А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В этом случае проекция на ось z не будет иметь точно определенного значения.9293Как видно, максимальное значение дисперсии измеряемых значений x - и y - проекциймомента импульса реализуется для состояния с L z = 0 , а минимальное – для состояния смаксимально возможной величиной Lz = ±lh . В этом случае:L2x = L2y =h2l.2В случае l >> 1 для состояния Yll имеемL2x≈L1l<< 1 .Поскольку, как уже отмечалось, в этом состоянии L x = L y = 0 , то в предельном случае l >> 1 и m = l реализуется классический случай: вектор момента имеет определенное направление в пространстве (направлен вдоль оси z ).Договоримся теперь о следующей терминологии.
Квантовое число l будем называть орбитальным квантовым числом. Оно задает значение квадрата момента количествадвижения. Обычно состояния с различными значениями l обозначают буквами латинского алфавита. Состояние с l = 0 называют s -состоянием, с l = 1 - p -состоянием,l = 2 - d -состоянием, l = 3 - f -состоянием, и далее по латинскому алфавиту3:l = 0, 1, 2, 3, 4, 5,...s,p, d ,f , g , h,...Например, когда говорят о p -электроне, то это означает, что электрон находится в состоянии с орбитальным квантовым числом равным единице.2Величина ρ θ (θ) = Ylm (θ, ϕ) определяет угловое распределение электроннойплотности в состоянии с заданным l .
Как видно, это распределение характеризуется аксиальной симметрией. Распределения угловой плотности для s - и p - состояний с различными z -проекциями момента ( m = 0,±1 )приведены на рис.7.2.Отметим еще одно важное свойствосостояний в центрально – симметричномполе. Эти состояния также характеризуютсяопределенной четностью. Действительно,rrинверсия координаты r → − r означает, чтосферические координаты точки (r , θ, ϕ)преобразуются в (r , π − θ, ϕ + π) . Посколькусферическая функция Ylm (θ, ϕ) обладаетсвойствомYlm (π − θ, ϕ + π) = (−1) l Ylm (θ, ϕ) ,то все состояния с четным значением орбитального квантового числа (s, d, g,…) характеризуются положительной четностью, а3Происхождение такой терминологии обусловлено названием серий в спектрах атомов щелочных металлов и будет обсуждаться позже.9394состояния с нечетным значением l (p, f, h,…) – отрицательной четностью.Завершим теперь решение задачи на собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона.
С учетом сделанного выше, из (7.6) получим уравнение длярадиальной волной функции R(r ) :h2 1 d 2h 2 l(l + 1)(rR(r ) ) +−R (r ) + V (r ) R(r ) = ER(r ) .(7.12)2m r dr 22mr 2Вводя новую функциюu (r ) = rR(r ) ,получимh 2 d 2 u (r )−+ Veff (r )u (r ) = Eu (r ) ,(7.13)2m dr 2гдеh 2 l(l + 1).Veff (r ) = V (r ) +.(7.14)2mr 2Таким образом, для функции u (r ) имеем обычное одномерное уравнение Шредингера,но с эффективным потенциалом. Добавку h 2 l(l + 1) 2mr 2 называют центробежным потенциалом.
Точно такое же слагаемое L2 2mr 2 возникает и в решении классической задачи о движении в центрально симметричном поле. Именно этот потенциал «отжимает»частицу от центра, препятствуя ее падению на силовой центр. Квантовая специфика заключается только в том, что квадрат момента количества движения принимает строгоопределенный дискретный набор значений.Как видно, вследствие центральной симметрии задачи эффективный потенциалVeff (r ) не зависит от магнитного квантового числа. Это означает, что состояния с заданным l , но различными m , описываются одним и тем же радиальным волновым уравнением.
Следовательно, такие состояния характеризуются одинаковыми радиальнымиволновыми функциями и имеют совпадающий набор энергетических уровней. Такимобразом, состояния с заданным l , но различными m , оказываются вырождены по проекции орбитального момента, причем кратность вырождения g = 2l + 1 . Это очень важная особенность решения задачи(7.2) в произвольном центральносимметричном поле.Перейдем теперь к болееподробному обсуждению случая кулоновского потенциала.
В этом случае эффективный потенциал, в котором происходит радиальное движение частицы, записывается в видеZe 2 h 2 l(l + 1)+Veff (r ) = −.(7.15)r2mr 2Графики функций для различныхзначений l приведены на рис.7.3.Для s -состояний эффективный потенциал совпадает с кулоновским,для состояний с ненулевым моментом в области малых r возникает центробежныйбарьер, тем больший, чем больше значение орбитального квантового числа.9495Наша задача теперь проанализировать решение радиального уравнения (7.13) спотенциалом (7.15). Решение задачи можно искать как в области отрицательных значений энергии E < 0 , так и при E > 0 .
Мы ограничимся рассмотрением только случаяE < 0 , соответствующего связанному состоянию частицы в кулоновском потенциале4.Обезразмерим уравнение (7.13). Вводя ξ = r a 0 и ε = E Ry (здесь a 0 = h 2 me 2 боровский радиус, Ry = h 2 2ma 02 ), перепишем уравнение (7.13) в виде⎛ 2Z⎞d 2 u (ξ) l(l + 1)−u (ξ) + ⎜⎜− ε ⎟⎟u (ξ) = 0 .(7.16)22ξdξ⎝ ξ⎠Установим, прежде всего, асимптотическое поведение радиальной волновойфункции u (ξ) в области больших значений ξ → ∞ . В этой области уравнение (7.16)имеет видu ′′(ξ) ≈ εu (ξ) ,откуда находимu (ξ → ∞) ~ exp − εξ .(7.17)С другой стороны, в области малых ξ ( ξ → 0 ) наиболее существенным оказываетсяцентробежный потенциал. Поэтому в этой области имеем:l(l + 1)u ′′(ξ) −u ( ξ) ≈ 0 .ξ2Ограниченное в точке ξ = 0 решение этого уравнения имеет видu (ξ) ~ ξ l +1 .(7.18)С учетом асимптотик (7.17) и (7.18) решение радиального уравнения (7.16) следует искать в видеu (ξ) = ξ l +1v(ξ) exp(− αξ ) ,(7.19)()где α = ε .
При этом функция v(ξ) должна быть полиномом конечной степени n r :nrv ( ξ) = ∑ C k ξ k .k =0Как и в случае гармонического осциллятора, это условие может быть выполнено лишьдля строго определенных значений ε , определяемых из условияnr + l + 1 = Z ε .(7.20)Здесь n r = 0,1,2,... - степень полинома и называется радиальным квантовым числом. Из(7.20) получаемZ 2 RyE=−.(7.21)(nr + l + 1) 2Вводя главное квантовое число n = n r + l + 1 , перепишем (7.21) в видеZ 2 Ry.(7.22)n2Здесь n принимает положительные целочисленные значения n = 1,2,3,...
При этом видно, что значения орбитального квантового числа изменяются в следующих пределахl = 0,1,2,..., n − 1. Полученное выражение для уровней энергии водородоподобного иона вEn = −4В случае положительного значения энергии возникает непрерывный энергетический спектр. Решениеуравнения (7.13) можно найти для любого E > 0 .9596точности совпало с предсказаниями теории Бора. При этом состояния с различными l ,принадлежащими одному и тому же значению n , оказываются вырожденными, т.е. вслучае кулоновского поля возникает дополнительное «случайное» вырождение по орбитальному квантовому числу.
Учитывая также вырождение уровней по проекции орбитального момента, легко определить кратность вырождения состояний с данным значением главного квантового числаn −1g = ∑ (2l + 1) = n 2 .(7.23)l =0Таким образом, основное состояние 1s является невырожденным, состояния 2 s и 2 pимеют одинаковую энергию, кратность вырождения равна четырем (существует триp состояния, отличающихся значением магнитного квантового числа). Далее имеетсянабор состояний 3s , 3 p и 3d (ихвсего девять – одно s -, три p - ипять d -состояний), также имеющих одинаковое значение энергии.Энергетическая диаграмма нижних состояний в атоме водорода(или водородоподобном ионе)приведена на рис.7.4.Вернемся теперь к обсуждению радиальных волновыхфункций в задаче Кеплера.
Полиномы v(ξ) , через которые выражается решение уравнения (7.16) называются обобщенными полиномами Лагерра, и их свойства хорошо изучены в математике. Эти полиномы могут быть определены какdsLqs (ξ) = exp(ξ)ξ − q s (ξ q + s exp(−ξ) ) .(7.24)dξТогда общее выражение для радиальной волновой функции Rnl (r ) имеет следующийвид:⎛ Zr ⎞ 2 l +1⎟⎟ ⋅ Ln −l −1 (2 Zr na 0 ) ,Rnl (r ) = N nl ⋅ r l exp⎜⎜ −(7.25)⎝ na 0 ⎠где нормировочный коэффициент N nl определяется из условия нормировки.Таким образом, задача об определении волновых функций стационарных состояний решена.
Волновая функция частицы в центрально симметричном поле характеризуется тремя квантовыми числами n, l, m и может быть представлена в видеψ nlm (r , θ, ϕ) = Rnl (r )Ylm (θ, ϕ) ,(7.26)в случае кулоновского поля радиальные функции Rnl (r ) представимы в виде (7.25). Приэтом квантовые числа могут принимать следующий набор значенийn = 1, 2 ,3,...,l = 0 ,1 ,2 ,..., n − 1,m = −l ,−l + 1 ,...l − 1 , l.Нормировочный коэффициент N nl должен быть определен из условия:9697∫ψ2nlmr 2 drdΩ = 1 .(7.27)С учетом представления (7.26), поскольку мы договорились использовать нормированные на единицу сферические функции, условие нормировки радиальных функций записывается в виде∞∫R2nl(r )r 2 dr = 1 .(7.28)0Здесь мы учли, что обобщенные полиномы Лагерра являются действительными функциями.Приведем явные выражения для радиальных волновых функций нескольких нижних энергетических состояний:321sR10 (r ) = 2(Z a 0 ) exp(− Zr a 0 ) ,R20 (r ) = 2(Z 2a 0 ) (1 − Zr 2a 0 ) exp(− Zr 2a 0 ) ,(7.29)2(Z 2a0 )3 2 ⋅ Zr 2a0 ⋅ exp(− Zr 2a0 ) .2pR21 (r ) =3Графики этих функции приведены на рис.7.5.
Важной особенностью рассмотренных нами состояний является то, что все состояния с отличным от нуля орбитальным моментомобращаются в нуль в начале координат, причем, чем больше значение орбитального момента, тем больше электронная плотность оказывается «отжата» от ядра центробежным2s32потенциальным барьером. Для s - состояний потенциальный барьер отсутствует, в результате волновая функция оказывается отлична от нуля в начале координат. Это приводит к тому, что именно структура s - состояний оказывается наиболее чувствительной кособенностям потенциала вблизи центральной точки, поскольку существует ненулеваявероятность обнаружить частицу в малой области пространства вблизи силового центра.Фактически в таких состояниях атомный электрон с некоторой вероятностью может оказаться внутри атомного ядра, что делает необходимым учитывать его неточечность приточном расчете положения s - уровней.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
