А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 22
Текст из файла (страница 22)
для ξ >> 1 уравнение (6.15) оказываетсявыполненным. Будем поэтому искать решение уравнения (6.14) в видеψ (ξ) = v(ξ) exp(− ξ 2 2) ,(6.16)где v(ξ) - некоторая новая неизвестная функция, не меняющая асимптотику функцииψ(ξ) на бесконечности. Подставим представление (6.16) в уравнение (6.14). Тогда учитывая, чтоd 2ψ d=((v ′ − ξv) exp(− ξ 2 2) ) = (v ′′ − v − 2ξv ′ + ξ 2 v )exp(− ξ 2 2) ,2dξdξдля функции v(ξ) получим новое уравнениеv ′′ − 2ξv ′ + (ε − 1)v = 0 .(6.17)Будем искать решение уравнения (6.17) в виде полинома конечной степени ξ , т.е.nv ( ξ) = ∑ a k ξ k .(6.18)k =0Как мы увидим позже, необходимость искать решение (6.17) именно в виде полинома, ане бесконечного ряда, связана с необходимостью сохранить правильное асимптотическое поведение волновой функции на бесконечности.
Подставляя разложение (6.18) вуравнение (6.17) и собирая члены при одинаковых степенях ξ , получимn∑ ((k + 2)(k + 1)ak =0k +2+ (ε − 1 − 2k )a k )ξ k = 0 .Поскольку это равенство должно удовлетворяться при любом значении ξ , получаемследующее рекуррентное соотношение между коэффициентами полинома:2k − (ε − 1)ak +2 =ak .(6.19)(k + 2)(k + 1)Если известны коэффициенты a 0 и a1 , то остальные можно найти с помощью (6.19).
Рядбудет конечным, если на некотором слагаемом с номером n коэффициент a n обратитсяв ноль. Из (6.19) имеем, что это возможно еслиε = 2n + 1 ,или переходя к размерным единицамE n = hω(n + 1 2) , n = 0,1,2,...(6.20)Условие обрыва ряда не может быть выполнено одновременно и для четных и для нечетных членов разложения.
Поэтому полином (6.19) должен содержать только четные,или только нечетные степени ξ , т.е.a 0 → a 2 → a 4 → ... , a1 = a3 = ... = 0 ,илиa1 → a3 → a5 → ... , a 0 = a 2 = ... = 0 .Таким образом, задача решена. Выражение (6.20) определяет энергетическийспектр гармонического осциллятора, а волновые функции представимы в виде (6.16), гдефункции v(ξ) есть полиномы, которые легко построить с помощью соотношения (6.19).8485При этом значения коэффициентов a 0 и a1 должны быть определены из условия нормировки волновой функции.Если бы мы искали решение уравнения (6.17) в виде бесконечного ряда, то длябольших значений k мы бы получили связь между коэффициентами (см.
(6.19)):2ak +2 ≈ ak .kТакая связь между коэффициентами возникает при разложении функции∞ξkexp(ξ 2 ) = ∑,k = 0 , 2 , 4 ,... ( k 2)!то есть приводит к тому, что волновая функция на бесконечности неограниченно возрастает.Полиномы, коэффициенты которых удовлетворяют рекуррентному соотношению(6.19), хорошо известны в математике и называются полиномами Эрмита. Приведем явные выражения для первых нескольких полиномов:H 0 (ξ) = 1 , H 1 (ξ) = 2ξ , H 2 (ξ) = 4ξ 2 − 2 , H 3 (ξ) = 8ξ 3 − 12ξ ,…(6.21)Все они являются либо четными, либо нечетными функциями ξ . Значит, в нашем случаестационарные состояния опять характеризуются определенной четностью. Об этомможно было догадаться, конечно, заранее, т.к. легко видеть, что оператор четности коммутирует с гамильтонианом.Часто бывает удобно использовать и другой способ построения полиномов Эрмита:dnn2H n (ξ) = (−1) exp(ξ ) n exp(−ξ 2 ) .(6.22)dξВыпишем также условие ортонормированности полиномов:∞∫Hn()(ξ) H m (ξ) exp − ξ 2 dξ = 2 n n! πδ mn .(6.23)−∞Эти и некоторые другие свойства полиномов Эрмита более подробно обсуждаются вПриложении 3.Условие (6.23) позволяет записать удовлетворяющие условию нормировки волновые функции стационарных состояний гармонического осциллятораψ n ( x) = N n H n ( x a) exp − x 2 2a 2 ,(6.24)где нормировочный множитель N n - определяется как1Nn =.(6.25)2 n n!a πПерейдем теперь к обсуждению свойств полученного решения.Прежде всего отметим, что энергетический спектр осциллятора строго дискретный, как и у всякой системы совершающей финитное движение.
Энергия основного состояния осциллятора отлична от нуля: существуют так называемые нулевые колебания,их энергия оказывается равнаE 0 = hω 2 ,и это минимально возможное значение энергии осциллятора.Происхождение нулевых колебаний нетрудно понять на основе соотношения неопределенностей Гейзенберга.
Действительно, локализация частицы в области размером∆x ведет к появлению у нее кинетической энергии T ~ h 2 2m(∆x) 2 . С другой стороны()8586для частицы с такой областью пространственной локализации, и находящейся в осцилляторном потенциале, величина потенциальной энергии будет составлятьV ~ mω 2 (∆x) 2 2 . Минимум полной энергии E = T + V достигается для вполне определенной пространственной ширины волнового пакета ∆x = h mω . Для минимальновозможного значения энергии осциллятора при этом получаем E min = hω . Это значениевсего в два раза отличается от точного значения энергии нулевых колебаний осциллятора.На рис.6.10 приведено положениенескольких нижних энергетических уровней осциллятора.
Для этих же состояний нарис.6.11представленыраспределения2плотности вероятности ψ (x) . Важнойособенностью энергетического спектра является его эквидистантность, т.е. энергетическое расстояние между любой паройуровней одинаковоE n − E n −1 = hω .При этом, так же как и в ранее рассмотренных задачах, существует ненулевая вероятность обнаружить частицу в области классически запрещенного движения.Необходимо отметить, что хотя энергия возбужденного состояния осциллятораможет быть весьма велика, средние значения координаты и импульса частицыоказываются равны нулю.
В этом легкоубедиться прямым вычислением интегралов2x = ∫ x ψ ( x) dx ,p = ∫ ψ * ( x) pˆ ψ( x)dx .В этом смысле все стационарные состояния соответствуют неподвижнойчастице. Более того, как мы уже ранееотмечали, распределение плотности ве2роятности ψ также не зависит от времени. Однако, средние значения кинетической и потенциальной энергии отличны от нуля. Действительно9,hω1T n = p 2 2m =ψ *n pˆ 2 ψ n dx =(n + 1 2) ,∫n2m2hωmω 22 2V n = mω x 2 =ψ *n x 2 ψ n dx =(n + 1 2) .∫n22При этом для квантовомеханических средних оказывается выполненным равенствосредних значений кинетической и потенциальной энергииT n = V n = En 2 ,(6.26)9Эти интегралы легко вычисляются с учетом формул, приведенных в Приложении 3.8687знакомое нам по классической механике. Однако, подчеркнем еще раз, в классике речьидет об усреднении по периоду колебательного движения.
Выражение (6.26) полученодля квантовомеханических средних.А что такое нестационарные состояния осциллятора? Как «увидеть» колебаниячастицы (волнового пакета), аналогичные классическим колебаниям? Рассмотрим самыйпростой случай. Пусть в начальный момент времени состояние частицы описываетсяволновой функцией, которая является суперпозицией двух нижних стационарных состояний осциллятора:1(ψ 0 ( x) + ψ1 ( x) ) .ψ ( x, t = 0) =(6.27)2Тогда, в соответствии с общим способом решения нестационарного уравнения Шредингера, рассмотренным в Л_4, волновая функция системы, удовлетворяющая нестационарному уравнению Шредингера и описывающая эволюцию состояния во времени, запишется виде1 ⎛⎛ ωt ⎞⎛ 3ωt ⎞ ⎞(6.28)ψ ( x, t ) =⎜⎜ ψ 0 ( x) exp⎜ − i ⎟ + ψ 1 ( x) exp⎜ − i⎟⎟ .2 ⎠2 ⎠ ⎟⎠2⎝⎝⎝Для плотности вероятности ρ( x, t ) получаем11222ρ( x, t ) = ψ ( x, t ) = ψ 0 ( x) + ψ 1 ( x) + ψ 0 ( x)ψ 1 ( x) cos ωt .(6.29)22Первые два слагаемых в (6.29) не зависят от времени и дают некоторое статическое распределение плотности вероятности, однако третье слагаемое показывает, что плотностьвероятности в системе перетекает из одной пространственной области в другую, причемэто перетекание происходит с частотой колебаний классической частицы.
Чтобы ещеболее полно установить аналогию с классикой, найдем среднее значение координатычастицы122⎛1⎞x(t ) = ∫ xρ( x, t )dx = ∫ x⎜ ψ 0 ( x) + ψ 1 ( x) + ψ 0 ( x)ψ 1 ( x) cos ωt ⎟dx = x01 cos ωt , (6.30)2⎝2⎠гдеx01 = ∫ xψ 0 ( x)ψ 1 ( x)dx = a 2 = h 2mω .Этот интеграл легко вычисляется с использованием формул Приложения 3. Мы получили, что частица совершает колебательное движение с частотой классических колебанийи амплитудой x01 = h 2mω .Таким образом, мы видели, что движение волнового пакета, подобное движениюклассической частице в осцилляторном потенциале, возникает только в нестационарномсостоянии.
В этом смысле стационарные состояния являются чисто квантовыми и неимеют аналога в классической механике.Можно, однако, попытаться сопоставить квантовомеханические плотности вероятности, соответствующие стационарным состояниям, и распределение вероятности обнаружить классический осциллятор в некотором определенном положении в случайныймомент времени. Пусть классическая частица совершает колебательное движение по законуx = x0 cos ωt .Тогда в интервале координат ( x, x + dx) частица находится в течение времени dtdxdx.dt ==2x&x ω 1 − (x x )008788Поскольку частица проходит все возможные значения своего положения за половинупериода, то вероятность обнаружить ее в интервале ( x, x + dx) есть2dtdxdW ==.(6.31)2Tπx 1 − ( x x )00Как видно, максимальная вероятность для классического осциллятора достигается вблизи точек поворота.
Это понятно: вблизи точки поворота скорость частицы мала, и поэтому она там долго находится. Величина1ρ cl ( x) =2πx 0 1 − ( x x0 )в некотором смысле является классической плотностью вероятности и может быть со22поставлена с квантовомеханическим значением ψ (x) . Зависимости ρ cl (x) и ψ (x) ,соответствующие состояниям с определенным значением энергии, представлены нарис.6.12. Как видно, для малых квантовых чисел поведение кривых существенно раз-лично, однако для больших n (для сильно возбужденных состояний) усредненная кривая для распределения плотности вероятности квантовомеханического осциллятора хорошо согласуется с кривой для классического осциллятора.Следует, однако, отметить еще раз, что рассмотренная аналогия достаточно условна.
Стационарные состояния квантовой системы не имеют классического аналога.Для классической частицы мы имеем зависимости координаты и импульса частицы отвремени x(t ) и p(t ) , в то время как квантовомеханические средние x и p не зависятот времени и равны нулю для любого стационарного состояния10. В рассматриваемыхнами стационарных состояниях плотность тока вероятности также равна нулю, то естьотсутствует перетекание плотности вероятности из одной точки пространства в другую.Такая картина не имеет ничего общего с гармоническими колебаниями классическойчастицы в осцилляторном потенциале, также как и с колебаниями квантового волновогопакета, который всегда можно представить в виде суперпозиции некоторого количествастационарных состояний системы.10Следует оговориться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
