А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если частицы взаимодействуютr rмежду собой, т.е. Vˆ12 (r1 , r2 ) ≠ 0 , то факторизация (5.6) оказывается невозможной. Одночастичные функции в системе взаимодействующих между собой частиц ввести нельзя.Однако, в квантовой теории многочастичных систем (многоэлектронные атомы,электронная подсистема твердого тела, атомное ядро) широко используется понятие одночастичного состояния и одночастичной волновой функции. Эти понятия могут бытьвведены лишь приближенно, например, в рамках концепции самосогласованного поля.Основная идея этого подхода заключается в следующем. Мы выделяем одну из частиц,например, один из атомных электронов, и рассматриваем его движение в потенциалесозданном ядром плюс всеми остальными атомными электронами.
И так поочередно поступаем для каждого электрона. В результате каждый из электронов характеризуетсясвоей одноэлектронной волновой функцией, которая через электростатический потенциал зависит от волновых функций одноэлектронных состояний всех остальных электронов. В теории многоэлектронных атомов такой подход был развит Д.Хартри1 в 1928 году, и будет обсуждаться нами при изучении строения многоэлектронных атомов. В теории атомного ядра представление о самосогласованном поле лежит в основе так называемой одночастичной оболочечной модели.В заключение, отметим, что если речь идет о системе одинаковых (тождественных) частиц, например, электронов, ввести одночастичные волновые функции оказывается не всегда возможно даже в отсутствие взаимодействия между частицами.
Болееподробно на этом «парадоксе» мы остановимся в Л_10 при обсуждении принципа тождественности микрообъектов.Движение волновых пакетов. Предельный переход к классической механике.Как мы уже отмечали, в квантовой механике у движущейся частицы отсутствуетпонятие траектории. В каждый момент времени ее состояние задается некоторым волновым пакетом, имеющим конечную область пространственной локализации.
Мы теперь1D.Hartree (1897-1958) – английский физик – теоретик.6364обсудим условия, при выполнении которых квантовомеханическое движение можетбыть описано в классическом пределе и возникает представление о движении микрообъекта по классической траектории.Докажем прежде всего справедливость следующего утверждения (теорема Эренфеста). Основное уравнение классической механики, описывающее движение частицы вrпотенциальном поле V (r )rdp r= F = −∇V ,dtв квантовой теории справедливо для усредненных по квантовому состоянию величин,т.е.d rp = − ∇V ,(5.11)dtгдеrr r rp = ∫ ψ * (r , t ) pˆ ψ (r , t )d 3 r ,(5.12)rrr∇V = ∫ ψ * (r , t )∇V (r )ψ (r , t )d 3 r .(5.13)Докажем это утверждение.
Дифференцируя (5.12) по времени, получим⎞⎛ ∂ψ * rˆ⎛ ∂ψ * rˆrd r∂ r ⎞p = ∫ ⎜⎜pψ + ψ * ( pˆ ψ ) ⎟⎟d 3 r = ∫ ⎜⎜pψ + ψ * pˆ (∂ψ ∂t )⎟⎟d 3 r .dt∂t⎠⎠⎝ ∂t⎝ ∂tВыражения для производных по времени от ψ и ψ * возьмем из уравнения Шредингераih∂ψ= Hˆ ψ ,∂t− ih∂ψ *= Hˆ ψ * .∂tТогда получимrrrrrd riiip = ∫ ( Hˆ ψ * ) pˆ ψ − ψ * pˆ Hˆ ψ d 3 r = ∫ ψ * Hˆ pˆ ψ − ψ * pˆ Hˆ ψ d 3 r = ∫ ψ * Hˆ , pˆ ψd 3 r.dthhhЗдесь мы воспользовались свойством эрмитовости оператора Гамильтонаr**∫ ψ Hˆ φdτ = ∫ Hˆ ψ φdτ . Вычисляя коммутатор операторов Ĥ и p̂rrHˆ , pˆ = Vˆ , pˆ = ih∇V ,окончательно получимr rd rp = − ∫ ψ * (∇V )ψd 3 r = − ∇V = F (r ) .(5.14)dtТаким образом, теорема Эренфеста доказана.Уравнение Эренфеста (5.14) по форме совпадает с уравнением классической механики.
Это совпадение будет выглядеть еще более полным, если доказать следующееутверждение (см. задачу 5.1)rd r1 rp ,=(5.15)dtmто есть производная по времени от среднего значения координаты частицы равна средrнему значению скорости p m . С учетом соотношения (5.15) уравнение (5.14) можно((переписать в виде( )))()[ ][ ] [ ]rd2 rdt2=1∇V .m(5.16)6465Казалось бы, для определения средних значений физических величин достаточно классических уравнений движения. На самом деле это не так.
Уравнение (5.16) не можетбыть непосредственно использовано для решения задач динамики, так как для определения средних значений необходима информация о волновой функции системы, котораяможет быть получена из решения уравнения Шредингера. Рассмотрим, однако, случай,когда величина среднего по квантовому состоянию значения импульса частицы существенно превышает его неопределенность ∆p , т.е.p >> ∆p ~ h a ,(5.17)a - начальная ширина волнового пакета. В такой ситуации перемещение частицы за некоторое время tL= p t mокажется много больше, чем неопределенность координаты частицы (ширина пакета)∆ x ~ h t τ ( ma ) , обусловленная расплыванием волнового пакета во времениL >> ∆x(t ) ,т.е.
можно приближенно считать, что частица характеризуется определенным значениемкоординаты, совпадающим с положением «центра тяжести» пакета x(t ) .Для того чтобы из (5.16) следовал классический закон движения для x(t ) , необходимо также выполнение условияF ( x) = F ( x ) ,то есть среднее значение силы должно совпадать с величиной силы в «средней» точке.Последнее условие, очевидно, выполнено, если на размере ∆x , определяющем ширинуволнового пакета, величина F (x) почти не меняется, т.е. потенциальная функция естьплавная функция координаты(5.18)∇V << V ( x) / ∆x .Таким образом, условием перехода к классическому описанию движения микрообъекта является его движение с большой скоростью (см.
условие(5.17)) в плавно меняющемся в пространстве силовом поле (см.(5.18)).Оптико-механическая аналогия.Мы уже неоднократно обращали внимание на сходство в описании движениямикрочастиц в квантовой механике и распространение электромагнитных волн в пространстве. Покажем теперь, что при выполнении некоторых условий уравнения электродинамики Максвелла сводятся к уравнению, с математической точки зрения эквивалентного уравнению Шредингера.Рассмотрим пространственно неоднородную среду, характеризующуюся диэлекrтрической проницаемостью ε(r ) . Тогда система уравнений Максвелла для напряженностей электрического и магнитного полей может быть записана в виде:rr1 ∂HrotE = −,c ∂trr ε ∂E(5.19)rotH =,c ∂trdiv εE = 0,rdivH = 0.( )6566Воспользовавшись известной формулой векторного анализаrrrrot rotE = grad divE − ∇ 2 E ,и учитывая, что диэлектрическаяпроницаемость среды не зависит от времени, получимr2rrε ∂ E2=∇E−graddivE.(5.20)c 2 ∂t 2rВ пространственно однородной среде divE = 0 и мы получаем обычное волновое уравнение.
В нашем случае ситуация оказывается более сложной, посколькуrr rdiv εE =ε divE + E∇ ε = 0 .(5.21)Пусть диэлектрическая проницаемость среды является плавной функцией координаты,т.е. на расстоянии порядка длины волны излучения величина ε практически не меняется:∇ε << kε ,( )( )k = 2π λ - волновой вектор. В этом приближении получаем, чтоrdivE ≈ 0 ,т.е.
процесс распространения электромагнитной волны описывается волновым уравнениемrrε ∂2E(5.22)= ∇2E ,22c ∂tгде диэлектрическая проницаемость есть функция пространственной координаты. Будемискать решение уравнения (5.22) в виде линейно поляризованного пучка света, распространяющегося вдоль оси z с плавно меняющейся по пространству амплитудой:rrE (r , t ) = E 0 (r ) exp(i (kz − ωt ) ) ,(5.23)где k = ω c . Приближение медленно меняющейся амплитуды означает, что∇E 0 << kE 0 .(5.24)rПолучим теперь уравнение для медленно меняющейся амплитуды E 0 (r ) . Вычисляя∂E ⎞∂E ⎛= ⎜ ikE 0 + 0 ⎟ exp(i (kz − ωt ) ) ,∂z ⎝∂z ⎠2∂E ⎞∂ E ⎛ 2≈ ⎜ − k E 0 + 2ik 0 ⎟ exp(i (kz − ωt ) )2∂z ⎠∂z⎝(здесь в силу условия (5.24) мы пренебрегли слагаемым ∂ 2 E 0 ∂z 2 ), найдем∂E⎛⎞∇ 2 E ≈ ⎜ − k 2 E 0 + 2ik 0 + ∇ ⊥2 E 0 ⎟ exp(i (kz − ωt ) ) .∂z⎝⎠(5.25)2Здесь ∇ ⊥ = ∂ 2 ∂x 2 + ∂ 2 ∂y 2 - оператор Лапласа по координатам, лежащим в плоскостиперпендикулярной направлению распространения пучка.
Дифференцирование выражения (5.23) по времени дает∂2E(5.26)= −ω 2 E 0 exp(i (kz − ωt ) ) .∂t 2Вспоминая, чтоε = 1 + 4πχ( χ - восприимчивость вещества), из уравнения (5.22) с учетом (5.25) и (5.26), получим6667∂E 0r1= − ∇ 2⊥ E 0 + η(r⊥ , z ) E 0 .(5.27)∂z2rrrЗдесь η(r⊥ , z ) = −2πk 2 χ(r⊥ , z ) , а вектор r⊥ = {x, y} .Как видно, уравнение (5.27) с математической точки зрения эквивалентно нестационарному уравнению Шредингера. Задача о временной эволюции волновой функциидвумерной системы оказывается аналогична задаче о вычислении стационарного распределения амплитудного значения напряженности электрического поля в пространствепри распространении электромагнитной волны в среде. При этом координата z , вдолькоторой распространяется световой пучок, аналогична времени в квантовой теории, аrфункция η(r⊥ , z ) , определяемая поляризуемостью среды, имеет смысл потенциалаrrV (r⊥ , t ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
