А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Подставляя в (8.40)функцию δψ n в виде разложения (8.37), получимc k = Vkn ( E n − E k ) ,т.е. поправка к волновой функции n -го стационарного состояния имеет вид:Vknδψ n = ∑ψk ,(8.41)k ≠n En − Ekа полная волновая функция n -го возмущенного стационарного состояния записываетсяв видеVkn~ =ψ +ψψ k + ...(8.42)∑nnk ≠n En − EkПро выражение (8.42) иногда говорят, что возмущение «подмешивает» к n -му стационарному состоянию другие стационарные состояния невозмущенного гамильтониана.Таким образом, выражения (8.38) (или (8.39)) и (8.42) дают решение поставленной нами задачи в первом порядке теории возмущений.Полученные нами выражения позволяют сформулировать условия применимостиполученных результатов. Необходимо потребовать, чтобы поправки к положению энергетических уровней и волновым функциям были малыми.
Это, очевидно, возможно привыполнении условийVnn << E n − E k , Vkn << E n − E k ,(8.44)т.е. матричные элементы оператора возмущения должны быть малы по сравнению с разностью невозмущенных энергий данного уровня и любого другого уровня системы. Неравенства (8.44), фактически, можно рассматривать как условия малости оператора возмущения Vˆ по сравнению с невозмущенным гамильтонианом Ĥ 0 .114115Может так оказаться, что поправка к положению энергетического уровня в первом порядке теории возмущений оказывается равной нулю. Тогда необходимо рассматривать влияние возмущения во втором порядке малости.
Проводя рассуждения, аналогичные приведенным выше, нетрудно получить2δE n( 2) = ∑ Vkn ( E n − E k ) .(8.44)k ≠nМы пришли к выводу, что поправки к уровням энергии и волновым функциям зависятне только от величины возмущения, но и от структуры энергетического спектра. В частности, если спектр оказывается вырожденным, то наши поправки оказываются бесконечно велики даже при сколь угодно малой величине оператора возмущения. Поэтомуфактически рассмотренная схема может быть использована лишь для систем с невырожденным энергетическим спектром. Мы не будем рассматривать вариант теории возмущений для вырожденных состояний. Из сказанного выше ясно, что «перемешивание»группы вырожденных состояний оказывается существенным при любой величине возмущения. Однако, оказывается, что в случае, если оператор возмущения имеет совпадающий набор собственных функций с невозмущенным гамильтонианом (в этом случаематрица оператора возмущения является диагональной в базисе гамильтониана Ĥ 0 ) результаты, полученные нами, оказываются справедливыми и при наличии в системе вырождения.8.1.8.2.8.3.8.4.8.5.8.6.8.7.Задачи.)Найти собственные состояния операторов S x и Ŝ y .Определить средние значения проекции спина электрона на оси x , y и z в со⎛α⎞22стоянии ⎜⎜ ⎟⎟ , α + β = 1 .⎝β ⎠Каковы могут быть суммарные значения спинового момента трех электронов?Чему могут быть равны суммарные значения орбитального момента трех электронов, каждый из которых находится в p , d и f состояниях соответственно.Совокупность атомных электронов характеризуется суммарным орбитальныммоментом L = 2 и суммарным спиновым моментом S = 3 2 .
Определить возможные значения полного механического момента электронной оболочки атома.Определить уровни энергии одномерного ангармонического осциллятораU = mω2 x 2 2 + αx 4 . Ангармоническую добавку считать малой.В рамках теории возмущений определить энергетический спектр и волновыефункции стационарных состояний системы связанных линейных гармонических)))осцилляторовсгамильтонианомH = H 1 + H 2 + α( x1 − x 2 ) 2 ,где))2 2H i = Ti + mω0 xi / 2 - гамильтониан гармонического осциллятора с частотой ω0 ,α - константа связи.
Сравнить с точным решением задачи (см. задачу (6.8)).115116Лекция 9.Изотопическое смещение атомных уровней, связанное с конечным размероматомного ядра.В качестве примера использования теории возмущений рассмотрим вопрос овлиянии конечного размера атомного ядра на положение энергетических уровней в водородоподобном ионе с зарядом Z . Действительно, при определении энергетическогоспектра водородоподобных ионов с зарядом Z (см.
Л_7) мы исходили из предположения, что ядро является точечным. На самом деле ядро имеет конечный размер (порядка10-13 см для легких ядер и ~10-12 см - для тяжелых). В результате потенциальная энергиявзаимодействия электрона с ядром описывается формулойZe 2V (r ) = −(9.1)rлишь приближенно. Точное выражение для энергии взаимодействия может быть записано в видеr~ rV (r ) = −eϕ(r ) ,(9.2)rгде ϕ(r ) - электростатический потенциал, создаваемый ядром в пространстве.
Распредеrление ϕ(r ) удовлетворяет уравнению Пуассонаr∇ 2 ϕ = −4πρ(r ) ,(9.3)rгде функция ρ(r ) определяется распределением заряда в атомном ядре. Вследствие малости размера ядра R N по сравнению с размером области локализации электроннойволновой функции можно ожидать, что (9.1) и (9.2) дают близкие распределения. В такой ситуации истинное положение энергетических уровней будет приблизительно описываться формулойZ2E nl = − Ry 2 ,(9.4)nа смещение уровней, обусловленное конечным размером ядра, можно рассчитать по теории возмущений.
Рассматривая в качестве невозмущенного атомного гамильтонианаоператорZe 2Hˆ 0 = Tˆ −,rзапишем полный гамильтониан водородоподобного иона в видеrHˆ = Tˆ − eϕ(r ) = Hˆ 0 + δVˆ .Здесь в качестве оператора возмущения выступает разность между потенциальной энергией взаимодействия электрона с реальным и точечным ядром:r~ rδV = V (r ) − V (r ) = −eϕ(r ) + Ze 2 r ,запишем выражение для поправки к энергетическому уровню в видеr 2rδE nl = ∫ ψ nl (r ) δV (r )d 3 r .(9.5)Мы будем считать, что распределение заряда в атомном ядре является сферически симrrметричным, то есть ρ(r ) = ρ( r ) .
Вид функций V (r ) и − eϕ(r ) для этого случая приведены на рис.9.1. Как видно, вне ядра выражения (9.1) и (9.2) совпадают и интеграл в (9.5)берется по объему атомного ядра, то есть смещение энергетического уровня обусловлено тем, что с некоторой вероятностью электрон может быть локализован внутри атомного ядра. При этом существенно, что неточечность ядра приводит к тому, что потенци-116117альная яма становится более мелкой по сравнению с моделью точечного ядра.
Следовательно, величина возмущения δV > 0 , и уровни должны сместиться вверх относительноположения, определяемого из (9.4).Заметим, что вследствие малости размера атомного ядра по сравнению с областью локализации электронной волновой функцииR N << a 0 / Z ,можно считать, что в области интегрирования значение электронной волновой функциипрактически постоянно и определяется величиной ψ nl (r = 0) . Поэтому перепишем (9.5)в виде2δE nl = −e ψ nl (0) ∫ (ϕ(r ) − Ze r )d 3 r .(9.6)VNПринимая во внимание поведение радиальных волновых функций вблизи точки r = 0Rnl (r ) ~ r l , ( l ≠ 0 ) и Rns (0) ≠ 0 ,находим, что в нашем приближениибудут смещены только s - состояния, все состояния с ненулевым значением орбитального момента останутся неподвижны, то естьδE nl ≠ 0 = 0 .Так получилось потому, что центробежный потенциальный барьеротжимает электрон от центра и делает вероятность обнаружить еговнутри атомного ядра исчезающеемалой.
Что касается s - состояний,то для них центробежный барьеротсутствует, и электрон с некоторойвероятностью может быть обнаружен внутри атомного ядра, что и приводит к смещению уровней с нулевым значениеморбитального момента.Для вычисления интеграла (9.6) воспользуемся следующим тождеством∇ 2 (r 2 ) ≡ 6 .(9.7)С учетом (9.7) перепишем (9.6) в виде12δE ns = − e ψ ns (0) ∫ ∇ 2 (r 2 )(ϕ(r ) − Ze r )d 3 r .(9.8)6VNИнтегрируя (9.8) по частям, получим12δE ns = − e ψ ns (0) ∫ r 2 ⋅ ∇ 2 (ϕ(r ) − Ze r )d 3 r .6VN(9.9)rr⎛1⎞Учтем теперь, что ∇ 2 ⎜ ⎟ = 4πδ(r ) , и r 2 δ(r ) = 0 . Тогда из выражения (9.9) с учетом (9.3)⎝r⎠найдем4π2π22δE ns =e ψ ns (0) ∫ r 2 ρ(r )d 3 r =e ψ ns (0) ZeR 2 ,(9.10)63VN1171181r 2 ρ(r )d 3 r - протонный среднеквадратичный радиус ядра.
Поскольку∫ZeZ32ψ ns (0) = 3 3 ,πa0 nдля поправки к уровню энергии ns окончательно находим4 4 R2 1δE ns = Z(9.11)Ry .3a 02 n 3Как видно, поправка быстро убывает с увеличением главного квантового числа, что связано с уменьшением вероятности обнаружить электрон внутри ядра по мере увеличенияn . Дальнейшее уточнение полученного результата зависит от конкретного вида функции, описывающей распределение плотности заряда внутри ядра. Например, в случаеравномерного распределения зарядаZeρ(r ) == const(4 3)πR N33имеем R 2 = R N25Итак, учет конечного размера ядра привел к смещению s - уровней вверх относительно их положения, рассчитанного в приближении точечного ядра.
Уровни с ненулевым значением орбитального момента остались несмещенными. Таким образом, «случайное» вырождение по орбитальному моменту оказалось частично снятым. Величинасмещения достаточно мала. Например, для основного состояния атома водорода, полагая, что для протона R ≈ 0.8 ⋅ 10 −13 см1, из (9.11) находим4 R2δE1s =Ry ≈ 3 ⋅ 10 −10 Ry ,23 a0однако, поправка быстро растет с увеличением заряда ядра. Поскольку различные изотопы одного и того же химического элемента имеют несколько отличающиеся размерыядра, то положение s - уровней у них несколько отличается. То есть, конечный размерядра, так же как и конечная масса ядра (см.
Л_3), является причиной изотопическогосдвига атомных уровней. Рассматриваемый нами эффект оказывается тем существенней,чем тяжелее ядро атома.где R 2 =Тонкая структура спектра атома водорода.Выше мы уже говорили, что наличие у электрона в атоме помимо орбитальногоеще и собственного механического и связанного с ним магнитного момента ведет к появлению спин - орбитального взаимодействия, которое мы не учитывали ранее при анализе спектра атома водорода. Самый простой взгляд на природу спин – орбитальноговзаимодействия заключается в попытке представить его как взаимодействие двух магнитных моментов, один из которых связан с орбитальным, а другой – со спиновым движением электрона. В этом случае энергия взаимодействия может быть оценена какr rµlµ sE ls ~ 3 .(9.12)rТакая оценка не вполне обоснована.
Действительно, выражение для диполь – дипольного взаимодействия вида (9.12) получается в предположении, что характерное расстояниеr между пространственными областями, в которых локализованы токи, создающие маг1См., например, И.М.Капитонов «Введение в физику ядра и частиц», М.: УРСС, (2002), с.23-24.118119нитные моменты, существенно больше размера этих областей (см рис.9.2). В нашем случае это не так. Эти пространственные размеры совпадают по порядку величины и могутбыть оценены как a0 - боровский радиус. Более строгое рассмотрение природы спин –орбитального взаимодействия буде дано позже. А сейчас оценим величину энергии спомощью выражения (9.12).
Полагая, что µ l ≅ µ s ≅ µ B = eh 2mc иr ≅ a0 , получимµ 2B 1 2E ls ≅ 3 ≅ α Ry ,2a0(9.13)где α = e 2 hc - постоянная тонкойструктуры. Как видно, энергия спин– орбитального взаимодействия примерно на четыре порядка меньше, чем энергия электростатического взаимодействия электрона с ядром, что позволяет решать задачу обучете спин - орбитального взаимодействия в атоме по теории возмущений.С другой стороны, вспомним, что скорость электрона на первой боровской орбитеопределяется как v1 c = α , а, следовательно, учет релятивистской связи кинетическойэнергии и импульса частицыT=p 2 c 2 + m 2 c 4 − mc 2(9.14)даст также добавку порядка α Ry в энергию системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
