А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Аналогично, в квантовомеханической теории атома водорода круговой орбите соответствует состояние с максимальным l , т.е. l = n − 1 . «Круговой» орбитой в квантовой теории следует считать ту, для которой дисперсия радиальной координаты является минимальной. Эту величину можно вычислить как2Dr = r 2 − r ,где∞r2= ∫ r R (r )dr ,42nl0∞r = ∫ r 3 Rnl2 (r )dr .(7.42)0Интегралы (7.42) могут быть вычислены аналитически для произвольного состояния nl :a0a 02 n 222(r =3n − l(l + 1) ) ,5n 2 + 1 − 3l(l + 1) ,r =22Z2ZПоэтомуa2Dr = 0 2 n 2 (n 2 + 2) − l 2 (l + 1) 2 .4ZОчевидно, минимальное значение Dr достигается для l = n − 1 : Dr = a02 n 2 (2n + 1) 4Z 2 ,а относительная неопределенность радиальной координатыDr∆r1.==rr2n + 1Для больших значений n эта неопределенность стремится к нулю, что соответствуетдвижение электрона по классической траектории радиуса r .
При этом состояние с(())максимально возможным значением проекции момента количества движенияrm = l = n − 1 характеризуется почти точным определенным направлением вектора L впространстве (см. (7.11)), что еще больше сближает представления о квантовомеханических и классических электронных орбитах. Состояния с m = l = n − 1 называют циркулярными состояниями. Именно они являются аналогом круговых орбит в классическойтеории.7.1.7.2.7.3.7.4.Задачи.Определить средние значения кинетической и потенциальной энергии в основномсостоянии атома водорода.Определить среднее и наиболее вероятное удаление электрона от ядра в атомеводорода, находящемся в состояниях 1s, 2 s и 2 p .Нарисовать радиальные волновые функции и распределения вероятности обнаружить электрон на расстоянии r от ядра в атоме водорода, находящимся в состояниях с главным квантовым числом n = 4 .В сферической системе координат электрон в атоме водорода характеризуетсяволновой функцией ψ (r , θ, ϕ) = (ψ 2,1,1 + ψ 2,1, −1 + 2ψ 2, 0,0 ) / 6 , здесь ψ n ,l ,m - волно-вая функция стационарного состояния с квантовыми числами n, l ,m.
Какие, и с102103какой вероятностью значения энергии, квадрата момента количества движения иего z – проекции могут быть измерены в этом состоянии?7.5. В начальный (нулевой) момент времени состояние электрона в атоме водородаrзадано волновой функцией ψ (r ) = ψ 1s + 2ψ 2 s / 3 , здесь ψ 1s и ψ 2 s - волновыефункции стационарных состояний. Какие, и с какой вероятностью значения энергии могут быть измерены в этом состоянии? Как зависит от времени распределение плотности вероятности обнаружить частицу в различных точках пространства.7.6. Угловая часть волновой функции некоторой системы в сферических координатахопределяется выражением ( A - нормировочная константа):а) ψ (θ, ϕ) = A sin(2θ) cos(ϕ) ,б) ψ (θ, ϕ) = A cos(θ)(1 + sin(θ) sin(ϕ)) .Какие значения квадрата момента количества движения и с какой вероятностьюмогут быть измерены в этом состоянии? Каковы среднее значение и дисперсиявеличины L2 ?7.7.
Доказать, что в состоянии описываемом сферической функцией Ylm (θ, ϕ) средниезначения x - и y - проекций орбитального момента равны нулю.7.8. Определить вектор плотности тока вероятности для циркулярного состояния( ml = l , l = n − 1 ) атома водорода. Полученное выражение сравнить с классической величиной электрического тока, создаваемого электроном в атоме водорода,движущимся по круговой орбите.7.9. Найти уровни энергии и волновые функции стационарных s – состояний в сферической сферически симметричной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме радиуса R .7.10.
Определить условие существования хотя бы одного связанного s – состояниячастицы в сферически симметричной прямоугольной потенциальной яме радиусом R и глубиной V0 .7.11. Определить энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний трехмерного изотропного гармонического осциллятора V = mω2 r 2 2 .7.12.
Волновая функция частицы массой m , находящейся в трехмерном изотропномгармоническом осцилляторе с частотой ω имеет вид:а) ψ ( x, y, z ) = Ax 2 exp − r 2 2a 2 ,б) ψ ( x, y, z ) = Ayz exp − r 2 2a 2 ,(())()где r = x 2 + y 2 + z 2 , a = h mω . Определить, какие значения энергии, квадратамомента количества движения и его проекции на ось z могут быть измерены вэтих состояниях.7.13. Для частицы, находящейся в центрально-симметричном поле, построить общийвид волновых функций с орбитальным квантовым числом ( l = 1 ) и единичнойпроекцией орбитального момента на оси x (и y ).7.14. В атоме трития ядро 13 H испытывает β - распад с образованием ядра 23 He .
Определить вероятность того, что образующийся водородоподобный ион гелия будетнаходиться в основном состоянии. Какова будет вероятность его возбуждения в2 s и 2 p состояния. Указание: Поскольку образующийся при β - распаде электрон является быстрым, изменение заряда можно считать мгновенным.103104Лекция 8.Орбитальный механический и магнитный моменты электрона.Выше мы ввели понятие момента количества движения электрона, обусловленного его движением по «орбите» вокруг атомного ядра.
В дальнейшем об этом моменте мыбудем говорить как об орбитальном механическом моменте электрона. Из курса электродинамики мы знаем, что если орбитальным механическим моментом обладает некоторая заряженная частица (например, электрон), у нее имеется также и магнитный момент. Величину этого магнитного момента проще всего вычислить для случая круговойорбиты (см.
рис.8.1). Действительно, запишем выражение для магнитного моментаr 1 rµ = iS ,(8.1)cгде i = − e T - ток в атоме, T = 2π ω rкруговая частота обращения электронавокруг ядра, а S = πr 2 - площадь контура,rохватываемого током (вектор S направлен по нормали к поверхности и образуетс направлением обтекания контура правовинтовую систему). Учитывая также, чтоорбитальный момент количества движения частицы естьr rrL = [r × mv ] ,из (8.1) получимre rL.µ=−(8.2)2mcrrКак видно, вектора L и µ направлены в противоположные стороны, что обусловленоотрицательным зарядом электрона.
Величину e 2mc называют гиромагнитным отношением. Гиромагнитным отношением (или g -фактором) часто также называют безразмерную величину отношения магнитного и механического моментов частицы (взятых помодулю):µ Lg== 1.(8.3)e 2mcВсе выше сказанное относится к классической теории. Переход к квантовой теории осуществляется просто. Та связь между величинами, которая существует в классической теории, в квантовой теории переносится на операторы. Таким образом, мы можем ввести новый оператор – оператор магнитного момента частицыre rˆµˆ l = −L.(8.4)2mcНас прежде всего будет интересовать оператор z - проекции магнитного момента:e ˆµˆ l z = −Lz .(8.5)2mcНетрудно видеть, что состояния с точно определенным значением z - проекции орбитального момента одновременно характеризуются точным значением z - проекции магнитного момента, причем104105ehml .(8.6)2mcЗдесь ml = 0,±1,±2,... - магнитное квантовое число.
Величина µ B = eh 2mc определяетхарактерное значение атомного магнитного момента и носит специальное название –магнетон Бора. Численное значение µ B = 0.927 ⋅ 10 −20 эрг/Гс.Модуль магнитного момента электрона может принимать значенияµ l = µ B l(l + 1) ,(8.7)µlz = −здесь l = 0,1,2,... - орбитальное квантовое число.rЭкспериментальное определение атомных магнитных моментов.rПри помещении частицы с магнитным моментом µ во внешнее магнитное полеΗ она приобретает дополнительную энергиюr rW = −(µΗ ) .(8.8)zВыбирая направление оси вдоль направления магнитного поля, перепишем (8.8) в видеW = −µ z Η .Поскольку величина z - проекции магнитного момента принимает строго дискретныйнабор значений, то квантуется и величина дополнительной энергии атома в магнитномполе1∆E = −µ z Η = ml µ B Η ,ml = 0,±1,±2,... ± l .(8.9)То есть при наложении внешнего магнитногополя уровни, вырожденные по проекции орбитального момента, расщепляются на 2l + 1 подуровней.
Говорят также, что внешнее магнитное поле снимает вырождение по магнитномуквантовому числу.В качестве примера рассмотрим, какдолжно происходить расщепление d - состояния атома водорода, помещенного во внешнеемагнитное поле с напряженностью Η (см.рис.8.2). Очевидно, уровень расщепится на пятькомпонент, причем расстояние между соседними компонентами составляет µ B Η . Фактически по числу компонент и величине расщепления можно экспериментально проверить выражение (8.9) и определить значениеатомного магнитного момента. Однако, с практической точки зрения удобнее поступитьиначе – исследовать расщепление атомного пучка при пролете через область неоднородного магнитного поля.
Такие опыты впервые были осуществлены О.Штерном иВ.Герлахом2 в 1922 году. Схема опыта приведена на рис.8.3. В неоднородном магнитномполе (ось z направим вдоль градиента магнитного поля) на атом, обладающий магнитным моментом, действует сила∂Η.F = −µ z∂z1На самом деле, сделанное утверждение совершенно не очевидно. Более строгий путь рассуждений будетприведен позже.2O.Stern (1888-1969), W.Gerlaсh (1889-1979) – немецкие физики – экспериментаторы.105106В результате пучок расщепляется на 2l + 1 компонент. По величине расщепления с учетом конкретной геометрии установки могут быть измерены значения атомных магнитных моментов.Некоторые результаты опытов оказались неожиданными. Казалось бы, наша теория предсказывает, что число компонент должно быть обязательно нечетным.
Однако, внекоторых экспериментах было обнаружено четное число компонент, на которые расщепился атомный пучок. Например, невозбужденный пучок атомов водорода расщепляется на две компоненты,хотя, казалось бы, онвообще не должен расщепляться, так как в основном состоянии уатома водорода l = 0 .Фактически это означает, что у атома имеетсяеще какой-то магнитный момент, не связанный с орбитальнымдвижением электронов.Ранее также было выяснено, что спектральные линии рядаатомов (водорода и щелочных металлов) образуют дуплеты, т.е. совокупность двухблизко расположенных линий. Для объяснения этой тонкой структуры спектраДж.Уленбек и С.Гаудсмит3 в 1925 году выдвинули гипотезу, согласно которой электронобладает собственным механическим и связанным с ним магнитным моментом. Этотсобственный механический момент электрона был назван спином.Собственный механический и магнитный моменты электрона.
Спин.Таким образом, мы пришли к пониманию того, что у электрона в атоме помимоорбитального момента количества движения существует еще и собственный механический и связанный с ним магнитный момент4. При этом, если в s - состоянии происходитрасщепление пучка атомов на две компоненты, то по аналогии с рассмотренной вышетеорией электрону следует приписать значение спинового квантового числа s = 1 2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
