А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В дальнейrшем, работая с функциями ψ n (r ) , будем помнить, что это пространственные части волновых функций стационарных состояний системы. Полные волновые функции стационарных состояний содержат еще и временную часть и определяются с помощью (4.90).Коммутатор.Выше уже обсуждалось, что физическая величина имеет точно определенное значение, если соответствующее состояние является собственным состоянием оператораэтой физической величины. Может ли так быть, чтобы сразу две физических величинымогут быть измерены точно в одном и том же состоянии?Прежде чем ответить на этот вопрос, введем новое понятие коммутатора двухоператоров Â и B̂ . Определим коммутатор Aˆ , Bˆ следующим образомAˆ , Bˆ = Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ .(4.91)[ ][ ][ ]Если коммутатор Aˆ , Bˆ равен нулю, то говорят, что операторы коммутируют.
В противном случае операторы некоммутативны.Рассмотрим несколько примеров. Займемся вычислением коммутатора операторов x - проекций импульса и координаты [xˆ, pˆ x ] . Для этого подействуем коммутатором9При этом конечно мы полагаем, что оператор физической величины не зависит от времени.5960(это новый оператор, действующий в пространстве L2 ) на некоторую волновую функцию ψ ( x, y, z ) .
Получим:[xˆ, pˆ x ]ψ( x, y, z ) = −ih⎛⎜ x ∂ψ − ∂ ( xψ) ⎞⎟ = ihψ( x, y, z ) .(4.92)⎝ ∂x ∂x⎠В результате имеем [xˆ , pˆ x ] = ih , т.е. операторы не коммутируют. С другой стороны, поскольку x , y и z - независимые переменные, легко показать, что коммутатор операторов различных проекции импульса и координаты равен нулю. Например, xˆ , pˆ y = 0 ит.п.Сформулируем теперь важную теорему (без доказательства).
Два оператораимеют совпадающие наборы собственных функций в том и только том случае, если оникоммутируют. Это означает, что если коммутатор двух операторов отличен от нуля, тофизические величины, им соответствующие, не могут быть точно измерены одновременно. И, наоборот, если коммутатор равен нулю, можно найти общие собственныефункции двух операторов, а, следовательно, существуют состояния, в которых две физических величины могут быть измерены точно одновременно.
Например, как мы ужевидели, операторы одной и той же проекции импульса и координаты не коммутируютмежду собой. Это означает, что не существует таких состояний, в которых соответствующие величины заданы точно одновременно. Это утверждение нам знакомо. Ранее мыего получили из соотношения неопределенностей. С другой стороны, можно найти такиесостояния, в которых, например, x - проекция импульса и y - координата могут бытьопределены точно.Для нас сейчас важно, что правила коммутации операторов позволяют безошибочно предсказывать результат даже когда собственные функции операторов неизвестны. В качестве еще одного примера использования сформулированной теоремы рассмотрим серию коммутаторов различных компонент проекций момента количества движения10.Lˆ x , Lˆ y = ihLˆ z , Lˆ y , Lˆ z = ihLˆ x , Lˆ z , Lˆ x = ihLˆ y .(4.93)То есть все три проекции момента количества движения попарно не коммутируют между собой.
С другой стороны, можно показать, что квадрат момента количества движениякоммутирует с каждой из проекций:Lˆ2 , Lˆ i = 0 , где i = x, y, z(4.94)Правила коммутации (4.93), (4.94) в значительной мере определяют специфические черты момента количества движения в квантовой механике. Мы можем найти состояния сточно определенными значениями квадрата момента и одной из его проекций (например, на ось z ). Две другие проекции момента оказываются в таком состоянии точно неопределены, и мы можем говорить лишь о вероятности измерения того или иного значения этих проекций.[[][4.1.10[][]]]Задачи.Волновая функция частицы в некоторый момент времени определяется выражением⎛ 1 x2 ⎞1⎟.ψ( x) =exp⎜⎜ −2 ⎟⎝ 2a ⎠a πСоответствующие коммутаторы легко вычисляются в декартовой системе координат.60614.2.4.3.4.4.4.5.4.6.4.7.Определить средние значения и дисперсии координаты и импульса частицы вэтом состоянии.Решить предыдущую задачу для состояния частицы, описываемого волновой⎛ 1 ( x − x0 ) 2 ⎞1⎟⎟ .⋅ exp(ik 0 x ) ⋅ exp⎜⎜ −функцией ψ ( x) =a2⎝ 2⎠a πВ основном состоянии атома водорода волновая функция имеет видψ (r ) = A exp(− r a 0 ) , r - удаление электрона от притягивающего центра, a 0 - Боровский радиус, A - нормировочная константа.
Определить средние значениякинетической и потенциальной энергии электрона.Определить собственные значения и собственные функции оператора кинетиче))ской энергии Tx = p x2 2m .Показать, что гауссов волновой пакет минимизирует соотношение неопределенностей.Может ли так быть, что в одном и том же состоянии импульс и полная энергияимеют точно определенные значения?Доказать справедливость следующих коммутационных соотношений для оператора момента количества движенияLˆ x , Lˆ y = ihLˆ z , Lˆ2 , Lˆ z = 0 .[4.8.4.9.][]Доказать, что в центрально симметричном потенциале можно найти стационарные состояния, которые характеризуются точно определенными значениямиквадрата и z - проекции момента количества движения.Состояние частицы определяется волновой функцией⎛ 1 ( x − x0 ) 2 ⎞1⎟⎟ .ψ( x) =⋅ exp(ik 0 x ) ⋅ exp⎜⎜ −22a⎝⎠a πОпределить плотность вероятности распределения импульса W ( p) .4.10.
Волновая функция системы как функция полярного угла ϕ задается выражением( A - нормировочная константа):а) ψ (ϕ) = A cos ϕ ,б) ψ (ϕ) = A sin 2 ϕ ,в) ψ (ϕ) = A(1 + sin(ϕ) cos(ϕ)) ,Какие значения z- проекции момента количества движения и с какой вероятностью могут быть измерены в этом состоянии? Каковы среднее значение и дисперсия величины L z ?4.11.
Волновая функция некоторой системы в сферических координатах определяетсявыражением:sin ϕа) ψ (r , θ, ϕ) = R(r , θ) ⋅,πrб) ψ (r ) = R(r ) sin(2θ) cos(ϕ) ,rв) ψ (r ) = R(r ) cos(θ)(1 + sin(θ) sin(ϕ)) ,Какие значения z- проекции момента количества движения и с какой вероятностью могут быть измерены в этом состоянии? Каковы среднее значение и дисперсия величины L z ?6162Лекция 5.Многочастичная квантовая система.До сих пор мы рассматривали движение одной частицы в произвольном потенциальном поле. Остановимся теперь на некоторых особенностях многочастичных квантовых систем. Мы ограничимся случаем двухчастичной квантовой системы, посколькуобобщение на случай многих частиц делается элементарно.r vВведем волновую функцию системы из двух частиц ψ(r1 , r2 ) , находящихся в неr rr r 2котором внешнем потенциальном поле.
Величина ρ(r1 , r2 ) = ψ (r1 , r2 ) представляет со-бой двухчастичную плотность вероятности, т.е. плотность вероятности того, что одна изrvчастиц находится в точке с координатой r1 , а вторая – с координатой r2 . При этом вероятность обнаружить одну их частиц в некоторой точке пространства получается путеминтегрирования двухчастичной плотности по координате другой частицы. Например,rr r 2ρ1 (r ) = ∫ ψ (r , r2 ) d 3 r2(5.1)rесть плотность вероятности обнаружить первую частицу в точке с координатой r .
Аналогично, интегрируя по первой координате, получим одночастичную плотность вероятности для второй частицы.rr r 2ρ 2 (r ) = ∫ ψ (r1 , r ) d 3 r1 .(5.2)Рассмотрим теперь задачу на собственные значения и собственные функции оператора Гамильтона двухчастичной системы. Пусть оператор Гамильтона системы записывается в видеr rrrr rHˆ (r1 , r2 ) = Hˆ 1 (r1 ) + Hˆ 2 (r2 ) + Vˆ12 (r1 , r2 ) ,(5.3)гдеrrHˆ i (ri ) = Tˆi + Vˆi (ri )(5.4)- гамильтониан i – той частицы ( i = 1,2 ), включающий в себя ее кинетическую энергию,а также взаимодействие с внешним потенциальным полем, и зависящий от совокупностиr rкоординат только i – той частицы, Vˆ12 (r1 , r2 ) - оператор взаимодействия, зависящий откоординат обеих частиц.Например, если мы рассматриваем простейший многоэлектронный атом, атомгелия, то в одночастичный гамильтониан (5.4) входит кинетическая энергия электрона иr rвзаимодействие электрона с ядром, а оператор Vˆ12 (r1 , r2 ) описывает межэлектронноевзаимодействие.Стационарные состояния двухчастичной системы могут быть найдены из стационарного уравнения Шредингераr rr rHˆ ψ (r1 , r2 ) = Eψ(r1 , r2 ) .(5.5)Казалось бы, каждый из электронов должен характеризоваться своей волновой функциrей ψ i (ri ) , поэтому решение уравнения (5.5) следует искать в виде произведения одночастичных функцийr rrrψ (r1 , r2 ) = ψ 1 (r1 )ψ 2 (r2 ) .(5.6)Тогда, в частности, из выражений (5.1) и (5.2) получим уже привычные для нас соотношенияrr 2rr 2ρ1 (r1 ) = ψ 1 (r1 ) и ρ 2 (r2 ) = ψ 2 (r2 ) .(5.7)6263Однако, мы сейчас покажем, что факторизация двухчастичной волновой функции напроизведение двух одночастичных возможна лишь в случае невзаимодействующих между собой частиц.
В противном случае введение одночастичных функций в многочастичной квантовой системе оказывается невозможным. Действительно, подставим разложение (5.6) в уравнение (5.5). Учитывая, что операторы Ĥ 1 и Ĥ 2 действуют в подпроv rстранствах функций, зависящих от r1 и r2 соответственно, получимψ Hˆ ψ + ψ Hˆ ψ = E − Vˆ ψ ψ .(5.8)2(11)1(22) (12)12Разделив все теперь на произведение ψ 1ψ 2 , получимHˆ 1ψ 1Hˆ ψ= − 2 2 + E − Vˆ12 .(5.9)ψ1ψ2r rЕсли Vˆ12 (r1 , r2 ) ≡ 0 , то левая и правая части в (5.9) могут зависеть от координат толькопервой и только второй частицы соответственно. Это возможно только еслиHˆ 1ψ 1Hˆ ψ= E1 и 2 2 = E 2 = E − E1 ,(5.10)ψ1ψ2где E1 и E 2 - некоторые постоянные величины. В результате получаем два одночастичных уравнения Шредингера, а E1 и E 2 имеют, очевидно, смысл энергий стационарныхсостояний первой и второй частицы соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
