А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Каждой физической величине, введенной в классической механике, в квантовой механике ставится в соответствие оператор этой величины. При этом соотношение между величинами в классической механике в квантовоймеханике переносится на операторы. Например, оператор кинетической энергии естьpˆ x2 + pˆ y2 + pˆ z2h2 ⎛ ∂2h2 2pˆ 2∂2∂2 ⎞ˆ⎜⎟T==−∇ ,(4.53)==−++2m2m2m ⎜⎝ ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ⎟⎠2mrоператор потенциальной энергии Vˆ (r , t ) есть также оператор умножения на потенциrальную функцию V (r , t ) 7:rrrVˆψ (r , t ) = V (r , t )ψ (r , t ) .Важную роль в квантовой механике играет оператор полной энергии. Его также называют оператором Гамильтона или гамильтонианомrh2 2∇ + V (r , t ) .Hˆ = Tˆ + Vˆ = −(4.54)2mВведенный нами оператор Гамильтона позволяет записать нестационарное уравнениеШредингера (4.10) в более компактном виде∂ψih= Hˆ ψ .(4.55)∂t7Для того, чтобы это увидеть, достаточно разложить потенциальную функциювспомнить свойства оператора координаты.rV (r , t ) в ряд Тейлора и5455Построим еще оператор момента количества движения.
Поскольку в классической мехаr r rнике L = [r × p ] , то для операторов имеемr̂rL = −ih[r × ∇] .(4.56)Распишем последнее определение отдельно для каждой изкомпонент:Lˆ x = −ih( y ∂ ∂z − z ∂ ∂y ),(4.57)Lˆ = −ih( z ∂ ∂x − x ∂ ∂z ),yLˆ z = −ih( x ∂ ∂y − y ∂ ∂x ).Для нас будет важен еще оператор квадрата момента количества движенияLˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z .(4.58)В ряде задач нам будет удобно использовать сферическую систему координат. Поэтому приведем выражениядля некоторых из введенных нами операторов в сферической системе координат. Напомним, что в этой системевместо тройки чисел x,y,z, задающих декартовы координаты, используются модуль радиус-вектора r и два угла θ и ϕ (см. рис.4.2). Здесь мыприведем выражения для оператора Лапласа1 ∂21∂ ⎞1 ∂ ⎛1 ∂2+=θsin∇2 =r+∆,где∆⎜⎟θϕθϕ∂θ ⎠ sin 2 θ ∂ϕ 2sin θ ∂θ ⎝r ∂r 2r2- угловая часть оператора Лапласа, а также для операторов z – проекции момента количества движения и квадрата момента количества движенияLˆ z = −ih ∂ ∂ϕ ,Lˆ2 = −h 2 ∆θϕ .Теперь у нас есть универсальный рецепт вычисления средних значений.
Если некоторой физической величине A поставлен в соответствие оператор Â , то среднее значение физической величины A в некотором квантовом состоянии, описываемом функrцией ψ(r , t ) , можно определить по формулеrrA(t ) = ψ * (r , t ) Aˆ ψ (r , t )d 3 r ,(4.59)∫Дисперсию величины A , характеризующую разброс результатов возможных измеренийотносительно среднего значения, можно вычислить как2DA = A2 − A .(4.60)Все операторы, введенные нами, являются линейными операторами, действующими впространстве функций с интегрируемым квадратом L2 .
Напомним, что свойство линейности означает, чтоAˆ (c1ψ 1 + c 2 ψ 2 ) = c1 Aˆ ψ 1 + c 2 Aˆ ψ 2 ,(4.61)где c1 и c 2 - некоторые числа, а ψ 1 и ψ 2 - функции, принадлежащие L2 .Можно ли найти состояния ψ , в которых некоторая физическая величина A принимает точно определенное значение? Да, можно. Оказывается, что для этого необходимо, чтобы волновая функция ψ была собственной функцией оператора Â , т.е.Aˆ ψ = aψ ,(4.62)aa5556где a - собственное значение, соответствующее функции ψ a . Действительно, определим среднее значениеA = ∫ ψ *a Aˆ ψ a dτ = a ∫ ψ *a ψ a dτ = a ,(4.63)т.е.
среднее значение величины совпадает с собственным значением оператора. Поскольку в рассматриваемом случае A 2 = a 2 , то дисперсия величины A в собственномсостоянии оказывается равна нулю, т.е. физическая величина имеет точно определенноезначение, равное собственному значению оператора Â .Собственные значения всех операторов физических величин должны приниматьтолько действительные значения. Можно показать, что из этого требования следуетсвойство эрмитовости операторов физических величин (более подробно - см. Приложение 1). Неэрмитовы операторы тоже используются в квантовой механике, однако такимоператорам не могут быть поставлены в соответствие измеряемые физические величины.Таким образом, в квантовой теории важное значение приобретает задача на собственные значения и собственные функции операторов различных физических величин.Набор собственных значений образует спектр оператора, который может быть как дискретным, так и непрерывным.
Соответствующий набор собственных функций образуетполную систему, то есть. произвольное состояние системы ψ может быть представленов виде разложения в ряд по собственным функциям какого-либо оператора Âψ = ∑ Cn ψ n ,(4.64)nпричем это разложение однозначно и единственно. Набор функций {ψ n } всегда можетбыть выбран ортонормированным:⎧0, m ≠ n,⎪*δ mn = ⎨(4.65)∫ ψ m ψ n dτ = δ mn , где⎪1, m = n.⎩В (4.65) интегрирование ведется по всей области определения волновой функции системы.
Разложение (4.64) и условие ортонормированности (4.65) записаны для случая оператора Â с дискретным спектром. В случае непрерывного спектра следует записатьψ = ∫ C a ψ a da ,(4.66)∫ψ*aψ a ' dτ = δ(a − a ' ) .(4.67)Прежде чем рассмотреть несколько конкретных примеров задач на собственныезначения и собственные функции для операторов физических величин, остановимся еще2на физическом смысле разложения (4.64).
Величина wn = C n есть вероятность того,что при измерении физической величины, соответствующей оператору Â , будет измерено значение An , соответствующее собственной функции ψ n . Аналогично, если речьидет о физической величине, спектр оператора которой является непрерывным, величи2ну dw = C a da следует трактовать, как вероятность при измерении величины A , обнаружить ее значение в интервале (a, a + da ) .Сами коэффициенты разложения C n или C a (их часто называют амплитудамивероятности) легко определить по известной волновой функции.
Умножая (4.64) на ψ *mи интегрируя по всей области определения функции с учетом (4.65) найдем5657C n = ∫ ψψ *n dτ .Аналогично в случае непрерывного спектра имеемC a = ∫ ψψ *a dτ .Собственные значения и собственные функции оператора импульса.Рассмотрим задачуpˆ x ψ p = pψ p .(4.68)(4.69)(4.70)Здесь индекс « p » указывает на принадлежность функции ψ p собственному значениюравному p . Используя явное выражение для x - проекции оператора импульса (4.51),получим⎛i⎞(4.71)ψ p = exp⎜ px ⎟ ,⎝h ⎠т.е.
плоскую волну де Бройля. Таким образом, собственное состояние оператора импульса есть волна де Бройля. В этом нет ничего удивительного – в соответствии с гипотезой де Бройля (а мы использовали эту гипотезу для определения оператора импульса)волна (4.71) и есть состояние с точно определенным значением импульса. Отметим, чтооператор импульса есть пример оператора с непрерывным спектром, а условие нормировки (4.23) тождественно условию (4.67).Собственные значения и собственные функции оператора z- проекции моментаколичества движения.Рассмотрим еще одну задачу:(4.72)Lˆ z ψ Lz = L z ψ Lz ,или в сферической системе координат− ih ∂ψ Lz ∂ϕ = LZ ψ Lz .(4.73)Интегрируя (4.73), находим⎛i⎞ψ Lz = exp⎜ Lz ϕ ⎟ .(4.74)⎝h⎠Все выглядит очень похожим на решение задачи на собственные значения и собственные функции для оператора импульса.
Однако есть одно существенное отличие. В рассматриваемом нами сейчас случае существует дополнительное условие – условие периодичности волновой функции, как функции полярного угла. Действительно при изменении угла ϕ на 2π волновая функция не должна измениться, то естьψ Lz (ϕ) = ψ Lz (ϕ + 2π) .(4.75)Из (4.75) находим⎛i⎞exp⎜ L z ⋅ 2π ⎟ = 1 .(4.76)⎝h⎠Очевидно, равенство (4.76) справедливо при строго определенных значениях L zm = 0,±1,±2,...L z = mh ,(4.77)Мы получили, что оператор z - проекции момента количества движения имеет чистодискретный спектр, возможные значения L z оказываются кратными постоянной Планка,а квантовое число m (его называют магнитным квантовым числом) как раз и определяет5758величину проекции момента.
Теперь, с учетом условия нормировки, мы можем записатьнормированные собственные функции оператора L̂z :1m = 0,±1,±2,...ψm =exp(imϕ) ,(4.78)2πСтационарное уравнение Шредингера.Рассмотрим теперь задачу на собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона (мы полагаем, что потенциальное поле является стационарным):Ĥψ = Eψ ,(4.79)илиrh2 2(4.80)−∇ ψ + V (r )ψ = Eψ .2mЭта задача оказывается самой важной среди задач на собственные значения и собственные функции операторов физических величин и имеет отдельное название – стационарное уравнение Шредингера. Эта задача чрезвычайно разнообразна: в зависимости отконкретного вида потенциала, входящего в гамильтониан, спектр может дискретнымили непрерывным, может быть и так, что есть и дискретные уровни энергии, и континуум одновременно. Структура энергетического спектра также может быть чрезвычайноразличной.
Ниже мы познакомимся с решениями задачи (4.79) для ряда квантовых систем.Знание набора собственных состояний оператора Гамильтона оказывается исключительно полезным для решения нестационарного уравнения∂ψih= Hˆ ψ .(4.81)∂tПусть, в начальный (нулевой) момент времени система находится в некотором состояrнии φ(r ) :rrψ (r , t = 0) = φ(r ) .(4.82)Будем искать решение временной задачи (4.81) в виде разложения в ряд по собственнымrфункциям {ψ n (r )} оператора Гамильтона8:rrψ (r , t ) = ∑ C n ψ n (r )Tn (t ) .(4.83)nЗдесь C n - некоторые постоянные коэффициенты разложения. Подставляя разложение(4.83) в уравнение (4.81), получим:⎛ dT⎞(4.84)∑n C n ⎜⎝ ih dtn ψ n − Hˆ ψ nTn ⎟⎠ = 0 ,Учитывая теперь, что ψ n есть собственное состояния оператора Гамильтона с собственным значением E n , перепишем (4.84) в видеr⎛ dTn⎞− E nTn ⎟ψ n (r ) = 0 .(4.85)⎜ ih⎝ dt⎠nОчевидно, это равенство возможно, если выражение, стоящее в скобках равно нулю.
Тогда получаем∑C8nТакое разложение всегда возможно и является единственным вследствие полноты указанного набора.5859⎛ i⎞Tn (t ) = Tn (t = 0) ⋅ exp⎜ − E n t ⎟ .(4.86)⎝ h⎠Коэффициенты разложения C n определим по волновой функции начального состояния.Для нулевого момента времени из (4.83) имеемrrφ(r ) = ∑ C n ψ n (r ) ,(4.87)nоткуда находимr rC n = ∫ ψ *n (r )φ(r )d 3 r ,(4.88)причем Tn (t = 0) = 1 .
Поэтому в окончательном виде решение нестационарного уравнения (4.81) с начальным условием (4.82) записывается в видеrr⎛ i⎞(4.89)ψ(r , t ) = ∑ C n ψ n (r ) exp⎜ − E n t ⎟ .⎝ h⎠nТаким образом, знание базиса собственных функций оператора Гамильтона действительно легко позволяет получить аналитическое решение начальной задачи.Рассмотрим теперь важный частный случай. Пусть в начальный момент временисистема находится в одном из собственных состояний гамильтониана ψ n .
Тогда, очевидно, общее решение нестационарного уравнения (4.81) запишется в видеrr⎛ i⎞ψ (r , t ) = ψ n (r ) exp⎜ − E n t ⎟ .(4.90)⎝ h⎠Выражение (4.90) описывает эволюцию собственного состояния оператора Гамильтонаrr 2r 2во времени. Отметим, что в рассматриваемом случае ρ(r , t ) = ψ(r , t ) = ψ n (r ) и не зависит от времени.
Поэтому собственные состояния оператора Гамильтона называютстационарными состояниями. В таких состояниях плотность вероятности обнаружитьчастицу в различных точках пространства не меняется со временем. Не меняются вовремени и средние значения физических величин, рассчитанные по (4.59)9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
