А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Именно основное состояние квантовой системы (в данном случае, гармоническогоосциллятора) по своим свойствам наиболее близко к состоянию классического осциллятора с минимальным значением энергии. Действительно, в классической механике состоянию с минимальной энергиейсоответствует ситуация, когда частица покоится на дне потенциальной ямы, то есть x(t ) ≡ 0 и p (t ) ≡ 0 .В квантовой теории основному состоянию соответствует волновой пакет с нулевыми средними значениями энергии и импульса, делокализованный вблизи начала координат.
С точностью до квантовой неопределенности значений координаты и импульса (и возникающей вследствие этого энергии нулевых колебаний) такое состояние как раз соответствует частице, «лежащей» на дне потенциальной ямы.88896.1.6.2.Задачи.Определить величину плотности тока вероятности для состоянияψ ( x) = A exp(ikx ) + B exp(− ikx ) .Поток частиц с энергией E рассеивается на прямоугольной потенциальной сту⎧0, x < 0,Определить вероятности прохождения и отражения.пеньке V ( x) = ⎨⎩V0 , x ≥ 0.2Нарисовать графики зависимости ψ (x) для случаев «подбарьерного» E < V0 и6.3.6.4.6.5.«надбарьерного» E > V0 движения.Поток частиц с энергией E рассеивается на прямоугольном потенциальномбарьере высотой V0 и шириной a , причем E > V0 (надбарьерное прохождение).Определить энергии, при которых вероятность отражения от барьера равна нулю(резонанс прозрачности).Поток частиц с энергией E туннелирует через прямоугольный потенциальныйбарьер высотой V0 и шириной a , причем E = V0 .
Определить зависимость прозрачности барьера от его ширины.238Оценить время жизни α - радиоактивных ядер 22286 Rn и 92 U . Энергии Eα выле-тающих α - частиц соответственно равны 6.6 МэВ и 4.2 МэВ.6.6. Определить средние значения кинетической и потенциальной энергии в основном состоянии линейного гармонического осциллятора.6.7. Волновая функция частицы, находящейся в осцилляторном потенциалеV = mω 2 x 2 / 2 , имеет вид11а) ψ ( x) = Ax 2 exp(− ( x / a) 2 ) ; б) ψ ( x) = Ax 3 exp(− ( x / a) 2 ) ; a = h mω .22Определить, какие значения энергии и с какой вероятностью в этих состоянияхмогут быть измерены.6.8. Определить энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний системы связанных линейных гармонических осцилляторов с гамильтониа)))))ном H = H 1 + H 2 + α( x1 − x 2 ) 2 , где H i = Ti + mω02 xi2 / 2 - гамильтониан гармонического осциллятора с частотой ω0 , α - константа связи.6.9.
Определить энергии стационарных состояний заряженной частицы, находящейсяв гармоническом потенциале U = mω2 x 2 2 , в присутствие внешнего однородногопостоянного электрического поля.6.10. Волновая функция частицы, находящейся в гармоническом потенциале, в момент времени t = 0 определяется выражением1⎛ 1⎞φ( x) = 2 3 ⋅⋅ (1 + x a ) exp⎜ − ( x a ) 2 ⎟ ,⎝ 2⎠a πгде a 2 = h / mω . Определить среднее значение координаты частицы, как функциювремени.8990Лекция 7.Стационарные состояния в центрально - симметричном поле. Задача Кеплера.Задача об определении стационарных состояний частицы в центральносимметричном потенциале является важнейшей для атомной физики, поскольку любойатом, и в том числе простейший – атом водорода, представляет собой систему с центральной симметрией. Эта же задача важна и в физике атомного ядра, поскольку в первом приближении нуклоны в ядре также движутся в центральном поле.Пусть поле внешних сил описываетсяrцентральным потенциалом V = V ( r ) , потенциал зависит лишь от удаления частицыот силового центра.
В частном случаеZe 2V =−(7.1)rтакой потенциал описывает взаимодействиеэлектрона с атомным ядром с зарядом Z .Для задач с центральной симметриейудобно использовать сферическую системукоординат, в которой положение частицыописывается длиной радиус-вектора r идвумя углами θ и ϕ (см. рис.7.1). Запишемпоэтому стационарное уравнение Шредингера в виде:h2 2∇ ψ(r , θ, ϕ) + V (r )ψ (r , θ, ϕ) = Eψ (r , θ, ϕ) .(7.2)2mПрежде чем приступить к решению задачи на собственные значения (7.2) обратим внимание на то, что в случае поля с центральной симметрией оператор Гамильтона коммутирует с оператором квадрата момента количества движения L̂2 и оператором его z проекции L̂ z , то естьHˆ , Lˆ2 = 0 ,Hˆ , Lˆ = 0 .(7.3)−[][z]Эти равенства легко получаются прямым вычислением коммутаторов, если вспомнить,чтоh2 2h2 1 ∂2Lˆ2∇ =−r,Tˆ = −+2m2m r ∂r 22mr 2∂ ⎞1 ∂2 ⎞⎛ 1 ∂ ⎛⎟,(7.4)Lˆ2 = −h 2 ∆θϕ = −h 2 ⎜⎜ sin θ ⎟ +∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ 2 ⎟⎠⎝ sin θ ∂θ ⎝Lˆ = −ih ∂ ∂ϕ ,zи учесть, что потенциал не зависит от углов θ и ϕ .
Вспомним также, что оператор L̂2коммутирует с оператором любой из проекций момента, в том числе, с L̂z :Lˆ2 , Lˆ = 0 .[z]Это значит, что в произвольном центрально-симметричном поле можно найти такие состояния, в которых сразу три физических величины, а именно энергия, квадрат моментаколичества движения и его проекция на ось z имеют точно определенные значения.9091Именно к нахождению таких состояний мы сейчас и перейдем. При этом найденные нами решения задачи (7.2) будут справедливы для любого центрального поля. Затем болееподробно мы остановимся на особенностях решения задачи для случая кулоновского потенциала (7.1)Наличие центрально симметрии потенциала позволяет искать решение задачи(7.2) методом разделения переменныхψ (r , θ, ϕ) = R(r )Y (θ, ϕ) ,(7.5)где соответственно R(r ) - радиальная, а Y (θ, ϕ) - угловая волновые функции.
Подставимразложение (7.5) в уравнение (7.2). Получим:h2h21 d2()Y (θ, ϕ)−rR(r)−R(r )∆θϕY (θ, ϕ) + V (r ) R(r )Y (θ, ϕ) = ER(r )Y (θ, ϕ) ,r dr 22m2mr 2откуда после несложных преобразований находим:∆θϕY (θ, ϕ)r d22mr 2()rR(r)( E − V (r )) = −+.(7.6)22R(r ) drY (θ, ϕ)hЛевая часть уравнения (7.6) зависит только от радиальной координаты, в то время какправая – только от совокупности угловых координат. Следовательно, каждая из частейуравнения есть некоторая константа λ .
Тогда имеем− ∆θϕY (θ, ϕ) = λY (θ, ϕ) .(7.7)Решение задачи (7.7) в математике хорошо известно: это сферические функции Ylm ,причем λ = l(l + 1) . Здесь l - любое целое неотрицательное число, т.е. l = 0,1,2,... , а mдля каждого l пробегает целочисленный набор значений от − l до l : m = 0,±1,±2,...
± l ,всего 2l + 1 значений.С физической точки зрения уравнение (7.7) представляет собой задачу на собственные значения оператора квадрата момента количества движения:Lˆ2Ylm = h 2 l(l + 1)Ylm ,(7.8)т.е. сферическая функция Ylm определяет состояние с точно определенным значениемквадрата момента количества движения, причемL2 = h 2 l(l + 1) .(7.9)Свойства сферических функций хорошо изучены.
Общее представление для Ylmимеет следующий видYlm (θ, ϕ) = Pl( m ) (cos θ) exp(imϕ) ,(7.10)где Pl( m ) (cos θ) - присоединенный полином Лежандра. В частном случае m = 0 присоединенные полиномы превращаются в обычные полиномы Лежандра Pl (cos θ) . Приведемявные выражения для первых нескольких сферических функций (без учета нормировки):Y00 (θ, ϕ) = 1Y10 (θ, ϕ) = cos θ ,Y1, ±1 (θ, ϕ) = sin(θ) exp(±iϕ) ,1(3 cos 2 (θ) − 1) , Y2, ±1 (θ, ϕ) = sin(θ) cos(θ) exp(±iϕ) ,2Y2, ±2 (θ, ϕ) = sin 2 (θ) exp(±2iϕ) .Y2, 0 (θ, ϕ) =Некоторые свойства сферических функций, а также полиномов Лежандра и присоединенных полиномов обсуждаются в Приложении 4.9192Нетрудно видеть, что сферические функции являются также собственными функциями оператора z - проекции момента количества движения с собственным значениемmh .
Действительно∂Lˆ z Ylm (θ, ϕ) = −ih Ylm (θ, ϕ) = hmYlm (θ, ϕ) ,∂ϕпоэтому квантовое число m определяет величину L z в состоянии, описываемом функцией Ylm . Таким образом, мы нашли состояния, в которых величина квадрата момента иего z - проекции имею точно определенные значения. Такие состояния описываютсясферическими функциями Ylm (θ, ϕ) , при этомL2 = h 2 l(l + 1) , L z = mh ,причем l = 0,1,2,... , m = 0,±1,±2,... ± l .Введенные нами сферические функции удовлетворяют следующему условиюнормировки*∫ Yl 'm' (θ, ϕ)Ylm (θ, ϕ)dΩ = N lm δ ll' δ mm' .Здесь4π (l + m)!.2l + 1 (l − m)!В дальнейшем нам будет удобно использовать нормированные на единицу сферическиефункции, т.е.2(7.11)∫ Ylm (θ, ϕ) dΩ = 1 .N lm =Такие функции отличаются от введенных ранее умножением на численный множи2l + 1 (l − m)!тель.
В дальнейшем мы сохраним для этих функций то же обозначе4π (l + m)!ние Ylm .Что касается двух других проекций момента количества движения, то в рассматриваемых нами состояниях они не имеют точно определенного значения1. В этом смысле в квантовой теории вектор момента не имеет строго определенного направления впространстве. Точно известны лишь его длина и проекция на одну из осей (например,ось z )2. Можно показать, что для любого состояния Ylm (θ, ϕ) средние значения двухдругих проекций равны нулю:Lx = L y = 0 .Вычислим теперь дисперсии L2xи L2y . Полагая, что вследствие симметрии задачиэти дисперсии равны между собой, и используя очевидное соотношениеL2x + L2y + L2z = L2 ,получимL2x = L2y =1h2(l(l + 1) − m 2 ) .2Это утверждение справедливо для всех состояний с ненулевым значением орбитального квантового числа. В случае l = 0 все три проекции орбитального момента имеют точно определенное значение, равноенулю.2Можно, конечно, построить набор состояний с заданной величиной проекции момента на любую ось,например, на ось x.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
