Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002 (1123213), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Если характер решения не изменится при устремлении малого параметра в к нулю (условия этого обстоятельства и рнс 6 2 Фазовьсй по т ет составлЯют содержание теоРемы Тихонова). можно Устресистемы 6,3, мить в ь нулю и полу'ппь для «быстрой» переменной х вмссто диффершшиального уравнения алгебраическое: Проблема быстрых и медленных переменных.
Теорема Тихонова. Тины бифуркаций 97 Ро(хм хз. ° ° ° хг. хе-ы» хл) = О, р = 1, ..., г (в окрестности этого корня нет других корней); в) решение хы хв, ..., х, устойчивая изолированная особая точка присоединенной системы (6А) при всех значениях х„зч, х„з, ..., хм, г) начальные УсловиЯ хо, хез, ..., хо попадают в область влиЯниЯ Устойчивой особой точки присоединенной системы. Число начальных условий вырожденной системы меньше, чем полной: начальные значения быстрых перемешпих не использупотся в вырожденной системе.
Согласно теореме Тихонова, ешш выполняется условие в), результат не зависит от начальных условий для переменных присоединенной системы. Таким образом, необходимым условием редукции является наличие малого параметра в уравнениях (6А). 11редставляет интерес система двух дифференциальных уравнений вида (6.2), в которой особая точка расположена на неустойчивой ветви кривой Г(х, у) =. О. Такая система совершает релаксационные колебательные движения. Вопрос о релаксационных колебаниях мы обсудим в лекции 8. Теорема Тихонова явно или неявно применяется при исследовании практически любых моделей биологических систем, в этом мы убедимся в дальнейшем (лекции 7 — 12). Фермент-субстратная реакция Михаэлнса — Ментен Классическим примером является модель базовой ферментативной реакции, предложенная Михаэлисом и Ментен в 1913 г.
Схема реакции может быть представлена в виде: Š— В -'- ЕЯ ' Р-'Е, * е, (6.6) Схема означает, что субстрат Я соединяется с ферментом Е в комплекс ЕЯ, в котором происходит химическое превращение и который затем распадается на фермент Е и продукт Р. По закону действующих масс, скорость реакции пропорциональна произ- ведению концентраций. Обозначив концентрации реагентов малыми буквами: в — —. [Е', е — —. 'Е), с = [ЕЯ), р =- [Р), получим систему уравнений: ев — =- — ауев-ге. 1с, — ' =- — азов+ Я 1 л- кз)с, пей (6.7) — ' = 1чев — (Й 1 lсз)с, — = Йяс, пе , , ар й ' д1 В системе (6.7.) учтены следующие процессы: Решение полной системы (6А — 6.5) стремится к решению вырожденной системы (6.5) при в — О, если выполняются следующие условия: а) решение полной и присоединенной системы единственно, .а правые части непрерывны; б) решение х1 — —. уо1(хм хя, ..., хм), ..., х„=-:рг(х„, хя, ..., хм) представляет собой изолированный корень алгебраической системы: 98 ,17екцпя б ° Субстрат 5 расходуется, образуя комплекс ЕЯ (бимолекулярная реакция),и его концентрация увеличивается при распаде комплекса.
° Фермент Е расходуется на образование комплекса ЕЯ, его концентрация увеличивается при распаде комплекса. ° Комплекс Е5 образуется из фермента Е и субстрата Я (бимолекулярная реакция) и распадается на субстрат Я и фермент Е. ° Продукт Р образуется при распаде комплекса. Для полной магематической формулировки задачи Коши необходимо задать начальные условия: а(0) = яо, е(0) = ео: с(0) = О, р(0) = О. (6.8) с р(с) = йя / ~(с ) сСс . о В соответствии со схемой реакций (6.6 — 6.7) общее количество фермента, свободного и связанного в комплекс, сохраняется: е(т) с(с) = ео Это условие позволяет одно из дифференциальных уравнений системы (6.7) заменить алгебраическим, и модель сводится к двум дифференциальным уравнениям: — = — ксеов+ (уса й с)с, — = йссоа — (йса, х с+ ссз)сс сЬ,, Йс ссс ' ' ссб (6.9) с начальными условиями: я(0) = во., с(О) = О.
Введем безразмерные переменцыг и параметры: (т) = з : у(т) = с я(с) с(с) т = к,еос,, (6.10) к2 К Я-1 Я2 ее )д «о' аско Запишем уравнения (6.9) в безразмерном виде: — = --х се (х-с- К вЂ”. Л)у, ьсх Йт (6.1Ц с1у е — =х — (х+К)у, т(0) =1, у(О) =О. с1т Из (6.10) следует, что (К вЂ” Л) ) О. Уравнения (6.7) не являются независимыми. Кроме того, последнее уравнение отделяется от первых грех. Если система первых трех уравнений решена, концентрапия продукта может быть рассчитана по форлсуле: Проблема быстрых и медленных переменньоа Теорема Тихонова.
Типы бифуркаций 99 Поскольку реакция превращения фсрмеит-субстратиого комплекса яеобратима, уже из схемы реакций 16.6) ясно, что с течением времени весь субстрат будет превращеи в продукт и в стационарном состоянии концентрации и субстрата, и комплекса станут равны нулю; х =- О, .у =- О. Систему (6.7) нельзя решить аналитически. Проанализируем качесгвеяио, как ведут себе! хсг) и уст).
Вблизи т = 0 с1х)с1т < О. Это означает, что х уменьшается от т, = 1. В тоже время НУсй > О, У Растет от У = 0 до величины У = хсс(х Х(), пРи котоРой пРаваЯ часть уравнения для с1у/Ж обращается в пуль. После этого величина у будет умепыпаться до нуля. Таким образом, коицеитрапяя фермеиг-субстратяого комплекса у проходит чсрсз максимум. В это время величина х Скоицеитрация субстрата) лсонотоиио уменьшается. Отиосигельиая концентрация свободного фермента есеа сначала убывает, а затем снова возрастает до величины е~ео = 1,поскольку стечением времени субстрат исчерпывается, и все меиьпия доля фермента оказывается связанной.
1(ииети !вские кривые изображены иа рис. 6.3. Х Рис. 6.3. Кипетика изменения безразмерных переменных в уравнении Михаэлиса — Мептеп. а — с учетом области переходных процессов па малых временах 1гюлпая система 6.11), б— без учета области переходных процессов 1редупировоипая система 6.12). Предположим, что концентрация субстрата значительно превышает коицеитрацию фс.рмеита; во » ео. Тогда из соотпошеиий 16.10) следусст, что е « 1. Если условия теоремы Тихонова выполияются 1для уравнений с1ихаэлиса — Ментов это люжио показать), мы имеем право заменить второе из уравнений 16.11) алгебраическим и найти 100 ,7екция б «квазистационарпукг концентрацию» фермент-субстратпого комплекса: а* = т,*-К' (6.12) По терминологии Тихонова, мы получим выро>кденну.ю систему: †'' = — х (х - К вЂ” Л)р, р = ., х(0) = 1. дх йт х -» К (6. 13) Подставив выражение для р в дифференциальное уравнение для т., получим: — ' .— — — х — (х «- К вЂ” Л) .
или — =- — ., х(0) .=. 1, дх, - х Нх Лх Йт х+К Ат х-К В размерном виде это классическая формула Ыихаэлиса — Ыентен для кинетики изме- нения субстрата в ферментативной реакции: (6.14) Таким образом, формула (6.14) верно отражает изменение концентрации субстрата, но ничего не может сказать об изменении концентраций свободного фермента н фермент-субстратного комплекса, которые на малых временах ведут себя немонотонно (см, рнс. 6.3).
Бифуркации динамических систем Ыы рассматриваем динамические модели биологических процессов, го есть считаем, что система может быть описана системой дифференциальных уравнений: — —.. Г1х, о). дх д1 (6,15) Здесь х -" вектор переменных, г« -- вектор параметров.
Величина К,„называется константой Ыихаэлиса н Ж имеет размерность концентрации. При е < К„, скорость пропорциональна концентрации: — рая,>К . Величина К,„ соответствует концентрации субстрата, при которой скорость р(;>) равна половине максимальной. г г'» Максимальная скорость ферментативной реакции да =- = Йзео н зависит линейно от константы скорости стадии 0 к„ распада ферментативного комплекса, которую называют лимитиррюи1ей стадией. Рис. 6.4.
Закон Михаэлиса — В эксперименте для оценки параметров ферментаМентен, Зависимость скоро- тнвной реакции используют кривую зависимости скорости реакции как функция на- сти реакции от концентрации субстрата (рис. 6,4, формучю>ьной концентр;щии суб- ла 6 14), В ферментативных реакциях возмо>кны гораздо тРата 3 по максимал' более «щожные типы динамического поведения: два пли несколько устойчивых стационарных состояния, автокоМнхаэлнса. лебания, квазистохастяческие режимы.
Этн типы поведения мы рассмотрим в следующих лекциях. Они связаны с изменением характера фазового портрета системы, который содержит не одну стационарную точку, как это мы видели в лекциях 1, 5, а носит более слогкный характер. Для того чтобы понять, как возможны такие усюжнения в поведении системы, рассмотрим понятие бифуркации. Проблема быстрых и медленных переменных. Теорема Тихоновы Типы бифуркаиий 101 Пусть х(а) стационарное решение — особая точка системы, координаты которой представляют собой решение системы алгебраических уравнений: (6.16) Г(х, о) = О.
Зафиксируем некоторое о — — а и рассмотрим фазовые портреты системы при данном значении параметра, а также при а ) о* и а < ц'. Фазовые портреты топологичсски эквивалентны, если с1»и1ествует невыроэкден»«ое пепрсрь»впое преобразование координат, которое переводит все элементы одного фазового портрета в элеметпы, другого. Для того чтобы представить себе такое преобразование на поверхности, представим себе, что поверхность резиновая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
