямном потенциале под дейсгвием периодической силы в условиях болыпого трения. Устойчивые состояния соответствовали ледниковому периоду и нормальному климату Земли.
Периодическая сила соответствовала колебаниям зксцентриситета орбиты Земли. Расчеты показали, чго реальная сила слишком мала, чтобы обеспечить переключения, однако они становятся возможными при учете дополнительной случайной силы. Исследования физических и химических систем как в зкгшерименте, гак и на модели показали, чзо стохасгический резонанс представляет собой фундаментальное физическое явление, типичное для нелинейных систем, в которых с помощью шума можно контролировать один из характерных временных масштабов системы (например, время переключения между метастабильпыми состояниями).
Пусть система испытывает малое внешнее периодическое воздействие, в результате которого она совершает колебательные движения вокруг состояния равновесия, как зто мы |зидели для бистабильной системы без шума (12.10). Добагтм в систему 221 Литература и<ум. Прн малой интенсивности шума время перехода межлу состояниями будет очеш велико, пал<ного больше периода внешнего воздействия. При высоком уровне шума за время одного периода изменения внешнего поля система с высокой вероятностью многократно совершит переключения.
Таким образом, при наличии шума высокой интенсивности периодическое воздействие не будет оказывать видимого влияния. Варьируя интенсивность шума, можно обеспечить режим, когда среднее время перехода через барьер близко к периоду внешнего воздействия. Переключения системы в среднем будут происходить г частотой внешнего воздействия, и шум будет служить в роли «усилителя » внешнего сигнала. Имеет место соответствие (рез<гнанс) впепшего воздействия в воспрннил<ающей системы (динам<ическая система + шум).
Это и есть явление стохастнческого резонанса. Для систем с аттракгорами, демонстрирующими линаьлический хаос, типично существование в фазовом пространстве аттракторов различного типа. Области (бассейны) притяжения этих аттракторов разделяются сепаратрисными гиперповерхностями.
В отсутствие внешнего шума фазовая траектория будет принадлежать гол<у илв иному аттрактору в зависимости от начальных условий. Воздействие внешнего шума приведет к возникновению переключений могилу существующими аттракторами системы.
Если дополнительно к внешнему шуму на систему подается слабый периодический сигнал. не вызывающий переходов между аттракторами, возможно появление стохастического резонанса. Отклик системы на слабое периодическое воздействие будет усилен.
Справедливо и обратное. Если к системе, которая в присутствии гпобого периодического поля имеет два аттрактора, добавить шум, между этими аттракторами возникает перемежаемость. Этот эффект имеет место для системы (12,12) в области параметров, для которой фазовый портрет изображен на рнс.
12.10. Для систем с хаотической динамикой В. Д. Анищенко (1993) был установлен принципиально новый эффект детерминированный стохастнческнй резонанс. Известно, что в системах с квазистохастическим поведением возможно явление объединения двух аттракторов с возникновением динамической перемежаемосги «хаос — хаос». Именно такое поведение демонстрирует система Лоренца, рассмотренная в лекции 10 (уравнения 10. 1) . При воздействии медленного периодического сигнала можно путем изменения управляющего параметра добиться примерного совпадения периода сигнала и среднего времени переключения с одного аттрактора на другой, то есть условий стохастического резонанса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
