А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В частности, если η(r⊥ , z ) = 0 (вакуум), то задача (5.27) эквивалентна задаче освободном движении частицы. Отметим, что среды с показателем преломленияn = ε > 1 (для таких сред χ > 0 ) в оптике называются фокусирующими. В квантовоймеханике им надо поставить в соответствие притягивающий потенциал V < 0 . Наоборот,среды с n = ε < 1 ( χ < 0 ) называются дефокусирующими, в квантовой механике такимсредам соответствует отталкивающий потенциал V > 0 .Математическая тождественность уравнения метода медленно меняющихся амплитуд в оптике и уравнения Шредингера является основой оптико – механической аналогии. Существует огромное количество квантово-механических процессов, оптическиеаналоги которых давно известны и хорошо изучены. В частности можно показать, чторассмотренный нами предельный переход к классической механике эквивалентен переходу от волновой оптики к геометрической, когда возникает представление о световыхлучах, а интерференционные эффекты становятся пренебрежимо малыми.ikСтационарное уравнение Шредингера.
Спектры простейших одномерныхсистем.В этом разделе мы рассмотрим ряд простейших одномерных задач об определении уровней энергии и волновых функций стационарных состояний частицы в потенциальном поле.Свободное движение частицы.Рассмотрим простейшую задачу об определении стационарных состояний свободной частицы. Гамильтониан такой системы имеет видh2 d 2ˆ,(5.28)H =−2m dx 2а стационарное уравнение Шредингера имеет видh 2 d 2ψ E(5.29)−= Eψ E .2m dx 2Здесь E - собственное значение оператора Гамильтона, а индекс «E» у функции подчеркивает ее принадлежность к собственному значению E.
Вводя k 2 = 2mE h 2 > 0 , перепишем (5.29) в видеψ ′E′ + k 2 ψ E = 0 ,откуда получаем, что собственному значению E соответствуют две функции⎧exp(ikx),E = h 2 k 2 2m .(5.30)ψE = ⎨ikxexp(−),⎩6768На значение волнового вектора k никаких ограничений не возникло, т.е. система имеетнепрерывный спектр.Найденные функции стационарных состояний совпадают с введенными ранеесобственными функциями оператора импульса. Состояния (5.30) одновременно являются собственными состояниями оператора импульса, соответствующими собственнымзначениям p = ±hk .
Это не удивительно, и могло быть предсказано заранее. Посколькуоператор импульса и оператор кинетической энергии (в рассматриваемом случае операторы Гамильтона и кинетической энергии тождественны) коммутируют между собой, томожно найти состояния, в которых обе физические величины энергия (кинетическая) иимпульс имеют точно определенные значения.Как видно, существует два разных состояния, которые соответствуют одному итому же значению энергии. Такие состояния называются вырожденными.
Кратность вырождения в рассматриваемом случае равна двум. Отметим, что наличие вырождения всистеме позволяет построить неограниченное число состояний с одним и тем же значением энергии. Действительно, любая линейная комбинация базисных функций (5.30)ψ E = A exp(ikx) + B exp(−ikx)(5.31)дает состояние с тем же точно определенным значением энергии E .
В частности, можетбыть удобен другой набор базисных состояний⎧sin(kx),ψE = ⎨(5.32)⎩cos(kx).Отметим при этом, что состояния (5.32) (как и состояния (5.31) при ненулевых значениях коэффициентов A и B) уже не являются состояниями с точно определенным значением импульса.Частица в прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме.Рассмотрим теперь стационарные состояния частицы в потенциале⎧⎪0, x ≤ a 2 ,V ( x) = ⎨⎪⎩∞, x > a 2.Стационарное уравнение Шредингера записывается в видеh 2 d 2ψ−+ V ( x)ψ = Eψ .(5.33)2m dx 2Наша задача заключается в нахождении таких значений энергии E , при которых уравнение (5.33) имеет ненулевое решение, и соответствующих волновых функций.В классической механике движение частицы происходит в областиx ∈ (− a 2 , a 2) .
Естественно предположить, что и в квантовой теории частица не можетбыть обнаружена в области бесконечно высокого потенциала, т.е. ψ ( x > a 2) ≡ 0 , то есть уравнение (5.33) можно переписать в виде:d 2 ψ 2mE+ 2 ψ = 0.(5.34)dx 2hЗдесь x ∈ (− a 2 , a 2) . Полагая волновую функцию непрерывной, мы должны потребовать, чтобы на границах ямы она обращалась в нуль, т.е.ψ ( x = ± a 2) = 0 .(5.35)Вводя k 2 = 2mE h 2 , запишем общее решение (5.34) в видеψ ( x) = A sin(kx) + B cos(kx) .(5.36)6869Условия (5.35) дают:kaka+ B cos= 0,22(5.37)kaka− A sin + B cos= 0.22Мы получили систему однородных уравнений для определения неизвестных коэффициентов A и B .
Эта система имеет ненулевое решение, если ее определитель обращается вноль, т.е.kakasincos22 = 0,kaka− sincos22откуда находим sin(ka) = 0 , то естьnπn = 0,1,2,...kn =,aТогда для энергии состояний имеемπ2h 2 2En =n , n = 1,2,3,...(5.38)2ma 2Решение с n = 0 следует отбросить, так как в этом случае из (5.35) и (5.36) получаемψ( x) ≡ 0 .Таким образом, в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме формируется дискретный энергетический спектр, определяемый соотношением (5.38). Положение энергетических уровней представлено на рис.5.1.
В частности, минимальнаяэнергия частицы в яме (энергия основного состояния) естьπ2h 2E1 =.(5.39)2ma 2и не равна нулю, как это следовало ожидать сточки зрения классической механики. Происхождение этой ненулевой энергии основногосостояния легко понять исходя из соотношениянеопределенностей. Действительно, если частица локализована в размере a (ширина ямы),то у нее есть неопределенность значения импульса ∆p ~ h a , а с этой неопределенностьюсвязано наличие у частицы кинетической энергии. Поскольку в рассматриваемых нами условиях среднее значение импульса частицы равнонулю (это очевидно: частица находится в одномерном статическом потенциале), то характерную величину кинетической энергии можноопределить какh2(∆p) 2~,(5.40)T≅2m2ma 2что качественно совпадает с точным значением(5.39).
Конечно, речь идет лишь о качественA sin6970ном понимании эффекта, однако мы установили фундаментальный факт: ограничениеобласти пространственной локализации частицы неизбежно ведет к появлению у неечисто квантовой добавки к энергии, которая тем больше, чем меньше размер областилокализации частицы. В частности, для электрона, локализованного в размере a ~ 1 А,получаем энергию в несколько электронвольт. Аналогично, если нуклон локализован вразмере ~10-13 см, то его кинетическая энергия окажется порядка нескольких мегаэлектронвольт.
Таким образом, зная пространственный размер системы, в квантовой теориимы тут же можем оценить некоторый минимальный масштаб энергии системы.Закончим теперь решение задачи и найдем систему собственных функций оператора Гамильтона для частицы в яме. Из соотношений (5.37) имеемB A = ±tg (k n a 2) = ±tg (πn 2) .Это означает, что для нечетных n A = 0 , B ≠ 0 , а для четных, наоборот A ≠ 0 , B = 0 ,т.е. система характеризуется следующим набором состоянийnπx⎧⎪⎪ Bn cos a , n = 1,3,5,...ψ n ( x) = ⎨(5.41)⎪ A sin nπx , n = 2,4,6,..⎪⎩ naКоэффициенты Bn и An должны быть определены из условия нормировки квадрата модуля волновой функции на единицу. Несложный расчет дает An = Bn = 2 a .
Волновыефункции нескольких нижних состояний также приведены на рис.5.1.Итак, система волновых функций стационарных состояний построена. Легко вчастности убедиться, что условие ортонормированности базиса выполнено, т.е.a 2∫ψ*m( x)ψ n ( x)dx = δ mn .−a 2Остановимся на еще одном важном свойстве полученных базисных функций. Все онихарактеризуются определенной четностью: состояния с n = 1,3,5,... характеризуются четными волновыми функциями, состояния с n = 2,4,6,.. - нечетными.
С математическойточки зрения удобно ввести новую физическую величину – четность и соответствующийей оператор четности P̂ . Определим этот оператор следующим образомPˆ ψ ( x) = ψ (− x) .(5.42)А теперь рассмотрим задачу на собственные значения оператора четности:Pˆ ψ ( x) = λψ ( x)(5.43)Подействуем на соотношение (5.43) оператором четности еще раз:Pˆ ( Pˆ ψ ( x)) = Pˆ (λψ ( x)) = λPˆ ψ ( x) = λ2 ψ ( x) .С другой стороны из (5.42) имеемPˆ ( Pˆ ψ ( x)) = Pˆ (ψ(− x)) = ψ ( x) .Поэтому λ2 = 1 , илиλ = ±1 ,т.е. из (5.42), (5.43) следует, чтоψ (− x) = ±ψ ( x) ,то есть собственные функции оператора четности должны быть либо четными, либо нечетными функциями координаты. Именно такому условию удовлетворяют найденныенами функции стационарных состояний.
То есть мы нашли состояния, в которых сразу7071две величины (энергия и четность) имеют точно определенные значения. Значит операторы, соответствующие этим величинам должны коммутировать между собой, т.е.Pˆ , Hˆ = 0 .В последнем равенстве легко убедиться непосредственно, учитывая свойство симметриипотенциала V ( x) = V (− x) . Это означает, что мы могли заранее облегчить себе задачу иискать набор функций стационарных состояний в виде системы четных и нечетныхфункций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
