Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002 (1123213), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ее можно сжимать и изгибать, но нельзя перекручивать. При таких преобразованиях все начальные точки будут однозначно переходить в точки деформированной «резиновой» поверхности, незамкнутые кривые будут переходить в незамкнутые, замкнутые --. в замкнутью, связность множеств яе будет нарушаться. Такое преобразование происходит с фазовыми кривыми при невырожденном непрерывном преобразовании координат. Недаром говорят, что топология — это «резиновая геометрия». Если фазовые портреты при значениях о ) о' и о < о* топологически не эквивалентны., это означает,что при а = о происходит качественная перестройка системы.
Тогда говорят, что о* — бифуркационное значение параметра Простейший пример бифуркационного значения параметра нулевое значение собственной константы скорости роста в уравнении экспоненциального роста (2.7): При г ) 0 стационарное зяачоцие х =. 0 неустойчиво, при г < 0 — устойчиво. г' = 0 -- бифуркационное значение параметра.
Напомним,что биологический смысл величины г разница коэффициентов рождаемости и смертности. Если рождаемость преобладает — популяция растет, если преобладает смертность — вымирает. Переход от выживания к вымиранию качественная перестройка системы. С понятием бифуркации мы также столкнулись в лекции 3, когда рассматривали смену режимов в дискретном уравнении Ферхюльста при увеличенин параметра роста. Там режим монотонного роста сменялся режимом двухточечного цикла, следующее бифуркационное значение параметра приводило к четырехточечному циклу, каждая дальнейшая бифуркация вела к удвоению предельного цикла, и, наконец, наступал хаос. Бифуркационную диаграмму дчя системы двух линейных автономных уравнений мы рассматривали в лекпии 4.
На рис. 4.10 представлена бифуркациопная диаграмма дэя системы двух линейных автономных уравнений. Па ней мы видим бифуркационные границы двух типов линии оси координат 0 < т < ос, —.оо < у < оо, которые отделяют области с разным типом особой точки илп разным типом устойчивости., и точку (О, 0) -- начало координат, где соприкасаются несколько различных областей. Отметим, что границы устойчивый узел — устоичивый фокус и неустойчивый фокус— неустойчивый узел не являются бифуркацпонными, т.к. переход узел» фокус (без смены устойчивости) приводит к топологически эквивалентному фазовому портрету (его можно получить, «изгибая» плоскость).
Для оценки «сложности» бифуркации вводится понятие «коразмерности». Коразмерность й совпадает с числом параметров, при независимой вариации которых эта 102 Лекция б бифуркация происходит. В системе происходит бифуркация коразмерности к (сой1т к, йтевл1оп — размерность), если в ней выполняются к условий типа 1жвенств. Значение й = 0 соответствует отсутствию бифуркации в данной точке. Па риг.
4.10 линии представляют собой бифуркации коразмерности 1, а начало координат бифуркацвпо коразмерности 2. Бифуркации разделяют на локальные н нелокальные. Всо рассмотренные нами ранее бифуркации, а также друтпе бифуркации смены устойчивости или исчезновения предельного множества в результате слияния с другим предельным множеством (как мьг зто увидим при параметрическом перегклк>чепии триггера в лекции 7) локальные. Они диагностируются с помощью линейного анализа ляпуновгких показателей (собственных чисел). Нелвкалтеьяе бифуркации нельзя определить на огнове линейного анализа окрестности стационарного состояния, здесь требуется нелинейный анализ системы. К нелокальным бифуркацняи относятся образование сепаратрисных петель, касание аттрактором сепаратрисных кривых илп поверхностей. Бифуркации аттракторов п1)внято полразделягь на мягкие (внйтрениие) бифуркации и кризисы (зюесткие бифуркации).
Внутренние бифуркации приводят к топо- логическим изменениям самих притягивающих множеств, не затрагивая их бассейнов притяжения -. областей, из которых фазовые траектории сходятся к данному аттрактору. Кризисы -- бифйркации аттракторов, сопровозюдаюи1иеся качествепной перестройкой границ областей притяаюенил (басгейнов) аттракторов. Пример — бифуркация слияния устойчивого узла с седлом, в результате чего аттрактор исчезает (рис. б'.б) .
Рис. ьь5. Вифуркапия седчо — узел. Часто, кроме бифуркационных диаграмм, для наглядности строят фазвпараметрические диаграммы. В ятом случае по одним координатным осям откладывают значения параметров, а по другим .-. динамические переменные или связанные с ними величины. Получают некоторую гиперповерхностгь точки которой соответствуют определенным динамическим режимам, меняющимся с изменением параметров. Бифуркации на таких диаграммах могут проявляться в образовании складок поверхности или в расщеплении ее на несколько частей. Резкие зна.штельные изменения переменных состояния динамической системы, вызванные малыми возмущениями в правых частях уравнений.
в частности, малыми изменениями параметров, часто называют катастрвфа,ии. Теория катастроф была развита топологом Рене Тома (В.. ТЬопц Втгпс1ша1 В1аЬ1111у апс1 МогрЬояепез1з, Х.У., 1972). В ее основу была положена разработанная ранее теория особенностей Уитни. Показано, что существует небольшое количество элементарных катастроф, с помощью Проблема быстрых и медленных переменных.
Теорема Тихонова Типы бифуркаций 103 которых можно локально описать поведение системы. С основами теории катастроф можно познакомиться по книге В. И. Арнольд, Теория катастроф, М., Изд. МГУ, 1983. Модельные системы Для описания событий, происходящих вблизи бифуркационной границы, удобно использовать системы самых простых уравнений, обычно полиномиальных, которые описывают качественные особенности процесса. Такие системы называются модельными и активно используются в теории бифуркаций и в теории катастроф. Например, дпя системы, которая может быть описана одним автономным дифференциальным уравнением, модельная система имеет вид; — '' = ат+ 1б(х).
й: в11 Усчовием вырождения (бифуркации) является равенство нулю коэффициента а, то есть отсутствие в правой части линейного члена. В качестве модельной системы, описывающей бифуркацию коразмерности 1, обычно выступает полиномиальная система 1 < й уравнений, зависящая от й малых параметров. При нулевых значениях параметров в системе возникает вырождение, а при вариации параметров происходит бяфуркация.
В простейшем случае в качестве параметров выступают вещественные части собственных чисел. Размерность модельной системы 1 совпадает с количеством собственных чисел, вещественные части которых обращаются в нуль при бифуркапионном значении параметра о. Рассмотрим основные бифуркации —. катастрофы. Седло-узловая бифуркации (складка) Пусть в системе при о < о* существуют два состояния равновесия: устойчивый узел Ц и седло В (рис. 6.6 а). При о = о' происходит слияние узла и седла с образованием пегрубого состояния равновесия, называемого седломувлолв (рис. 6.5 б). При о > о' положение равновесия исчезает (рис.
6.6 в). Переменная х с течением времени стремится к бесконечности. Поскольку в результате бифуркации аттрактор (узел) исчезает, границы бассейнов должны качественно перес~роиться. Следовательно, данная бифуркация является кризисом (катастрофой). Простейшая модельная система, описываюгцая даяную бифуркацию., имеет вид: х — --о — х. (6.17) Уравнение (6.17) имоет два стационаряых состояния: Линеаризуем уравнение (6.17) в окрестности стационарного состояния.
Собственные значения Л1 а = -2ъ'а. Таким образом, х1 устойчивое состояние, ха неустойчивое. При о = О имеем т1 =- хз — — О, и собственное значение в этой точке равно нулю. Бифуркации имеет коразмерность 1, так как выделяется одним условием: Л(о) = О. На рис. 6.6 а изображена фазопараметричсская диаграмма системы (6.17). Если бифуркация седло-узел происходит в двупараметрической системе, то в фазопараметрическом пространстве ей соответствует особешюсть (катастрофа) типа складки вдоль линии 1" па плоскости параметров. 1ой ,7«кция б Поясним, как можно пользоваться образами теории катастроф при изучении математических моделей на примере людели второго порядка, содержащей переменные т и и. и зто фактически управляющий параметр а, бнфуркационному значени|о которого а = а' соответствует и = О. Пусть х -- «быстрая» переменная,но исключить ее нельзя, поскольку система не удовлетворяет условиям теоремы Тихонова (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
