А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Тождественность электронов означает, что ψ (ξ1 , ξ 2 ) и ψ (ξ 2 , ξ1 ) описывают одно и тоже состояние двухэлектронной системы.Введем оператор перестановки электронов местамиPˆ ψ (ξ1 , ξ 2 ) = ψ (ξ 2 , ξ1 ) .(10.3)В силу тождественности частицψ (ξ1 , ξ 2 ) = λψ (ξ 2 , ξ1 ) .(10.4)Подействуем на (10.3) оператором перестановки. ТогдаPˆ 2 ψ (ξ1 , ξ 2 ) = λPˆ ψ (ξ1 , ξ 2 ) = λ2 ψ(ξ1 , ξ 2 ) .(10.5)С другой стороны двойная перестановка частиц местами не меняет исходное состояние,т.е.Pˆ 2 ψ (ξ1 , ξ 2 ) = ψ(ξ1 , ξ 2 ) .(10.6)Сопоставляя (10.5) и (10.6), находим λ = ±1 , т.е.ψ (ξ1 , ξ 2 ) = ± ψ (ξ 2 , ξ1 ) .(10.7)Таким образом, принцип тожественности ведет к определенной симметрии волновойфункции двухчастичной системы: она должна быть симметрична ( λ = +1) , либо антисимметрична ( λ = −1 ) относительно перестановки частиц местами.Рассмотрим важный частный случай – систему двух невзаимодействующих электронов. В этом случае, как было показано в Л_5, волновая функция системы ψ (ξ1 , ξ 2 )представима в виде произведения одночастичных функцийψ (ξ1 , ξ 2 ) = ψ 1 (ξ1 )ψ 2 (ξ 2 ) .(10.8)Выражение (10.8) не удовлетворяет принципу тождественности.
Перестановка частицместами ведет к другому состоянию ψ 1 (ξ 2 )ψ 2 (ξ1 ) . Однако, из двух введенных одночастичных функций ψ 1 (ξ) и ψ 2 (ξ) можно построить две комбинации, удовлетворяющихнеобходимым свойствам симметрии. Одна из них является симметричной1(ψ1 (ξ1 )ψ 2 (ξ 2 ) + ψ1 (ξ 2 )ψ 2 (ξ1 ) ) ,ψ S (ξ1 , ξ 2 ) =(10.9)2а другая – антисимметричной относительно перестановки электронов местами1(ψ1 (ξ1 )ψ 2 (ξ 2 ) − ψ1 (ξ 2 )ψ 2 (ξ1 ) ) .ψ A (ξ 1 , ξ 2 ) =(10.10)2Наиболее важным свойством полученных состояний является то, что даже в отсутствиевзаимодействия в общем случае волновая функция системы тождественных частиц неможет быть представлена в виде произведения одночастичных функций, т.е.127128ψ S ( A) (ξ1 , ξ 2 ) ≠ φ1 (ξ1 )φ 2 (ξ 2 ) .(10.11)Состояния, для которых выполнено условие (10.11), называются перепутанными (отанглийского «entanglement» - перепутывание) и лежат в основе многих современныхприложений квантовой теории, включая квантовые компьютеры и квантовую телепортацию.До сих пор мы рассматривали лишь систему из двух частиц.
Обобщение на случай N - частичной системы делается элементарно. Волновая функция системы из Nчастиц должна быть симметрична или антисимметрична относительно перестановкилюбой пары частиц местами:ψ(ξ1 ,..., ξ i ,...ξ j ,...ξ N ) = ± ψ (ξ1 ,..., ξ j ,...ξ i ,...ξ N ) .(10.12)В частном случае невзаимодействующих частиц правильная (то есть удовлетворяющаяпринципу тождественности) антисимметричная волновая функция N - частичной системы может быть записана в видеψ 1 (ξ1 ) ψ 1 (ξ 2 ) ....
ψ 1 (ξ N )ψ (ξ1 ,..., ξ N ) =1 ψ 2 (ξ1 ) ψ 2 (ξ 2 ) ....N ! .............(10.13)ψ N (ξ1 ) ψ N (ξ 2 ) .... ψ N (ξ N )Здесь ψ i (ξ i ) - «обычные» одночастичные волновые функции. Многочастичная волноваяфункция, записанная в виде (10.13), называется детерминантом Слэтера1.
Перестановкачастиц местами означает перестановку пары столбцов в определителе (10.13). Хорошоизвестно, что при такой перестановке определить меняет свой знак, то есть волноваяфункция (10.13) действительно является антисимметричной относительно перестановкилюбой пары частиц местами.Бозоны и фермионы. Принцип Паули.Итак, мы видели, что с математической точки зрения принцип тождественностичастиц означает свойство симметрии: волновая функция системы частиц должна бытьлибо симметрична, либо антисимметрична относительно перестановки частиц местами.А какой из этих случаев реализуется в природе? Оказывается - оба.
Причем симметричная волновая функция описывает совокупность частиц с целым спином ( s = 0,1,2,... ), аантисимметричная – совокупность частиц с полуцелым спином ( s = 1 2 , 3 2,... ). Такимобразом, спин оказывается важнейшей характеристикой, описывающей свойства симметрии частиц.Помимо электронов к числу частиц с полуцелым спином относятся протон и нейтрон, мюон (их спин - 1 2 ) и многие другие частицы. Целым спином характеризуются,например, фотон, нейтральный и заряженные пионы ( π 0 , π ± ), частицы – кванты переносчики слабого взаимодействия ( W ± , Z 0 - бозоны) и другие частицы. Понятие спинаможет быть введено и для составного объекта в случае, если энергия связи этого объектазначительно превышает его энергию взаимодействия с окружающим миром.
Например,энергия связи атомных ядер на много порядков превышает энергию взаимодействия ядра с электронной оболочкой атома. Это позволяет рассматривать ядро как единый объект и ввести понятие его спина. Аналогично, если в газе или жидкости энергия взаимо-1J.Slater (1900-1976) – американский физик – теоретик.128129действия атомов (молекул) мала по сравнению с их внутренней энергией (потенциаламиионизации и (или) диссоциации), то можно говорить о спине атома или молекулы.Из рассмотренных свойств симметрии волновой функции системы частиц с очевидностью следует принцип Паули. Две частицы с полуцелым спином не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии.
Действительно, пусть ψ 1 (ξ) = ψ 2 (ξ) .Тогда1(ψ1 (ξ1 )ψ1 (ξ 2 ) − ψ1 (ξ 2 )ψ1 (ξ1 ) ) ≡ 0 ,ψ A (ξ 1 , ξ 2 ) =(10.14)2т.е. такое состояние невозможно. Этот принцип (известный также как принцип запретаПаули) был сформулирован В.Паули еще до создания квантовой механики на основеанализа атомных спектров.Как мы увидим в дальнейшем, принцип Паули необходим для понимания строения электронных оболочек атомов. Поэтому дадим и другую формулировку принципа,часто использующуюся в атомной физике.
Поскольку волновая функция атомного электрона однозначно задается квантовыми числами n, l, ml , m s , то можно утверждать, что ватоме не может быть двух электронов, характеризующихся одним и тем же наборомквантовых чисел.Из сказанного ясно, что статистические свойства ансамбля частиц с различнымзначением спина (целого, или полуцелого) оказываются различными. Принцип Паули непозволяет частицам с полуцелым спином (например, электронам) занять состояние сминимальной энергией. Частицы оказываются распределены по энергетическим уровням, причем чем больше число частиц в ансамбле, тем более высокие состояния оказываются заселены.
В результате средняя энергия ансамбля частиц зависит от их количества и отлична от нуля даже при нулевой температуре. Как следствие, ансамбль макроскопически большого числа частиц не подчиняется законам классической статистики, остается квантовым при достаточно низких температурах2. Типичным примером такого ансамбля является электронный газ в металлах, который остается квантовым объектом притемпературах вплоть до температуры кипения вещества.
Статистические свойства ансамбля частиц с полуцелым спином описываются распределением Ферми3 – Дирака. Поэтому частицы с полуцелым спином называют ферми- частицами, или фермионами.Что касается частиц с целым спином, то они могут находиться в одном и том жеквантовом состоянии, более того, учет свойств симметрии волновой функции приводитк увеличению вероятности оказаться в одном и том же состоянии по сравнению с расчетами, не учитывающими это свойство.
В результате для частиц с целым спином заселенность основного энергетического состояния оказывается больше, чем в теории, не учитывающей свойства симметрии волновой функции относительно их перестановки местами4. В результате при отличных от нуля температурах макроскопически большое число частиц оказывается в состоянии с минимальной энергией – наблюдается явление Бозе5- Эйнштейновской конденсации. Это означает, что статистические свойства ансамблячастиц с целым спином также отличаются от свойств ансамбля классических частиц и2С повышением температуры частицы заселяют все более высокие энергетические состояния, в результате вероятность для двух частиц попасть в одно и то же состояние падает, и мы постепенно переходим кклассическому статистическому распределению.3E.Fermi (1901-1954) – итальянский физик, Нобелевская премия (1938) «За открытие искусственной радиоактивности …»4Такой случай соответствует классической статистической теории.5Sh.Bose (1894-1974) – индийский физик.129130описываются распределением Бозе - Эйнштейна.
Соответственно, частицы с целым значением спина принято называть бозе- частицами или бозонами.Именно с возникновением бозе-конденсата связаны такие макроскопическиеквантовые явления как сверхтекучесть и сверхпроводимость. Причем для возникновениясверхпроводящего состояния необходимо, чтобы в электронном газе произошло спаривание электронов с противоположными спинами. Такие электронные пары (их называюткуперовскими6) возникают при определенных условиях в результате взаимодействияэлектронов с кристаллической решеткой и могут быть рассмотрены как бозе – частицы.Бозе-конденсация куперовских пар и означает переход в сверхпроводящее состояние.Таким образом, свойства симметрии волновой функции системы тождественныхчастиц относительно их перестановки местами ведут к совершенно различным статистическим распределениям в ансамбле частиц7.
В качестве еще одного примера проявления свойств симметрии волновой функции в макроскопическом мире рассмотрим возникновения сверхтекучески в жидком гелии. Наиболее широко распространенным изотопом гелия является 24 He . Атомное ядро этого изотопа имеет нулевой спин (являетсябозоном). Электронная оболочка атома в основном состоянии также характеризуетсянулевым значением полного механического момента.
Поэтому атом в целом имеет нулевой механический момент количества движения и может быть рассмотрен как бозесистема. При определенном значении температуры ( T * = 2.17 К) в жидком гелии наблюдается явлении бозе-конденсации, что и означает возникновение сверхтекучей фазывещества. Известен и другой изотоп гелия - 23 He . У этого атома точно такое же строениеэлектронной оболочки, в ядре же имеется один нескомпенсированный спин нейтрона, врезультате чего атомное ядро, а, следовательно, и атом в целом оказывается ферми –системой. В системе фермионов возникновение бозе-конденсации невозможно, а, следовательно, невозможно и явление сверхтекучести. И действительно, при температурах внесколько градусов Кельвина в жидком гелии 3 He сверхтекучесть не наблюдается.
В1972-74 годах было установлено, что в 3 He сверхтекучесть возникает лишь при температурах меньших T * = 2.6 ⋅ 10 −3 К. Возможность возникновения сверхтекучести в 3 Heобусловлена следующим. При таких низких температурах силы притяжения между атомами (силы Ван-дер-Ваальса) приводят к образованию молекулярных комплексов3He 2 . В отличие от атомов 3 He эти молекулярные комплексы являются бозечастицами, что и приводит, в конечном счете, к возникновению сверхтекучести.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
