А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Тогда возможные значения проекции собственного механического момента электрона навыделенную ось z будут принимать два возможных значения и характеризоваться квантовым числом m s = ± 1 2 , а число компонент расщепления будет равно 2 s + 1 = 2 . Чтокасается самих величин квадрата спинового момента и его проекции на ось z , то3S 2 = h 2 s ( s + 1) = h 2 ,(8.10)4S z = ms h = ± h 2 .(8.11)3G.Uhlenbeck (1900-1988), S.Goudsmit (1902-1978) – американские физики – теоретики.Попытка классического трактования спина заключается в рассмотрении электрона, как некоторого шарика (например, с размером, равным классическому радиусу электрона) вращающегося вокруг собственной оси.
Такая картина, однако, не может быть признана удовлетворительной. Даже если распределитьзаряд по экватору шарика, окажется. что угловая скорость его вращения должна быть слишком большой:линейная скорость на экваторе превысит скорость света. Спин следует рассматривать, как такое же «врожденное» свойство электрона, как, например, масса или заряд.1064107Таким образом, абсолютная величина z - проекции спина электрона равняется h 2 .Именно в этом смысле говорят, что спин электрона равен одной второй.Из опытов Штерна и Герлаха, зная величину градиента магнитного поля ∂Η ∂z , атакже геометрические размеры установки, можно установить саму величину собственного магнитного момента электрона. Оказалось, что величина гиромагнитного отношения для спинового момента электрона в два раза больше, чем для орбитального5, т.е.
мыможем записатьre rµS = −S.(8.12)mcВ этом случае для g - фактора находимµ Sg= S= 2.e 2mcВ рамках формализма квантовой теории соотношение (8.12) надо понимать как соотношение между операторами спина и собственного магнитного момента электронаre rˆe ˆµˆ S = −S , µˆ S z = −Sz(8.13)mcmcТогда, очевидно, дополнительная энергия системы с заданным значением величины z проекции спинового момента во внешнем однородном магнитном поле будет равна6∆E = −µ S z Η = ±µ B Η .(8.14)С математической точки зрения спиновому движению электрона надо поставить всоответствие еще одну (четвертую) степень свободы, причем соответствующая координата, описывающая спиновое движение, принимает всего два возможных значения.
Тогда наиболее естественно задать состояния с проекцией спина на выделенную ось z ввиде двурядных столбцов: например, состоянию с проекций спина на ось z , равной⎛1 ⎞⎛ 0⎞+ h 2 , ставится в соответствие столбец ⎜⎜ ⎟⎟ , а состоянию с S z = − h 2 - столбец ⎜⎜ ⎟⎟ . В⎝ 0⎠⎝1 ⎠дальнейшем такие спиновые состояния электрона мы будем обозначать функциямиχ(ms = 1 2) и χ(ms = − 1 2) :⎛1 ⎞⎛ 0⎞χ(m s = 1 2) = ⎜⎜ ⎟⎟ , χ(m s = − 1 2) = ⎜⎜ ⎟⎟ .⎝ 0⎠⎝1 ⎠(8.15)⎛α⎞Произвольное спиновое состояние электрона, очевидно, есть столбец ⎜⎜ ⎟⎟ .
Поскольку⎝β ⎠⎛α⎞⎛1 ⎞ ⎛ 0 ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = α⎜⎜ ⎟⎟ + β⎜⎜ ⎟⎟ ,(8.16)⎝β ⎠⎝ 0 ⎠ ⎝1 ⎠2то α есть вероятность того, что при измерении будет обнаружена величина проекции,2равная + 1 2 (в единицах h ), а β - есть вероятность того, что при измерении будет об5С теоретической точки зрения наличие у электрона собственного механического момента (спина) является прямым следствием релятивистского волнового уравнения Дирака.
Из этого уравнения также следует,что величина гиромагнитного отношения для спинового момента ровно в два раза больше, чем для орбитального момента. Следует, однако, иметь в виду, что уравнение Дирака было получено в 1928 году, т.е.позже, чем эти факты были установлены экспериментально.6Для справедливости этих рассуждений важно полагать, что электрон находится в состоянии с нулевымзначением орбитального момента.10710822наружена величина проекции, равная − 1 2 .
При этом, естественно, α + β = 1 . Нашаrˆзадача теперь определить операторы спина S = Sˆ x , Sˆ y , Sˆ z , которые действуют в про-()странстве спиновых функций. Очевидно, такие операторы – матрицы размера 2 × 2. Ихможно записать в следующем виде:rˆ h rS = σˆ ,(8.17)2где⎛0 − i⎞⎛⎞⎛ 0 1⎞⎟ , σˆ z = ⎜1 0 ⎟ .σˆ x = ⎜⎜ ⎟⎟ , σˆ y = ⎜(8.18)⎜i 0 ⎟⎜ 0 − 1⎟⎝1 0 ⎠⎝⎠⎝⎠Матрицы (8.18) называются матрицами Паули7 и представляют собой основу математической теории спина.Принципиально важным для дальнейшего является утверждение, что все соотношения, которые были ранее получены для операторов орбитального момента L̂ x , L̂ y ,L̂z , являющихся дифференциальными операторами и действующими в пространствефункций с интегрируемым квадратом модуля, оказываются справедливы и для матричных операторов Ŝ x , Ŝ y , Ŝ z , действующих в пространстве двурядных столбцов.Проверим, прежде всего, что введенные нами состояния (8.15) действительно являются собственными состояниями оператора z - проекции спина с собственными значениями S z = ± h 2 .
Действительно:⎛1 ⎞ h ⎛1 0 ⎞⎟⎛1 ⎞ h ⎛1 ⎞⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ,Sˆ z ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎝ 0 ⎠ 2 ⎜⎝ 0 − 1⎟⎠⎝ 0 ⎠ 2 ⎝ 0 ⎠(8.19)⎛ 0 ⎞ h ⎛1 0 ⎞⎟⎛1 ⎞h ⎛ 0⎞⎜⎜ ⎟⎟ = − ⎜⎜ ⎟⎟ ,Sˆ z ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜2 ⎝1 ⎠⎝1 ⎠ 2 ⎜⎝ 0 − 1⎟⎠⎝ 0 ⎠hт.е. Sˆ z χ(m s = ± 1 2) = ± χ(m s = ± 1 2) .2В качестве другого примера проверим правила коммутации операторов Ŝ x и Ŝ y .Вычисляя[σˆполучимx⎛ 0 1⎞⎛ 0 − i ⎞ ⎛ 0 − i ⎞⎛ 0 1⎞⎛⎞⎟−⎜⎟⎜ ⎟ = 2⎜ i 0 ⎟ = 2iσˆ z ,, σˆ y = σˆ x σˆ y − σˆ y σˆ x = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜0 − i⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟⎝1 0 ⎠⎝ i 0 ⎠ ⎝ i 0 ⎠⎝1 0 ⎠⎝⎠][Sˆ , Sˆ ] = h4 ⋅ 2iσˆ2xyz= ihSˆ z ,(8.20)т.е. соотношение эквивалентное (4.93).Ведем теперь оператор квадрата спинового момента Ŝ 2 :h2 23 ⎛1 0 ⎞ 3(σˆ x + σˆ 2y + σ 2z ) = h 2 ⎜⎜ ⎟⎟ = h 2 Iˆ .Sˆ 2 = Sˆ x2 + Sˆ y2 + Sˆ z2 =4 ⎝ 0 1⎠ 447W.Pauli (1900-1958) – физик –теоретик, Нобелевская премия (1945).108109Здесь Iˆ - единичная матрица.
Следовательно,3Sˆ 2 χ(m s = ± 1 2) = h 2 χ(m s = ± 1 2) = h 2 s ( s + 1)χ(m s = ± 1 2) ,(8.21)4где квантовое число s = 1 2 .Произвольное спиновое состояние электрона (любой частицы со спином 1 2 ),⎛α⎞очевидно, может быть описано столбцом ⎜⎜ ⎟⎟ , где α и β - комплексные числа, причем⎝β ⎠22α + β = 1 . Нетрудно убедиться, что такое состояние является собственным состояни-ем оператора Ŝ 2 с собственным значением h 2 s ( s + 1) , однако, в общем случае, не является собственным для оператора Ŝ Z . При этом физический смысл коэффициентов α и βзаключается в том, что квадраты их модуля определяют вероятности обнаружить проекции спинового момента на ось Z, равные + 1 2 и − 1 2 соответственно.Обсудим еще вычисление среднего значения проекции спина на любую из коор⎛α⎞динатных осей в заданном состоянии ⎜⎜ ⎟⎟ .
Очевидно, поступать надо так:⎝β ⎠h ⎛α⎞S i = (α * β * ) σˆ i ⎜⎜ ⎟⎟ ,(8.22)2 ⎝β ⎠где i = x, y, z - любая из координатных осей.Таким образом, на ряде примеров мы действительно убедились в том, для спинового и орбитального моментов количества движения действуют одни и те же правила. Вчастности, существует такой набор состояний, в которых точно одновременно определены квадрат момента и его проекция на одну из осей (наиболее удобно выбирать ось z ).В центрально - симметричном поле атома можно построить набор стационарных состояний с точно определенными значениями L2 и Lz .
Поскольку рассматриваемый намиатомный гамильтониан не зависит явно от спинового момента количества движения,стационарные состояния электрона можно также характеризовать точно определеннымизначениями S 2 и S z . Это означает, что к введенным нами квантовым числам n, l, mlможно добавить еще два - s и m s . Квантовое число s для одноэлектронной системы,конечно, является излишним: его значение всегда s = 1 2 . Что касается квантового числаm s , то оно может принимать всего два значения m s = ± 1 2 . Итак, состояние электрона впроизвольном центрально - симметричном потенциале характеризуется четырьмя квантовыми числами n, l, ml , m s .Задание набора этих квантовых чисел означает, что определена волновая функция стационарного состоянияrΨ (r , σ) = Rnl (r )Ylml (θ, ϕ) ⋅ χ(m s ) .(8.23)Здесь явно указана зависимость полной волновой функции от спиновой переменной σ .Ранее мы имели дело лишь с пространственной частью волновой функцииrψ (r ) = Rnl (r )Ylml (θ, ϕ) .Отметим, что с учетом спина, кратность вырождения состояний в произвольномцентрально - симметрично поле равна g = 2(2l + 1) .
В случае кулоновского потенциалавследствие наличия «случайного» вырождения теперь имеем g = 2n 2 .109110Сложение невзаимодействующих моментов количества движения.Таким образом, электрон в атоме обладает орбитальным и спиновым моментамиколичества движения. Поэтому естественно встает вопрос о значении суммарного момента количества движения электрона в атоме. Аналогичная проблема возникает и вдвухэлектронной системе, где часто оказывается необходимым определить возможныезначения суммарного орбитального момента двух атомных электронов.Поэтому в данном разделе на примере сложения орбитальных моментов количества движения двух частиц (электронов) мы рассмотрим общую постановку задачи осложении моментов количества движения двух невзаимодействующих частиц8. Приэтом мы будем полагать, что правила полученные нами, будут справедливы для сложения моментов любой природы (например, орбитального и спинового моментов электрона, спиновых моментов двух электронов, орбитального момента одного электрона иполного механического момента другого электрона и т.д.).Итак, пусть имеются два невзаимодействующих электрона, характеризующихсясовокупностью орбитальных и магнитных квантовых чисел l 1 , m1 и l 2 , m2 соответственно9.
Это значит, что состояние двухэлектронной системы представимо в видеψ (1,2) = ψ l1m1 (1)ψ l 2 m2 (2) ≡ l 1 , m1 ⋅ l 2 , m2 .(8.24)Здесь аргументы «1» и «2» означают совокупность координат первого и второго электрона. При заданных значениях l 1 и l 2 полное число таких состояний –(2l 1 + 1)(2l 2 + 1) .Введем операторы полного момента и полной проекции момента количестведвиженияrˆ rˆ rˆL=l +l ,Lˆ = lˆ + lˆ .(8.25)1z1z2z2Здесь и далее при рассмотрении многоэлектронных систем мы будем использовать малые буквы для обозначения момента (проекции момента) конкретного электрона, абольшие – для обозначения тех же величин, характеризующих всю совокупность атомных электронов.Нетрудно установить следующие коммутационные соотношения для введенныхrˆrˆнами операторов.
Поскольку операторы l1 и l 2 действуют в различных подпространствах, тоˆl 2 , ˆl 2 = 0 , ˆl , ˆl = 0 , ˆl 2 , ˆl = 0 , i, j = 1,2 .z1z2ijz12[][][]Кроме того, нетрудно показать, чтоLˆ2 , lˆ 2i = 0 ,i = 1,2 .Также, каждый из операторов квадрата момента коммутирует со своей проекцией. Однако,Lˆ2 , ˆl iz ≠ 0 ,i = 1,2 .(8.26)Это означает, что помимо набора квантовых чисел l 1 , m1 и l 2 , m2 , характеризующих состояние двухэлектронной системы, можно ввести и другой набор, а именно l 1 , l 2 , L, M L , где квантовые числа L и M L определяют квадрат полного момента двух8[][]Оговорка о невзаимодействующих частицах (невзаимодействующих моментах) важна, поскольку тольков случае невзаимодействующих частиц можно говорить об одночастичных волновых функциях и приписать каждой из частиц определенные значения орбитального и магнитного квантовых чисел.9В этом разделе, чтобы не загромождать формулы, величину z – проекции орбитального момента мы будем обозначать числом m , а не ml .110111электронов и величину его проекции на ось z .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
