Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002 (1123213), страница 13
Текст из файла (страница 13)
О, Я(хц у) = О, мы найдем тем самым точку пересечения всех изоклин фазовой плоскости, в которой направление касательных к фазовым траекториям неопределенно. Это особал точка., которая соответствуег стаационарному состоянию системы (рис. 4,2). Систелга (4.1) обладает столькими стационарными состояниями, сколько точек пересечения главных нзоклин имоотся на фазовой плоскости. Каждая фазовая траектория соответствует совокупности движений динамической системы, проходящих через одни и те же состояния и отличающихся друг от друга только началом отсчета времени, Таким образом, фазовые траектории системы †.
это проекции интегральных кривых в пространстве всех трех измерений х, у, 1 на плоскость х, у (рис. 4.3). Если условия теоремы Коши выполнены, то через каждую точку пространства х, у, 1 проходит единственная интегральная кривая. То же справедливо, благодаря автономности, для фазовых траекторий; через каждую точку фазовой плоскости проходит единственная фазовая траектория.
.Текция 4 Рис. 4.2. Пересечение главных изоклив па фазовой плоскости. Фа>оная траектория Рис. 4.3. Траектории системы в пространстве (и, у, С). Устойчивость стационарного состояния Пусть система находится в состоянии равновесна. Тогда изображающая точка находится в одной из особых точек системы, в которых по определению: — т = О; — ' = О. Ф ' дг Устойчива нли нег особая точка, определяется тем, уйдет или нет изобра>как>щая точка при малом отклонении от стационарного состояния.
Применительно к системе из двух уравнений определение устойчивости на языке е, б выглядит следующим образом. Состояние равновесия устойчиво, если для любой зидпнной области отклонений от состояния ривновесня (е) мозюно указать область б(е), окрузюающую состояние равновесия и облада>ощую тем соойстввм, ч>по ни одни траектория, которая начинается внугпри области б, никогда не достигнет границы в (рис.
4Л). Модели, описываемые вивсаемами двух автономных диффврвнииолвных уравнений 67 Ряс. 4.4. Иллюстрация к определению устойчиво- сти области в и д на плоскости (х, у). Для большого класса систем врубых сиссавм, характер поведения которых не меняется при малом изменении вида уравнений, информацию о типе поведения в окрестности стационарного состояния можно получитсв исследуя ие исходную, а упрощенную линеариэованную систему.
Линейные системы Рассмотрим систему двух линейных уравнений: ссу — = ох+ ссу. Й (4А) Здесь оо Ь, с, 6 константы, х, у декартовы координаты на фазовой плоскости. Общее решение будем искать в виде: ~,,лс „Валс Подставим эти выражения в (4.4) и сократим на ел'с (4 о) ЛА = аА+ЬВ, ЛВ = сА+ИВ. (4.6) Алгебраическая система уравнений (4.6) с неизвестными А, В имеет ненулевое решение лишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулкк а — Л Ь с д-Л ' ,=-О, Раскрывая этот определитель, получим характеристическое уравнение системы: Л вЂ”. (а .~. ас)л+ (ас( . Ьс) = О. (4.7) Решение этого уравнения дает значения показателя Лг в, при которых возможны нену- левые для А и В решения уравнения (4.6). Эти значения суть Ла в а+д~ 2 (4.8) х.— —.
сые сгзе, у =- сзсе + сазе ' . Лсг Лсг , Лсг ЛсС (4.9) Если подкореипое выражение отрицательно, то Лг з — комплексно сопряженные числа. Предпологким, что оба корня уравнения (4.7) имеют отличные от нуля действительные части и что нет кратяых корней, Тогда общее ращение системы (4,4) можно представить в виде линейной комбинации экспонент с показателями Лм Лз: Лекция 4 Для анализа характера возможных траекторий системы на фазовой плоскости исполь- зуем линейное однородное. преобразование кс>ардллнвт, которое позволит привести си- стему к каноническоялу виду: — = Л>ь-, — = Лэс1, дб дй сй ' с11 (4.10) допускающее болев удобное представление па фазовой плоскости по сравпенило с ис- ходной системой (4.4).
Введелл новые координаты С, >1 по формулам: (4.11) С = с>к+,бу, >1 = ",т+ бу. Из курса линейной алгебры известно, что в случае неравенства нулю действительных частой Лл, Л> исходную систему (4.4) прн помощи прообразований (4.11) всегда можно преобразовать к каноническому виду (4.10) и изучать ее поведение на фазовой плоскости с, >л Рассмотрим различные случаи, которые могут здесь представиться. Корни Лл, Лэ действительны и одного знака В этом случае коэффициенты преобразования действительны, мы переходим от действительной плоскости л, у к действительной плоскости,с„ >л Разделив второе из уравнений (4.10) на первое, получим: (4.12) Интегрируя это уравнение, находиьс: Л и = с,,(', где а = =.
Л ' (4. 13) Условимся понимать под Лэ корень характеристического уравнения с большим модулелц по не нарушает общности нашего рассуждения, Тогда, поскольку в рассматриваемом случае корни Лл, Л> действительны и одного знака, а, > 1, и л»ы имеем дело с интегральными крнвымн параболического типа. Все интегральные кривые (кроме оси >1, которой сооз ветствует с = оо) касаются в начале координат оси С, которая также является интегральной кривой уравнения (4.П). Начало координат является особой точкой.
Выясним теперь направление движений изображающей точки вдоль фазовых траекторий. Если Лы Л> .— отрицательны, то, как видно из уравнений (4.10), ф, ~>1~ убывают с течением времени. Изображающая точка приближается к началу координат, никогда, однако, не достигая ого. В противном случае это противоречило бы теореме Ко- 1'ис. 4.5. Особая точка ти- ши, которая утверждает, что через каждую точку фазовой па узел на пл"скоси" кано плоскости проходит ли>пь одна фазовая траектория.
Такая особая точка, через кочорук> проходят интегральные кривые, подобно тому, как селсейство парабол у = ст (а > О) проходит через начало координат, носит название узла (рис. 4.5). Модели, анись>ваемые системами двух автономных дифференциальных урс«внений 69 Состояние равновесия типа узел при Лы Л> < 0 устойчиво по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Это устойчивый узел. Если же Лы Лг > О, то ~ь«~, ~>1' возрастают с течением времени и изображающая точка удаляется от начала координат.
В,этом случае особая точка —. неусэпайчивый узел. На фазовой плоскости х, у общий качественный характер поведения интегральных кривых сохранится, но касательные к интегральным кривым не будут совпадать с осями координат. Угол наклона этих касательных будет определяться соотношением коэффициентов о., 3, З, б в уравнениях (4.11). Корни Лы Лз действительны и разных знаков Преобразование от координат х., у к координатам б, у опять действительное. Уравнения для канонических переменных снова имеют вид (4.10), но теперь знаки Л>, Ла различны, Уравнение фазовых траекторий имеет вид: Ь1 У Л, — = — а —.
гдеа= дс ~ Лг (4.14) Интегрируя (4.14), находим (4.15) Это уравнение определяет семейство кривых гиперболического типа, где обе оси координат асимптоты (при Ч а .—. 1 мы имели бы семейство равнобочных гипербол). Оси координат и в этом случае являются интегральными кривыми это будут единственные интегральные кривые, проходящие через начало координат. Кыкдая нз них состоит из трех фазовых траекторий: из двух движений к состоянию равновесия (или от состояния равновесия) и из состояния равновесия.
Все остальные интегральные кривые су.и гиперболы, не проходящие через начало координат (рис. 4.6), Такая особая точка носит название «седлах. Линии уровня вблизи горной седловины ведут себя подобно фазовым рн 46 О „б „, „ траекториям в окрестности седла. па седло на плоскости ка- Рассмотрим характер движения изображающей точ- ионических координат 6, хр ки по фазовым траекториям вблизи состояния равновесия. Пусть, например, Л> ) О, Л> С О. Тогда изображающая точка, помещенная на оси С, будет удаляться от начала координат, а помещенная на оси >1 — будет неограниченно прибли>каться к началу координат, не достигая его за конечное время.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
