А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Действительно, разлагая выражение в ряд по малому параметру p mc , получим2()22p 2 2m11⎞ p2242⎛⎛⎞T = mc ⎜ 1 + ( p mc ) − 1⎟ = mc ⎜1 + ( p mc ) − ( p mc ) + ... − 1⎟ ≈−⎝⎠82mc 2⎠ 2m⎝ 2= T0 − T02 2mc 2 .(9.15)2Здесь первый член разложения дает «обычную» нерелятивистскую энергию T0 = p 2 2m ,а второй – релятивистскую поправку. Учитывая, что в атоме водорода T0 ≅ Ry , для поправки получаемδT ≈ Ry 2 2mc 2 ≈ α 2 Ry ,(9.16)т.е.
величину порядка энергии спин – орбитального взаимодействия. Таким образом, обепоправки имеют релятивистскую природу и должны быть учтены одновременно. Как мыувидим, учет этих поправок приводит к возникновению так называемой тонкой структуры спектра атома водорода, причем величина тонкого расщепления определяется квадратом постоянной тонкой структуры2.После проведенных качественных рассуждений прейдем к последовательномурассмотрению обеих поправок в рамках квантовомеханической теории возмущений. Будем рассматривать водородоподобный ион с зарядом Z .
Невозмущенный гамильтонианэтой системы имеет видZe 2Hˆ 0 = Tˆ0 −.(9.17)rРешение задачи на собственные значения и собственные функции гамильтониана Ĥ 0хорошо известно (Л_7). Наша задача найти поправки к уровням энергии, обусловленныерелятивистскими эффектами.2Отсюда происхождение названия – постоянная тонкой структуры.1191201) Учет релятивистской связи импульса и энергии электрона.Начнем с учета поправки к энергии электрона, обусловленной релятивистскойсвязью энергии и импульса электрона.
Переход к квантовой механике означает, что выражение (9.15) приобретает смысл соотношения между операторами. Величину− Tˆ02 2mc 2 , которая с физической точки зрения представляет собой релятивистскую поправку к кинетической энергии электрона, мы будем трактовать как оператор возмущения δTˆ . Тогда поправка к положению энергетических уровней может быть записана ввиде1∆ET = nl | δTˆ | nl = −nl | ( Hˆ 0 + Ze 2 r ) 2 | nl .(9.18)22mcУчитывая, что nl есть собственные функции гамильтониана Ĥ 0 , из (9.18) получаем∆ET = −()1E n2l + 2 E nl Ze 2 < 1 r > + Z 2 e 4 1 r 2 .22mc(9.19)ЗдесьE nl = − Z 2 Ry n 2- уровни энергии невозмущенного гамильтониана, а знак(9.20)означает квантовомехани-ческое усреднение по состоянию nl .
Учитывая, что31Z21Z2()Rrdr(9.21)=== ∫ Rnl2 (r )rdr = 2 ,∫ nlrr2n 3 a 02 (l + 1 2)n a0(здесь Rnl (r ) - радиальная волновая функция водородоподобного атома), получим⎛ 13 ⎞α2Z 2(9.22)E nl ⎜⎜− ⎟⎟ ,n⎝ l + 1 2 4n ⎠где E nl определяется формулой (9.20). Как видно, поправка растет как четвертая степеньZ и быстро уменьшается с увеличением главного квантового числа.
Важно, что учет релятивистской поправки снимает «случайное» вырождение по орбитальному моменту.Все уровни смещаются вниз по энергии, причем уровни с большим значением орбитального квантового числа испытывают меньшее смещение, чем уровни с малым l .2) Спин – орбитальное взаимодействие.Рассмотрим теперь другую релятивистскую поправку, приводящую не только ксдвигу, но и расщеплению энергетических уровней, а именно спин – орбитальное взаимодействие. Наша задача теперь записать выражение для оператора спин – орбитальноговзаимодействия Vˆls . Как уже отмечалось, представление о спин – орбитальном взаимодействии, как о взаимодействии двух магнитных диполей не вполне удовлетворительно.Спин – орбитальное взаимодействие можно рассматривать как релятивистский эффект,заключающийся во взаимодействии собственного магнитного момента электрона с магнитным полем, возникающим в его собственной системе отсчета, определяемой орбитальным движением.
В этой системе отсчета ядро с зарядом Ze движется вокруг элекrтрона и создает магнитное поле Η , которое мы можем записать в видеr 1 r rΗ = [ε, v ] ,(9.23)c∆ET =3Эти интегралы вычисляются аналитически с учетом свойств обобщенных полиномов Лагерра.120121r Ze rгде ε = 3 r - электростатическое поле, создаваемое атомным ядром.
Фактически выраrжение (9.23) есть формула преобразования полей в нерелятивистском случае при переходе из одной системы отсчета в другую4. Поэтому выражение для энергии спин - орбитального взаимодействия мы можем записать в видеr rVl s = − µ s Η ,(9.24)re rs - собственный магнитный момент электрона. В дальнейшем нам будетгде µ s = −mcудобно выражать спиновый и орбитальный механический моменты в единицах постоянrной Планка, поэтому выражение для µ s перепишем в видеrrµ s = −2µ B s .(9.25)Подставляя в (9.24) выражения (9.23) и (9.25), получимr rZe r r rVls = − µ s Η = 2µ B 3 ([r , v ], s ) .crr r rУчитывая, что l = [r , mv ] , и выражая момент также в постоянных Планка, окончательнодля энергии спин – орбитального взаимодействия получимZ r rVls = 4µ 2B 3 l, s .rПереход к квантовой механике означает замены физических величин соответствующимиоператорами.
Поэтому имеем выражение для оператора энергии спин – орбитальноговзаимодействияZ rˆ rVˆls = 4µ 2B 3 ⎛⎜ l, sˆ ⎞⎟ .⎠r ⎝Правильное выражение для этого оператора (оно может быть получено в рамках релятивистской теории Дирака) отличается от приведенного выше ровно в два раза:Z rˆ rVˆls = 2µ 2B 3 ⎛⎜ l, sˆ ⎞⎟ .(9.26)⎠r ⎝Дополнительный множитель («два») называют поправкой Томаса5 – Френкеля6.
Длядальнейшего нам будет удобно переписать оператор спин – орбитального взаимодействия в виде:Z ˆj 2 − ˆl 2 − sˆ 2Vˆls = 2µ 2B 3,(9.27)2rгде l̂ 2 , ŝ 2 - операторы квадрата орбитального и спинового моментов, ĵ 2 - операторr rˆ rквадрата полного механического момента электрона ˆj = l + sˆ . Напомним, что все эти(())( )()моменты выражаются в единицах постоянной Планка. Для определения поправки к положению энергетического уровня нам надо теперь посчитать величину матричного элемента оператора Vˆls в базисе собственных функций невозмущенного гамильтониана.4На самом деле выражение (9.23) справедливо при переходе из одной инерциальной системы отсчета вдругую, и не может быть использовано при переходе во вращающуюся систему координат.
С этим обстоятельством связана необходимость введения поправки в энергию спин – орбитального взаимодействия,называемой поправкой Томаса – Френкеля.5L. Thomas (1910- ) – американский физик – теоретик.6Я.И.Френкель (1894-1952) – советский физик-теоретик.121122Прежде чем перейти к вычислению соответствующего матричного элементавспомним, что в атоме водорода (на самом деле – для электрона в любом центрально –симметричном потенциале) мы сумели построить два различных набора базисных функций n, l, ml , m s и n, l, j , m j . Какой из них нам сейчас следует использовать? Заметим,что эти два набора были введены для атома в предположении, что спин – орбитальноевзаимодействие отсутствует.
Наличие спин – орбитального взаимодействия в атоме меняет ситуацию. Легко видеть, что полный атомный гамильтониан Hˆ = Hˆ 0 + Vˆls не коммутирует с операторами z - проекции орбитального и спинового моментов. А значит, встационарном состоянии атома эти величины точно не определены, т.е. стационарноесостояние не может быть охарактеризовано набором квантовых чисел n, l, ml , m s . В тоже время легко убедиться, что полный атомный гамильтониан коммутирует с операторами ĵ 2 и ĵ z .
На этом основании мы приходим к выводу, что в присутствие спин – орбитального взаимодействия мы должны работать в базисе состояний n, l, j , m j . Тогда,учитывая, чтоˆj 2 n, l, j , m j = j ( j + 1) n, l, j , m j ,ˆl 2 n, l, j , m = l(l + 1) n, l, j , m ,jjsˆ 2 n, l, j , m j = s ( s + 1) n, l, j , m j ,запишем выражение для поправки к энергии состояния, обусловленную учетом спин орбитального взаимодействия, в виде1∆E ls = Zµ 2B 3 ( j ( j + 1) − l(l + 1) − s ( s + 1) ) ,(9.28)r11где 3 = ∫ Rnl2 (r )dr - усредненное по квантовому состоянию значение 1 r 3 . Значениеrrэтого интеграла также известно:1Z3=.(9.29)r3n 3 a 03 l(l + 1)(l + 1 2)Тогда, учитывая, что s = 1 2 , j = l ± 1 2 , из (9.28) получим⎧ α2Z 21,E nl ⋅j = l +1 2,⎪−2(l + 1 2)(l + 1)n⎪∆E l s = ⎨ 2 21⎪α Z E ⋅,j = l − 1 2.nl⎪⎩ n2l(l + 1 2)Окончательный ответ получается, если просуммировать обе поправкиα 2 Z 4 Ry ⎛ 13 ⎞⎜⎜(9.30)∆E n l = ∆E T + ∆E l s = −− ⎟⎟ .3n⎝ j + 1 2 4n ⎠Формула (9.30) называется формулой тонкой структуры (формулой Дирака) и описываетрелятивистские поправки в положение энергетических уровней в спектре водородоподобного иона7.
Как видно, спин – орбитальное взаимодействие приводит к расщеплениюуровней по значению полного механического момента атома. Уровень с большим значеС точки зрения теоретической физики полученная формула является разложением по параметру αZрешения уравнения Дирака для частицы в кулоновском поле.1227123нием j = l + 1 2 лежит выше, чем уровень с меньшим значением j = l − 1 2 . Такая ситуация имеет понятную физическую интерпретацию. Величина энергии спин - орбиrrтального взаимодействия определяется скалярным произведением Vls ~ ls .
Если векrrтора l и s «параллельны» друг другу (т.е. j = l + 1 2 ), величина энергии Vls оказывается положительной. Наоборот, при«антипараллельной» ориентации векторов скалярное произведение меняетзнак, и энергия Vls оказывается отрицательной. Заметим, однако, что вырождение снимается частично. В соответствии с нашей теорией состояния с различными значениями l , ноодним и тем же значением j (например, 2s1 2 и 2 p1 2 ) оказываются попрежнему вырожденными.Общий вид спектра атома водорода с учетом тонкой структурыприведен на рис.9.3. Как видно, всеуровни с ненулевым значением орбитального момента расщепились надвое (стали дублетами).
Величина этого дублетного расщепления может быть легко определена с помощью формулы Дирака:α 2 Z 4 Ry.(9.31)δE = ∆E nl ( j = l + 1 2) − ∆E nl ( j = l − 1 2) = 3n l(l + 1)( )В частном случае для дублета 2 p1 2,3 2 в атоме водорода имеем δE = α 2 Ry 16 ≈ 4.5 ⋅ 10 −5эВ. Это максимальная величина тонкого расщепления в атоме водорода. Как видно из(9.31), она быстро убывает с увеличением главного и орбитального квантового чисел.Тонкая структура спектров многоэлектронных атомов.Мы пока не рассматривали особенности строения многоэлектронных атомов. Однако, некоторые соображения о тонкой структуре их спектров можно высказать ужесейчас.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
