Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002 (1123213), страница 23
Текст из файла (страница 23)
окрестность, что все фазовые траектпории, начинаютциеся в окрестностпи е, асимптоптчески при 1 — ж приближаютгя к предельному цтлклу. Если лсе, ниоборот, в любой сколь угодно милой окрестности е предельного цикла сушествует по крайней мере одна фазовая триектпория, не. т«рт«ближаютцаяся к пределънтгму ци лу при 1 со, то так«ой предельный цикл н зывиется ««еустойз чивым. Такие циклы разделяют области влияния (бассейны) разных притягивающих мне>кости. На рис.
8.2 изображены устойчивый предельный цикл (а) и неустойчивые (б) и (в). Неустойчивые продельные циклы, подобные изображенному на рис. 8.2 б, такие, что все траектории с одной стороны (например, изнутри) приближак>тся к ним, а с другой стороны (например, извне) удаляются от них при 1 оз«называют «полуустойчивыми> или двойными. Последнее название связано с тем, что обычно такие циклы при 126 .7екцил В подходящем изменении параметра системы расщеплтотся на два, один из которых устойчив, а другой неустойчив.
А.М. Ляпунов показал,что для исследования устойчивости периодического движения х = срЯ), у — — Ссф можяо идти по пути лниеаризации уравнений, подобно тому, как мы это делали прн исследовании устойчивости состояний равновесия. Если ссоложить х =;р(1) +, сс = и' 1,1 ) + с1, подставить эти выражения в уравнения (8.1), разложить правые части этих уравнений функции Р(:р+ 6, вг + Ч), Е;0 + 6 %' + с/) в ряды по степеням С и с1 и отбросить нелинейные члены, то мы получим линейные уравнения (уравнения первого приближения) для координат возмущения Р и нр — — — аС-|-ЬО, — =ср ГЙЬ 1О ссг ' ссг Коэффициенты в правой части: а = Р'.~ср(г), ср(г)', с = ( г' )эг(1), ср(1),, Это система линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами периода Т, гюскольку а, Ь, с, д суть функции от се, су -- периодических функций времени с периодом Т.
Общий вид ее решения; с Гг СЬ)с~~с+ с ~ге)Ь)е~сс 7) = — сггэг®е + свгягсг)е Здесь Лу - некоторые периолнческие функции с периодом Т. От показателей Ьг и Ьг, которые носят название схарактернстических показагелейсч зависят свойства решений для отклонений от стационарного периодического решения р н ср А именно, знаки их действительных частей определяют, являются ли эти решения нарастающими или затухающими.
Ыогкно показатгч что в силу автономности исходной системы (8.Ц один из характеристических показателей равен нулю, а другой равен 6. где х = р1с), у = сО(1) -- любое периодическое решение., соответствующее рассматриваемому предельному циклу, Т вЂ” период решения. Таким образом, устойчивость предельного цикла ~сс устойчивость в смысле Ляпунова соответствующих периодических двигкений) определяется знаком характеристического показателя. Предельный цикл устойчив, если 6 ( О, и неустойчив, если 6 ) О. Если же 6 = О, уравнения первого приближения не решают вопроса об устойчивости периодического движеяия.
Для нахождения предельных циклов не существует таких простых аналитических методов, как для нахождения стационарных точек и исследования их устойчивости. Однако, исследование фазовой плоскости системы позволяет ответить па вопрос., есть в данной системе предельный цикл нли нет. 127 Колебания в биологических систелгах Рис. 8.4. Иллюстрация к теореме 2. Рис. 8.3. Иллюстрация к теореме 1. Жирная кривая — предельный цикл. Сформулируем несколько теорем, определяющих наличие предельного цикла по топологическому строению фазовой плоскости. Оии могут быть полезны как при аиалитическом, так и при компьютерном анализе системы. Теорема 1. Пусть на фазовой плоскости сущеетвует, область, из которой фазовые пграектории не выходят, и в когпорой нега поггоэгсений равновесия (особых талек). Тогда в этой обласгпгг обязагпельно <ушесцюует предельньгй цикл, ггричем все остальные траектории обязательно наматываются на пего.
На рис. 8.3 изображена такая область С, из которой фазовые траектории ие выходят. Это означает, что фазовые траектории либо входят, пересекая границу, внутрь области, либо сама граница является траекторией. Легко видеть, что такая область ие может бьггь одиосвязиой. Поскольку траектория иалгатывается иа предельный цикл изнутри, это означает, что виутри этого предельного цикла па фазовой плоскости существует либо неустойчивая особая точка, либо неустойчивый предельиый цикл, очевидно,ие прииадлежащие рассматриваемой области С. Таким образом, если найти иа фазовой плоскости такую двусвязиуаг область,что направления фазовых траекторий иа всей граница обрагцеиы внутрь этой области, то можно утверждать, что внутри этой области имеется предельный цикл.
Теорема 2. Если существует на фазовой плоскости некоторая замкнутая облатпь, такая, что все фазовые траектории, перееекаюсцие границу этой области, входят в нее, и внута|т,эпюй области находится неустойчивая особая точка, то в этой области обязательно имеется хотпя бы, один предельный цикл (рис. 8.4). Приведем также некоторые критерии отсутствия залгкиутых фазовых траекторий (в том числе предольиых циклов).
1. Если в системе ие существует особых точек, то в ией ие может быть и замкнутых фазовых траекторий. 2. Если в системе существует только одна особая точка, отличная от узла, фокуса и центра (например, седло), то такая система ие допускает замкнутых фазовых траекторий, 3. Еслгг в системе имеются только простые особые точки, причем через все точки типа узел и фокус проходят интегральные кривые, уходящие иа бесконечность, то в такой системе иет замкнутых фазовых траекторий. 128 Л.п в В случае, если критерии 1--3 выполнены, можно с уверенностью утверждать, что в системе нет предельных циклов.
Однако невыполнение этих критериев еще пе позволяет сделать вывод о наличии в системе предельных циклов и, следовательно, автоколебаний. Ноустойчивьш предельный цикл также может содержаться в фазовом портрете грубых систем. Однако такой предельный цикл не соответствует реальному периодическому процессу, оц играет лишь роль «водораздела», по обе стороны которого траектории имеют различное поведение. Например, на рис. 8.5 представляет собой сепаратрису, отделятошуто область тяготения траекторий к устойчивой особой точке, с одной стороны, и к устойчивому предельному циклу, с другой.
Рис. 8.5. Фазовый портрет си- стемы, имеющий устойчивый и неустойчивый (пунктир) пре- дельные циклы, Рождение предельного цикла. Бифуркации Андронова — Хопфа Приравняв правую часть первого уравнения нулю, получим стационарные значения г: т = О, гз = 1 ~ (1 + г)'т-', Ветвь г =- О устойчива при с ( О и неустойчива ттрн с > О. Существованио предельных циклов возможно липп в системе типа (8.1)., правые части которой представлены нелинейными функциями. На бифуркационной диаграмме 4.10 мы видели, что при пересечении оси абсцисс происходит смена устойчивости фокуса.
Нулевым значениям действительной части характеристических чисел (ляпуновских показателей) соответствует особая точка типа центр. В нелинейной системе, где возникает неустойчивый фокус. при этом возможно рождение предельното цикла. Такой переход легко проследить в «модельной» системе: — =т(с — г ), — =2п. тт'г»э т(тг ьт1 ' т41 (8.3) Схематически возникновение предельного цикла в системе (8.3) изобраткено на фазо- параметрической диаграмме па рис.
8.6, Вьтттолненик» условия НеЛт з =. О, причем 1птЛт з =,~ О, соответствует бифурка- ция Андронова-. Хопфа или бифу ркация рождения (исчезновения) предельного цикла. Бифуркация впервые была исследовшта А.А. Андроповым «1 1937г. для случая т»' .—... = 2 и обобщена Е. Хопфом на системы с произвольной размерностью. (А.
А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин, Теория колебаний, Ы., Наука, 1981; В, Нору, 1942.) Существуют два типа бифуркации Андронова — Хопфа. Только что мы рассмот- рели суперкритическую бифуркацию (мягкое возбуждение автоколебаний). Воз»южна также субкритическая бифуркация (жесткое возбуждение автоколебаний). В этом слу- чае при бифуркационном значении параметра устойчивый фокус теряет устойчивость из-за «влипапия» в ного неустойчивого предельного цикла (рис.
8.7), Фокус стано- вится неустойчивым, а аттрактором при этом может стать предельный цикл большой амплитуды. «»Модельной» системой (см. лекцию 6), описываюшей рождение предельного цикла при жестком возбуждении, является система; — = г(с —,~ г — г' )., — = 2п. дг, з,т ьттг Й ' ' т(1 (8.4) 129 Колебания в биологических системах Устойчивый фокус с =-0 с>0 с<0 -2 -1 0 1 2 Рис. 8,6. Закритическая (суперкритическвя) бифуркация Андронова — Хопфа.
Мягкое возбу- ждение. При с > 0 возникают автоколебания, амплитуда которых растет с увеличением с. Центр с>0 с=О с<О Рис. 8Л, Докритическая (субкрнтическая) бифуркация Андронова -Хопфа. Жесткое возбуждение автоколебаний. «Локальные событияь при изменении парамегра прн переходе через бифурьационное значение: устойчивый фокус и неустойчивый предельный пикл пунктир (а), при уменьшешги параметра с переходят в центр (б), а затем в неустойчивый фокус 1в).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
