А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 28
Текст из файла (страница 28)
При этом в состоянии с заданным полным моментом L величины z - проекции моментов каждого из электронов не могутбыть определены точно. Таким образом, мы имеем два набора базисных функций, описывающих состояние двухэлектронной системыl 1 , m1 ⋅ l 2 , m2 и l 1 , l 2 , L, M L .(8.27)Мы хотим определить, какие значения может принимать полный момент и его z - проекция в состоянии l 1 , m1 ⋅ l 2 , m2 .Поскольку l 1 , l 2 , L, M L есть собственная функция оператора L̂z , тоLˆ l , l , L, M = hM l , l , L, M .z12LL12LС другой стороныLˆ z l 1 , m1 ⋅ l 2 , m2 = lˆ 1z + lˆ 2 z l 1 , m1 ⋅ l 2 , m2 =lˆ 1z l 1 , m1 + lˆ 2 z l 2 , m2 = h (m1 + m2 ) l 1 , m1 ⋅ l 2 , m2 .()(8.28)Сопоставление (8.27) и (8.28) даетM L = m1 + m2 .(8.29)Полученное правило сложения проекций момента количества движения позволяет решить вопрос о максимальном и минимальном значении полного орбитального момента всостоянии l 1 , m1 ⋅ l 2 , m2 .
Как видно из (8.29), максимальное значение проекции пол-ного орбитального момента естьM L = l1 + l 2 .Поскольку максимально возможное значение магнитного квантового числа равно орбитальному квантовому числу, мы приходим к выводу, что максимальное значение полного орбитального момента естьLmax = l 1 + l 2 .rrТакое значение соответствует ситуации, когда вектора l1 и l 2 «параллельны» друг друrrгу. Минимальное же значение L соответствует случаю, когда вектора l1 и l 2 «антипараллельны»10. Для этого случаяLmin = l 1 − l 2 .Таким образом,l 1 − l 2 ≤ L ≤ l 1 + l 2 , через единицу,илиL = l 1 + l 2 , l 1 + l 2 − 1, l 1 + l 2 − 2, ..., l 1 − l 2 + 1, l 1 − l 2 ,(8.30)всего (2l 2 + 1) или (2l 1 + 1) значений. Нетрудно видеть, что, как и следовало ожидать,полное число состояний в базисе l 1 , l 2 , L, M L также равно (2l 1 + 1)(2l 2 + 1) .
Действительно (мы полагаем, что l 1 ≥ l 2 ):l1 +l 2∑ (2 L + 1) =L =l1 −l 210(2(l 1 + l 2 ) + 1) + (2(l 1 − l 2 ) + 1)2(2l 2 + 1) = (2l 1 + 1)(2l 2 + 1) .Слова «параллельны» и «антипараллельны» здесь взяты в кавычки, поскольку даже в состоянии с максимально возможной величиной проекции момента количества движения вектор момента направлен подуглом к оси квантования (ось z ), что формально делает невозможным существование параллельной (антипараллельной) ориентации векторов l 1 и l 2 в пространстве.111112Отметим еще раз, что сформулированное правило (8.30) справедливо при сложении моментов любой природы.Рассмотрим несколько примеров.1. Пусть имеются два электрона, один из которых находится в p , а другой в d состоянии. Определить возможные значения полного орбитального момента.
В рассматриваемом случае l 1 = 1 , l 2 = 2 . Поэтому, в соответствии с (8.30), находим L = 1,2,3 ,то есть возможны P , D и F состояния.2. Определить возможные значения полного спинового момента двух электронов.Поскольку s1 = s 2 = 1 2 , то, очевидно, S = 0, 1 . Про эти два случая иногда говорят, чтоспины параллельны, или антипараллельны друг другу.3. Электрон в атоме находится в состоянии с орбитальным моментом, равнымr r rl . Определить значение полного механического момента j = l + s .
По правилу (8.30)находим, что для s - состояния квантовое число j = 1 2 , для состояний с ненулевым орбитальным моментом j = l ± 1 2 .Систематика состояний атома водорода.Введение в теорию спинового момента электрона, а также рассмотренная вышепроцедура сложения моментов количества движения заставляет нас вернуться еще раз ксистематике состояний водородного атома. Ранее мы показали, что произвольное состояние атома водорода характеризуется четырьмя квантовыми числамиn, l, ml , m s .Теперь у нас еще и другой наборn, l, j , m j .rrВ отсутствие взаимодействия между моментами l и s оба этих набора равноценны. Влитературе принято характеризовать стационарные состояния атома водорода квантовыми числами n, l, j .
Записывается так - nl j . Например, основное состояние - 1s1 2 ,нижние возбужденные состояния - 2s1 2 , 2 p1 2 , 2 p3 2 . Все последние три состояния врассматриваемых нами приближениях являются вырожденными. Более того, каждое изэтих состояний содержит наборподуровней с различными значениями квантового числа m j( m j = − j ,..., j , всего 2 j + 1 значений), которые оказываютсявырожденными в произвольномцентрально - симметричном поле.
Энергетическая диаграммауровней атома водорода с введенными обозначениями приведена на рис.8.4.Однако мы знаем, что с орбитальным механическим и спиновым моментамиэлектрона связаны соответствующие магнитные моменты. Наличие у атомного электрона этих магнитных моментов приводит к возникновению так называемого спин – орбитального взаимодействия, которое мы до настоящего времени не рассматривали.112Значит,113при вычислении положения энергетических уровней в спектре атома водорода при записи гамильтониана системы мы не учитывали слагаемое, описывающее спин – орбитальное взаимодействие, и наши предыдущие расчеты (см. Л_7) нуждаются в уточнении.Оказывается, энергия спин – орбитального взаимодействия весьма мала по сравнению сэнергией электростатического взаимодействия электрона с атомным ядром. Поэтому поправки к уровням энергии будут малы и могут быть найдены в рамках теории возмущений.Приближенное решение стационарного уравнения Шредингера.
Теория возмущений.Рассмотрим сначала общие принципы нахождения поправок к уровням энергии иволновым функциям стационарных состояний в рамках теории возмущений. Рассмотримследующую задачу. Пусть имеется некоторая квантовая система, описываемая гамильтонианом Ĥ 0 , причем мы знаем решение задачи на собственные значения и собственныефункцииHˆ 0 ψ n = E n ψ n .(8.31)Пусть также имеется другая система, гамильтониан которой записывается в видеHˆ = Hˆ 0 + Vˆ .(8.32)Нас интересуют собственные значения и собственные функции этого гамильтониана.В дальнейшем оператор Vˆ мы будем называть оператором возмущения.
Если этовозмущение мало, то естественно ожидать, что собственные значения и собственныефункции гамильтониана Ĥ будут близки к решению задачи (8.31). Наша задача – найтив такой ситуации приближенное решение задачи~ =ε ψ~Hˆ 0 + Vˆ ψ(8.33)nn n.()Сформулированная задача является широко распространенной. Например, Ĥ 0 - атомный гамильтониан, учитывающий кинетическую энергию электрона и его кулоновскоевзаимодействие с ядром, а Vˆ - описывает спин – орбитальное взаимодействие в атоме,которое можно учесть по теории возмущений.Общий подход к решению задачи (8.33) заключается в следующем.
Будем искатьэнергии стационарных состояний и соответствующие им волновые функции в виде~ = ψ + δψ ,ε n = E n + δE n ,ψ(8.34)nnnгде поправки δE n и δψ n к уровням энергии и волновым функциям стационарных состояний полагаются малыми.Подставляя представление (8.34) в уравнение (8.33), и учитывая слагаемые толькопервого порядка малости, получим:Hˆ 0 ψ n + Hˆ 0 δψ n + Vˆψ n = E n ψ n + δE n ψ n + E n δψ n .(8.35)Для получения поправки к уровню энергии δE n домножим уравнение (8.35) на ψ *n ипроинтегрируем по всей области определения волновой функции. ПолучимδE n = ∫ ψ *nVˆψ n dτ + ∫ ψ *n Hˆ 0 − E n δψ n dτ .(8.36)()Покажем теперь, что второй интеграл в (8.36) обращается в нуль. Поскольку наборфункций {ψ n } образует полный базис, то возможно представление поправки δψ n кфункции в видеδψ n = ∑ c m ψ m .(8.37)m113114Тогда второе слагаемое в (8.36) преобразуется к виду**∫ ψ n Hˆ 0 − E n δψ n dτ = ∑ cm ∫ ψ n ( E m − En )ψ m dτ = 0()mи равно нулю в силу условия ортогональности собственных функций гамильтонианаĤ 0 .
Таким образом, для поправки к уровням энергии окончательно получаемδE = ψ * Vˆψ dτ ,(8.38)n∫nnт.е. дополнительная энергия может быть вычислена как среднее значение энергии возмущения, вычисленной на невозмущенных волновых функциях. Выражение (8.38) символически также записывают в виде:δE n = ψ n | Vˆ | ψ n ≡ n | Vˆ | n = Vnn .(8.39)Интеграл вида (8.38) называют матричным элементом оператора Vˆ .
Как видно, в данном случае речь идет о диагональном элементе, а в общем случае вся совокупность элементов Vmn образует матрицу оператора возмущения Vˆ .Вычислим теперь поправки к волновым функциям стационарных состояний δψ n .Умножая (8.35) на ψ *k ( k ≠ n ) и интегрируя по всей области определения волновойфункции, получимψ k | Hˆ 0 | δψ n + Vkn = E n ψ k | δψ n .(8.40)Здесь Vkn = ∫ ψ *k Vˆψ n dτ - недиагональный матричный элемент оператора возмущения Vˆ ,построенный на волновых функциях невозмущенного состояния.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
