А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Мы воспользуемся этим приемом при анализе следующей системы.[ ]Частица в прямоугольной потенциальной яме конечной глубины.Рассмотрим теперь задачу об определении стационарных состояний частицы впрямоугольной потенциальной яме конечной глубины. Пусть потенциал задан в следующем виде:⎧⎪0, x ≤ a 2 ,(5.44)V ( x) = ⎨⎪⎩V0 , x > a 2 .Запишем стационарное уравнение Шредингера в каждой из областей непрерывности потенциала (см.
рис.5.2)h 2 d 2ψ−+ V0 ψ = Eψ ,области I,III2m dx 2h 2 d 2ψобласть II−= Eψ .2m dx 2Мы должны рассмотреть две возможности: E < V0 ,что соответствует связанному состоянию частицы вяме, и E > V0 , что соответствует инфинитному движению частицы в пространстве.Более подробно остановимся на случае связанных состояний частицы в яме E < V0 . Введемk 2 = 2mE h 2 и κ 2 = 2m(V0 − E ) h 2 . Обе введенныевеличины являются положительными.
Тогда в каждой из областей непрерывности потенциала уравнение Шредингера имеет видобласти I,IIIψ ′′ − κ 2 ψ = 0 ,область IIψ ′′ + k 2 ψ = 0 .Решения этих уравнений запишем в видеψ I ( x) = AI exp(− κx) + BI exp( κx) ,область Iψ II ( x) = AII sin( kx) + BII cos(kx) ,(5.45)область IIобласть IIIψ III ( x) = AIII exp(− κx) + BIII exp( κx) .Волновая функция должна удовлетворять условию квадратичной интегрируемости. Поэтому необходимо потребовать, чтобы коэффициенты AI = BIII = 0 . Остается четыре коэффициента BI , AII , BII , AIII , для которых из условий непрерывности волновой функциии ее первой производной2 легко получить четыре уравнения.2С физической точки зрения эти условия означают требование непрерывности вектора плотности токавероятности в точках разрыва потенциала.7172Однако, можно существенно упростить решение задачи, если учесть, что в рассматриваемом нами случае состояния также характеризуются определенной четностью.Поэтому из набора функций (5.45) мы должны выделить решения, характеризующиесяопределенной честностью.
Рассмотрим сначала систему четных волновых функций, т.е.функций, не меняющих свой знак при инверсии координаты ψ( x) = ψ (− x) . Очевидно,соответствующие решения имеют видψ I ( x) = BI exp( κx) ,область Iобласть IIψ II ( x) = B II cos(kx) ,(5.46)ψ III ( x) = AIII exp(− κx) .область IIIПри этом BI = AIII . «Сшивая» функции и первые производные в точке разрыва потенциала x = a 2 , найдем3B II cos(ka 2) = AIII exp(− κa 2 ) ,− kBII sin( ka 2) = − κAIII exp(− κa 2 ) .Поделив одно уравнение на другое, и, учитывая, что κ = 2mV0 h 2 − k 2 , получим2mV0 a 2ka ⋅ tg (ka 2) =− (ka) 2 .(5.47)2hПолученное уравнение есть уравнение для определения энергетического спектра системы.
Будем анализировать решениеуравнения (5.47) графически. Корниуравнения могут быть определены какабсциссы точек пересечения функцииf1 (ξ) = ξ ⋅ tg (ξ 2) и дуги окружностиf 2 (ξ) = B − ξ 2 (здесь ξ = ka ) радиусаB = 2mV0 a 2 h 2(см. рис.5.3). Каквидно, хотя бы один корень уравнения,т.е. одно четное связанное состояниевсегда существует. С увеличением радиуса окружности (глубины ямы, илиее ширины) число связанных состоянийвозрастает.Аналогичным образом легкорассмотреть случай нечетных состояний ψ (− x) = −ψ ( x) . Запишем для этого случая решения стационарного уравнения Шредингера в видеψ I ( x) = BI exp( κx) ,область Iψ II ( x) = B II sin( kx) ,(5.48)область IIобласть IIIψ III ( x) = AIII exp(− κx) ,причем BI = − AIII . Так же как и в предыдущем случае из условия непрерывности функции и ее первой производной получаем уравнение для определения значений энергиинечетных состояний3Условия непрерывности в точке x = − a 2 дают такие же соотношения.72732mV0 a 2− (ka) 2 .(5.49)h2Структуру энергетического спектра, получающегося из решения уравнения (5.49), иллюстрирует рис.5.4.
В рассматриваемом случае, если яма достаточно мелкая, связанногосостояния может и не быть. Из графика видно, что условием его возникновения являетсянеравенство2mV0 a 2≥ π2 .(5.50)2hПри дальнейшем увеличении радиуса окружности B появляются новые связанные состояния, характеризующиеся нечетной волновой функцией. Сопоставление рис.5.3 и 5.4показывает, что, как и в случае ямыбесконечной глубины, четные и нечетные состояния чередуются: основноесостояние является четным, следующее состояние – нечетное, потом –снова четное и т.д.Важной особенностью рассматриваемой задачи является то, чтоструктура спектра определяется параметром B = 2mV0 a 2 h 2 .
Например,если глубина ямы увеличилась в 4раза, а ее ширина уменьшилась в двараза, общее число связанных состояний и их относительное расположениепо энергиям остается неизменным.Глубокой ямой мы будем считать яму,в которой имеется большое число состояний, т.е. B >> 1 . Отметим также, что решение задачи о яме бесконечной глубиныявляется предельным случаем полученного нами решения для ямы конечной глубиныпри выполнении условия B → ∞ .
Действительно, из данных, представленных на рис.5.2,5.3, видно, что в этомслучае корни уравнениясоответствуют точкамka → nπ( n = 1,3,5,... для четных иn = 2,4,6,... для нечетныхсостояний), что как разсоответствует энергетическому спектру бесконечно глубокой ямы.На рис. 5.5 представленыволновыефункции двух нижнихсостояний в потенциальной яме конечной глубины. Важной особенностью этих волновых функций является ненулевая вероятность обнаружить частицу в области классиче− ka ⋅ ctg (ka 2) =7374ски запрещенного движения, то есть для значений координаты x > a 2 . Эту вероятностьможно определить как∞w = 2 ∫ ψ ( x) dx .2a 2Причем, чем ближе энергия состояния к величине V0 , тем медленнее убывает волноваяфункция в области классически запрещенного движения, и тем больше величина w .В заключение этого раздела остановимся на случае E > V0 , соответствующегоинфинитному движению частицы.
Решение стационарного уравнения Шредингера можно найти аналогично случаю, рассмотренному выше. При этом оказывается, что это решение существует для любого значения энергии, т.е. инфинитному движению частицысоответствует непрерывный энергетический спектр, причем стационарные состояниятакже двукратно вырождены: каждому значению энергии можно поставить в соответствие два разных состояния, характеризующихся различной пространственной четностью.На этом примере отметим важную закономерность. Всякий раз, когда движениесистемы ограничено некоторой пространственной областью у системы возникает дискретный энергетический спектр, и, наоборот, если движение инфинитно, энергетическийспектр является сплошным. Возникает континуум состояний.
При этом волновые функции состояний континуума (в простейшем случае, рассмотренном нами, это волны деБройля) не могут быть нормированы на единицу в соответствии с условием2∫ ψ dτ = 1 ,поскольку на бесконечности волновая функция таких состояний не стремится к нулю,хотя и остается ограниченной. Можно показать, что условие нормировки на δ - функцию (см. Л_4) является общим условием нормировки состояний непрерывного спектра.Как мы уже отмечали, невозможность удовлетворить условию квадратичной интегрируемости означает, что стационарные состояния в континууме не могут быть реальнореализованы.
На практике состояние частицы в этом случае может быть представленокак волновой пакет, составленный из состояний континуума и обладающий некоторойэнергетической шириной.5.1.5.2.5.3.5.4.Задачи.Показать, что для частицы, движущейся в произвольном потенциальном полеV ( x) , среднее по квантовому состоянию значение импульса удовлетворяет соотd x. Здесь x - среднее значение координаты, m - масса часношению p x = mdtтицы.Показать, что для частицы, движущейся в гармоническом потенциалеV = mω2 x 2 2 , изменение во времени среднего значения координаты x(t ) опре-деляется классическим законом движения.Частица массы m находится в одномерной бесконечно глубокой прямоугольнойпотенциальной яме шириной a .
Написать волновые функции хотя бы двух со2π 2 h 2.стояний, в которых среднее значение энергии частицы равно E =ma 2Состояние частицы в свободном пространстве характеризуется волновой функцией ψ ( x, y, z ) = A( y, z ) sin kx . Какие значения x - проекции импульса могут бытьизмерены в этом случае?74755.5.Частица массы m находится в основном состоянии в одномерной бесконечноглубокой прямоугольной потенциальной яме шириной a . Найти значения p x ,которые могут быть измерены в этом состоянии. Какова вероятность их измерения? Чему равно среднее значение величины p x ?⎧∞ x < 0,⎪5.6.
Частица массы m находится в одномерном потенциале V ( x) = ⎨0, 0 ≤ x ≤ a.⎪V , x > a.⎩ 0Определить, сколько связанных состояний находится в яме в следующих случаях: а) V0 a 2 = 75h 2 m , б) V0 a 2 = h 2 m .5.7. Определить энергию нижнего стационарного состояния частицы в одномернойпрямоугольной потенциальной яме конечной глубины в случаях: а)2mV0 a 2 h 2 << 1 , б) 2mV0 a 2 h 2 >> 1 ( V0 - глубина потенциальной ямы, a - ееширина).5.8. Показать, что волновая функция системы из двух взаимодействующих частицможет быть представлена в виде произведения волновых функций, описывающих относительное движение частиц и движение центра масс.5.9. Дейтрон имеет энергию связи E = 2.23 МэВ, среднее расстояние между протоном и нейтроном a = 2 ⋅ 10 −13 см, возбужденного состояния у дейтрона нет.
Используя эти данные, оценить глубину потенциальной ямы поля ядерных сил.Указание: Яму считать прямоугольной, а ее размер положить равным расстоянию a .5.10. Частица находится в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме всостоянии ψ ( x, t = 0) = αϕ1 ( x) + βϕ 2 ( x) , ϕ1 ( x) и ϕ 2 ( x) - волновые функции нижних стационарных состояний, α и β - действительные числа, причем α 2 + β 2 = 1 .Определить среднее значение и дисперсию координаты частицы как функциювремени.7576Лекция 6.Туннельный эффект.Рассмотрим теперь одно из важнейших квантовомеханических явлений, котороеделает движение частиц принципиально неклассическим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
