Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002 (1123213), страница 20
Текст из файла (страница 20)
вылив), так как быстрый процосс не везде устойчив. «Складка» соответствует л«одел»п т — =-Ц(и, .х), — =-Р(и, х) — — — и-~х . ди , дх г а '' ' сй (6. 18) Здесь т» 1, характерное время изменения переменной х будем считать порядка единицы. Изоклина Р =- О имеет устойчивую ветвь — аттрактор в форме «складким При медленном уменьшении и в соответствии с первым уравнением (6.18) при достижении и = О произойдет срыв изображающей точки, которая либо уйдет на ж, либо перескочит на другой устойчивый аттрактор. Заметим, что в реальных моделях такая устойчивая ветвь всегда присутствует.
Катастрофа типа «складки» появляется в моделях, описывающих релаксационные колебания, «ждущие» регкимы и триггерные системы (параметрическое переключение). В распределенных моделях (2-й том лекций) модели, имеющие «складки», используются при описании автоволновых процессов и диссипативных структур. Трехкратное равновесие (сборка) Бифуркация состоит в слиянии трех состояний равновесия узлов Щ, Ог и седла луо между ними (в рождении двух устойчивых узлов из седла) (рис. 6.7, 6.8). Бифуркация имеет коразмерность 2 и требует для своего описания как минимум двух парил«ет1юв. Модельной системой для нее служит уравнение: х .=- ал — азх+х . 3 (6.
19) Рис. 6.6. Фазопараметрическая диаграмма бифуркации седло-узел: а — с одним управляющим параллетроль При а > О в системе нет устойчивых равновесий, прв а < О в системе два равновесия, устойчивое и неустойчивое, б — бифуркации седло-узел с двумя управляюшими параметрамн (катастрофа типа складка). à — линяя бифуркации на плоскости параметров аь аг. Проблема быстрых и .медлениык переменных. Теорема Тихонова.
Типы 61гф11ркиций 105 Рис. 6.7. Трансформации фазового портрета при бифуркации «розкдение двух узлов из седлам а — фазовый портрет в незаштрихованной области (рис. 6.8 и), б — фазовый портрет на границе 1ц е — фазовый портрет иа гравице 1з, е — фазовый портрет е заштрихованной области представлен двумя устойчивыми узлами и седлом между ними. О Рис. 6.8. Бифуркации трехкратного равновесия (катастрофа — сборка). а — бифуркационвая диаграмма, б -. фазопараметрическая .диаграмма. Система имеет три особых точки..:!ицейный анализ показывает, что при аз ) О и любом ог система имеет единственное состояние равновесия Цо с отрипательным собственным значением.
то есть асимптотически устойчивое. При оя < О существует область значений аг (заштрихованная область на бифуркациоииой диаграмме (рис. 6.8 и)), где система имеет три состояния равновесия Ом сля и Яо, причем Яо неустойчивое состояние равновесия, а Ям ГгЗз -- устой пивые. Такие системы (триггерные) широко применяются для описания бистабильных режимов, их модели будут подробно рассмотрены в лекции 7. Границы области бистабильности образованы линиями 1г и 1з, соответствующими бифуркациям седло-узел, на которых два из состояний равновесия г.чиваются и исче- 106 Лекция б зают.
Линии [з и 12 сходятся в точке А (оз = ог = О), где одновременно выполняются лва условия, поэтому бифуркация в этой точке, называемая трехкратным равновесием, имеет коразмерность 2. Для уравнения 6.19 в точке А фазовый портрет представляет собой седло в фазопараметрическом пространстве (рис. 6.8 б), имеет место структура, называемая сборкой.
Верхний и нижний лист сборки соответствуют устойчивым состояниям равновесия, а средний неустойчивому. На ребрах сборки имеют место катастрофы типа складки. Модели, содержащие катастрофу типа сборки, используются при описании релаксациониых автоколебаний малой амплитуды, колебательных режимов со смещением средней точки и диссипативных структур ступенчатого типа. Слияние четырех или пяти особых точек приводит к катастрофам типа «ласточкин хвост» (рис.
6.9) и «бабочка» (В.И. Арнольд, Теория катастроф, Мч Знание, 1983). Фазовые пространства при этом -- четырех- и пятимерные. Отметим важное различие катастроф типа складки и сборки. «Складка» не описывает поведение системы па больших временах. Изображающая точка уходит из рассматриваемои области фазового простран/ ства, где справедлива формула (6.18). Ката/ строфа складка не локализуема, то же относится к катаст1юфе «ласточкин хвост» с четной коразмерногтью (рис.
6.9). В случае сборки изобрюкающая точка остается вблизи прежнего сгационарного состояния. Сборка локвлиэуема, как н катастроРис. 6 9. Бифуркацня «ласточкин хвост». Фа «оабочка» с четной коРазмеРностыо. Бифуркации, приводящие к возникновению незатухающих колебаний и квазистохастических режимов, мы рассмотрим в лекциях 8 и 10., соответственно.
Литература [Ц А. А. Андронов, Е. А. Леонтович, Н. Н. Гордон, А. Г. Майер, Киче«то«иная теория динами- ческих систем впгорого порядка, М., Наука, 1966. [2[ В. И. Арнольд, Творил катастроф, М., Изд. МГУ, 1983. [3[ А.Д. Базыкин. Ю.А. Кузнецов, А.И. Хибник, Пор«прети бифуркаций, М., Изд.
Знание., 1989. [4[ Ф. С. Березовская, Г.П. Карев, Дифференциальние уравнения в математических моде- лях, М., Иэд. МИРЭА, 2000. [6[ С.Д. Варфоломеев, К. Г. Гуревич, Ьиокинетика, М., Фанр-Пресс, 1998, [6[ А.И. Лобанов, И.Б. Петров, Вычислительнне методи для инализа моделей сложних ди- на.м.ичсских систем, М., Изд. МФТИ, .2000. [7] А.Н.
Тихонов, Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые пара.ветры при прозиводнмх, Мат. сб. т. 32, АЭЗ, 1962. [8[ Д.А. Френк-Каменепкий, Диффузия и теплопередача в хи.наческой кинетике, М., 1967. [9[ Б. ТЬот, Югис1ига1 бгаб«1йу апд Мо«рйоуепсмз, Х.У., 1972. Триггер. Примеры систем г. двумя устойчивыми стационарными составы я и.
Конкуреыцил. Силовое и параметрическое аереключение триггеры Эволюция. Отбор одного иг двух и несколъких равноираоных видов. Генетический триггер Жакоба и Моно. Важная особенность биологических систем — переключение из одного режима функционирования в другой. Приведем простые примеры переключения процессов в живых системах; ° Соп и бодрствование — зто разные типы метаболизма.
Переключение происходит периодически и синхронизируется геофизическим ритмом. ° У большинства насекомых один и тот же организм может существовать в виде гусеницы, куколки, бабочки. Переключение происходит последовательно в соогветствин с генетической программой. ° Днфференцировка тканей — клетки получаются путеъ1 деления из одного типа клеток, но впоследствии ха>клан выполняет свои функции, На фазовой плоскости триггерной системе в простейшем случае соответствует два илп несколько устойчивых стационарных решений, разделенных сепаратрисами.
Напомним, что все особые точки (устойчивые и седло) лежат на пересечении главных изоклин изоклин вертикальных и горизонтальных касательных (см. лекцию 4). На рис. 7.1 представлен относительно простой фазовый портрет триггерпой системы, описывающей явление конкуренции двух одинаковых видов: Рис. 7.1.
Фазовый портрет триггерной системы, описывающей явление конкуренции между двумя одинаковыми видами. Соответствукнцая система уравнений имеет вид: г(хг а1! = х — х1т — ах, г Ж х1 т12 2 ат1 (7. 1) Такая система 1, х1=хг решения: имеет четыре сгационарных = О -- неустойчивый узел: 1 ! ч-а — седло; 2. х1 = тг 3.
х1 — — —, хг = О устойчивый узел; 11О Лекция 7 4, х1 =- О, х =- — „устойчивый узел. Бистабильная система может иметь гораздо более Гложнук> структуру фазового портрета. Пример такой системы движение шарика в ложбине с двумя лунками в присутствии трения (Д. С. Чврнавскпй). Рис, 7.2. Фазовый портрет системы 7,2 (шарик в ложбине с двумя лунками).
Темным обозна- чена область притяжения стапиоиарного состояния (-~-1) (Д. С. Чернавский, 1986). Система описывается уравнениями: — —. — ау + Ь(х — х ). др дС (7.2) В такой системе три стационарных состояния. Состояние х —. р =- Π— седло. Два других стационарных состояния устойчивые фокусы. Вблизи этих стационарных состояний траектории представляют собой закручивающиеся спирали. Вдали от стационарных состояний области притяжения имен>т слоистую структуру. Толщина слоев уменьшается при умвныпении параметра а. Как видно из приведенных вы1не щп»перов, в тприггерных системах и тп>ведение вв времени, и стационарное решение зависят не только от параметров, но и от начальных условий.
Способы переключения триггера Слово триггер означает переключатель. Встает вопрос, как можно переключить Т1>иггвр из ОднОГО В дрзчОР стациОна1>нОР ГОстояннР7 Рассмотрим фазовый портрет системы, обладающей двумя устойчивыми стационарными состояниями (рис. 7.3). Здесь а, с — устойчивые стационарные состояния, 6 СРДЛО. Если начальпов положение изображающей точки расположено левее сгиаратрись1 седла (пунктирная линия)., система находится в области прнтя>кения особой точки а и со временем стремится к этому устойчивому стационарному состоянию, Из точек, лежаших правее свпаратрисы, сис>ема будет двигаться к особой точке с. Рассмотрим возможные способы переключения системы из режима а в режим с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
