Г.Ю. Риниченко - Лекции по математическим моделям в биологии 2002 (1123213), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Где бы ии находнлась изображающая точка в начальный момент (за исключением особой точки и точек на асимптоге у = 0), она в конечном счете будет удаляться от состояния равновесия, даже если в начале она движется по одной из интегральных кривых по направлению к особой точке. Очевидно, что осабил тачка типа седла всегда неустойчивщ Только при специально выбранных начальных условиях на асимптоте >1 — — 0 система будет приближаться к состоянию равновесия, Однако это не противоречит утверждению о неустойчивости системы. Если считать, что все начальные состояния системы на фазовой плоскости равновероятны, то вероятность такого начального состояния, которое соответствует 70 ,7енпвя 4 движению по направлению к особой точке, равна нулю.
Поэтому всякое реальное дни>кение будет удалять систему от состояния равновесия. Переходя обратно к координатам л, у, мы получим ту >ке качественную картину характера дни>кения траекторий вокруг начала координат. Пограничным между рассмотренными случаями узла и седла является случай, когда один из характернстических показателей, например Лы обращается в яуль, что имеет место, когда определитель системы выражение аг) — Ьс = 0 (см.
формулу 4.8), В этом случае коэффициенты правых частей уравнеяий (4А) пропорциональны друг другу: н система имеет своими состояниями равнове- СИЯ ВСЕ, ТОЧКИ Прныой: Корни Лг, Лз — комплексные сопряженные В этом случае при действительных т и у мы будем иметь комплексные сопряженные с, й (4.10). Однако, вводя еще одно промежуточное преобразование, можно и в этом случае свести рассмотрение к действительному линейному однородному преобразованию.
Положим Л> =. а>+ >Ь>, Л> — а> — 1Ьм с —.. и+ мй ц —.. и+ пп (4.16) где а, Ь и и, н — действительные величины. Можяо показать, что преобразование от л, у к и, н является при наших предположениях действигельным, линейным, однородным, с детерминантам, отличным от нуля. В силу уравнений (4.10, 4.16), имеем: — + г — ' = (а> — >Ь>)(и — 1и), — — 1 — = (а> — >Ь>Нн — >й>), ди Йп , й> 4г й й ' й й откуда — = а>и — Ь>н, — = а>н — Ь>и. аи , аи й ': й (4. 17) Разделив второе из уравнений на первое, получим: г)н а> и -' Ь> и йи а>и — Ь» Остальные интегральные кривые представляют собой семейство параллельных прямых с углоРис.
4.7. Фазовый портрет системы, вым коэффициентом Л = сЯ, по которыги изободин нз характеристических корней ко- ража>ощие точки либо приближаются к состоя- торой ранен нулю, а второй .— отрнца нию равновесия, либо удаляются от него в зависимосгн от знака второго корня характеристического уравнения Л> = а + 4 (рис. 4.7.). В этом случае координаты состояния равновесия зависят от начального значения переменных. Модели, описываемые системами двух иетаномных дифференциальных уравнений 71 которое легче интегрируется, егти перейти к полярной системе координат (г, гр). После подстановки и = г соь р, и = у г!и гр получим — = —, откуда: де иг д,.
Ьгг ' (4.18) у =ась Таким образом, на фазовой п.поскости и, и мы имеем дело с семейством логарифмических спиралей, каждая из которых имеет асимптотическую точку в начале координат. Особая точка, которая является асимптотической точкой всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей, вложенных друг в друга, называется фокусом (рис. 4.8). Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям.
Умножая первое из уравнений (4.17) на и, а второе на е и складывая, получаем: 1 др —,— = ичр, где р= и . и . 2 дд 1аис. 4.8. Фазовый портрет системы в Пусть аг ( О (аг = ВеЛ), Изооражающая точ окрестности особой точки типа фока тогда непрерывно приближается к началу каор ьус на гиэзскости координат и, ь. динат, не достигая его в конечное врелгя. Это означает, что фазовые траектории представляют собой скручиваклдиеся спирали и соответствуют затухающим колебаниям переменных. Это устойчивый фикус.
В случае устойчивого фокуса. как и в случае устойчивого узла, выполнено не только условие Ляпунова. но и более жесткое требование. Именно, при любых начальных отклонениях система по прошествии времени вернется как угодно близко к положению равновесия. Такая устойчивость, при которой начальные отклонения не только не нарастают, но затухают, гтйремясь к нулю, называют абсолютной устойчивостью. Если в формуле (4Л8) гм > О, то изображающая точка удаляется от начала координат, и мы имеем дело с неустойчиеьгм фокусом. При переходе от плоскости и, е к фазовой плоскости х, у спирали также останутся спиралями, однако будут деформированы.
Рассмотрим теперь случай, когда аг =- О. Фазовыми траекториями на плоскости и, и бу„тут окружности и — , 'иг = сопэь, которым па плоскости х, у соответствуют д эллипсы: Ьи — (а — д)ху — сх = солги 2 Таким образом, при аг = О через особую точку х = О, у = О не проходит ни одна интегральная кривая. Такал изелирееаннил особая гггечка, вблизи которой интегральные кривые, представляют собой .эа„мкнутые кривые, е частности, эллипсы, елеэюенные друг е друга и охватывающие особую точку, назыеаетсл центром. Таким образом, возможны шесть типов состояния равновесия в зависимости от характера корней характеристического уравнения (4.7). Вид фазовых траекторий на плоскости х, у для этих шести случаев изображея па рис. 4.9. Пять типов состояния равновесия грубые, их характер не изменяется при доста- точно малых изменениях правых частей уравнений (4.4).
При этом малыми должны Лекция 4 Центр. Седло. ()с у )„„- чисто мнимые) ()., )„т - действительны и разных знаков) Рис. 4тк Тинь~ фазовых портретов в окрестности сгационарного состояния для систегиы ли- нейных уравнений (4.4). быль изменения не только правых частей, но и их производных первого порядка. Шестое состояние равновосия центр негрубое. При малых изменениях параметров правой части уравнений он переходит в устойчивый или неустойчивый фокус.
Устойчивый узел. ()с Х действительны и р отрицательны) Устойчивый фокус ( ),, ° )с, - комплсксны, Кср <О) Неустойчивый узел. ( Х г ) е действительны и положительны) Неустойчивый фокус ()с, Хи - комплексны, Кс ), >О) Модели, описываемые системами двух ивеаономных дифференциальных уривнений 73 Седло 1е Л„>О, 1.,=О Рис.
4.10. Бнфуркационная диаграмма для системы линейных уравнений 4.4. Вифуркационная диаграмма Введем обозначения: е =. — (ите1): (4.11) Тогда характеристическое уравнение запишется в виде: Ла — оЛ-'Ь = О. (4.12) Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами о, еа и отметим на ней области, соответствуюшие тому илн иному типу состояния равновесия, который определяется характером корней характеристического уравнения: — о+ ь/оа — 4Ь Лко = 2 (4.13) Условием устойчивости состояния равновесия бу.дет наличие отрицательной действительной части у Л» и Лю Необходимое и достаточноо уг ювие этого — вьшолнекие неравенств о > О, йх > О. На диаграмме 4.10 этому условию соответствуют точки, располоокенные в первой четверти плоскости параметров.
Особая точка будет фокусом, ееши Л1 и Ла комплексны. Этому условию соответствуют те точки плоскости. для которых оа — 4е'.ь < О, т.е. точки вне>яду двумя ветвями параболы оа = 4ел. Точки полуоси о = О, Ь > О соотве.тствукег состояниям равновесия типа центр.
Аналогично, Л1 в Лз действительны, но разных знаков, т. е. особая точка будет седлом, если ел < О, и т.д. В итоге мы получим диаграмму разбиения плоскости параметров о, е1 на области, соотвотствуюшие различным типам состояния равновесия. 74 ,7ехция 4 Пример, Система линейных химических реакций Вещество Х притекает извне с постоянной скоростью, превращается в вещество У и со скоростью, пропорциональной концентрации вещества У, выводится пз сферы реакции. Все реакции имеют первый порядок, за исключением притока вещества извне, имеюпгего нулевой порядок. Схема реакций У имеет вид: — г Х вЂ” Š— -г Ьг Ьг , йг /с,х (4.14) и описывается системой уравнений: — ' = йг — йзя, — ' = Цт — йзу.
(4.15) дт..., иУ дз ' д1 Стационарные концентрации получим, при- равняв правые части нулю: йг йг (4.16) йг ' ' йз ' О Х йг Рассмотрим фазовый портрет системы. Разделим второе уравнение системы (4.16) на первое. Получим: Рис. 4.11. Фазовый портрет системы ли- нейных химических реакций (4,15), ду й2т — уз у 62 йг й22 (4.17) Уравнение (4.17) определяет поведение переменных на фазовой плоскости. Построим фазовый портрет этой системы. Сначала нарисуем главные изоклины на фазовой плоскости.
Уравнеяия изоклин в1 ртикальных касательных: Если коэффициенты линейной систомы а, 6, с, д зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут меняться и величины и, Ь. При переходе через границы характер фазового портрета качественно меняется. Поэтому такие границы называются бифуркациоппыми по разные стороны от гранины система имеот лва топологически различных фазовых портрета и, соответственно, два разных типа поведения. На диаграмме видно, как могут проходить такие изменения. Если исключить особые случаи -- начало координат, — то легко видеть, что седло может переходить в узел, устойчивый или неустойчивый при пересечегши оси ординат. Устойчивый узел может перейти либо в седло., либо в устойчивый фокус и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
