А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 11
Текст из файла (страница 11)
),на уровень m = 7 - серию Хансена - Стронга ( n = 8,9,10,... ).Все эти серии носят имена ученых, впервые идентифицировавших соответствующиеспектральные линии. Отметим, что продвижение в область все больших m сильно затрудняет измерения15, в частности серия Хансена – Стронга была обнаружена только в50-х годах ХХ века. В настоящее время в астрофизической плазме наблюдают переходымежду уровнями атомарного водорода с квантовыми числами, превышающими значенияn, m > 100 . Такие сильно возбужденные состояния атома называют ридберговскими состояниями, их изучение представляет как прикладной, так и общефизический интерес.Последнее связано, в частности, с тем, что в согласно принципу соответствия Бора этисостояния почти классические16.
Поэтому появляется экспериментальная возможностьнаблюдать за переходом от квантовомеханического описания атома к классическому.Подводя итог сказанному, отметим, что модель Бора, будучи внутренне противоречивой и наполовину классической, наполовину квантовой, оказалась в прекрасном согласии с экспериментальными данными по спектру атома водорода и водородоподобныхсистем.
Это означает, что идея квантования момента количества движения правильносхватывает особенности квантовомеханического описания строения атома.Отметим также, что обобщение модели Бора на случай эллиптических орбит было выполнено А.Зоммерфельдом17 и носит название модели атома Бора – Зоммерфельда.Модель Бора – Зоммерфельда, существенно раздвигая возможности описания одноэлектронных систем по сравнению с первоначальной моделью Бора, является, тем не менее,своеобразным тупиком в развитии квантовой теории. В рамках такого подхода оказывается невозможным прогресс в описании строения многоэлектронных атомов, их взаимодействия с внешними электромагнитными полями и друг с другом, в частности вопрос овозникновении химической связи и образовании молекул.
Более того, само описаниедвижения электрона по некоторым разрешенным орбитам противоречит нашим квантовым представлениям о том, что такие орбиты в принципе не могут существовать, поскольку в силу соотношения неопределенностей одновременно точные значения координаты и скорости электрона определены быть не могут.Модель Бора и гипотеза де Бройля.Обсудим теперь связь между постулатом квантования момента количества движения в атоме и волновыми свойствами электрона (гипотеза де Бройля). Для этого перепишем квантовое условие Бора (3.22) в виде2πhL z = mv n rn =⋅ rn = nh ,λDилиnλ D = 2πrn ,(3.41)т.е.
на длине орбиты укладывается целое число волн де Бройля. Условие (3.41) имеетпонятный физический смысл. Фактически стационарные орбиты Бора соответствуютстоячим электронным волнам де Бройля в атоме.15Одна из причин этого – быстрое уменьшение вероятности перехода с увеличением длины волны спектральной линии. Причину этого мы будем обсуждать при изучении квантовой теории электромагнитныхпереходов.16Возможность перехода к классическому пределу при описании квантовой системы требует, конечно,40гораздо более подробного рассмотрения.17A.Sommerfeld (1868-1951) – немецкий физик – теоретик.41Релятивистское обобщение модели Бора.Выше мы уже обращали внимание на то, что в тяжелых водородоподобных системах ( Z >> 1 ) электрон становится релятивистским, т.е. нашей модели уже недостаточно. Рассмотрим теперь релятивистское обобщение модели Бора.
Так же как и раньше,ограничимся случаем круговых орбит. Запишем релятивистское уравнение движения ввидеrdmvZe 2 r=− 3 r.(3.42)dt 1 − (v c )2rПоскольку на круговой орбите модуль вектора скорости остается постоянным, уравнение (3.42) можно переписать в видеγmv 2 Ze 2= 2 .(3.43)rrЗдесь γ = 1 1 − (v c ) - релятивистский фактор. Фактически уравнение движения (3.43)отличается от нерелятивистского случая (3.23) появлением множителя γ .Будем также считать, квантовое условие Бора (3.22) верно и при релятивистскихскоростях.
Тогда имеем:L z = γmvr = nh .(3.44)Опять имеем два уравнения (3.43) и (3.44) для определения радиусов орбит и соответствующим им скоростей движения. После несложных преобразований получаемv n c = αZ n ,(3.45)2n221 − (αZ n ) .(3.46)ZОтметим, в частности, что выражения для скорости движения по орбите, полученные врелятивистском и нерелятивистском случаях, совпадают.
Найдем теперь энергию электрона на орбите. Поскольку при движении в кулоновском полеZe 22E = γmc 2 −= γmc 2 (1 − v 2 c 2 ) = mc 2 1 − (v c ) ,(3.47)rполучимrn = a 0E n = mc 2 1 − (αZ n ) .(3.48)Может быть, наиболее удивительным является то, что решение задачи существует недля любых Z . Как видно из (3.46) и (3.48) для основного состояния системы ( n = 1 ) полученные выражения теряют смысл для сверхтяжелых ядер с зарядом больше некоторого критического Z * :Z > Z * = 1 α = 137 .(3.49)2При Z = Z * = 137 полная энергия электрона (включая энергию покоя) обращается вноль, а орбита имеет нулевой радиус. Для ядер с большим зарядом устойчивой орбиты,соответствующей случаю n = 1 , в рамках модели Бора найти нельзя.
То есть модель Борафактически предсказывает существование конца таблицы Менделеева. Интересно, чтоточно такой же ответ получается и в рамках релятивистской квантовой теории, базирующейся на решении волнового уравнения Дирака18. Проверить сделанные предсказания напрямую вряд ли возможно, поскольку синтезировать ядра со столь большим зна-4118P.A.M.Dirac (1902-1984) – английский физик – теоретик, Нобелевская премия (1933).42чением Z (необходимо еще электронную оболочку создать) в настоящее время проблематично19.Чуть более подробно остановимся теперь на случае небольших значений Z ирассмотрим вопрос о релятивистских поправках к энергетическим уровням атома водорода и водородоподобных ионов.
Отметим, прежде всего, что в выражение (3.48) включена также энергия покоя электрона, которую мы не учитывали в рамках нерелятивистской теории. Поэтому для сравнения результатов и нахождения релятивистских поправок перепишем выражение (3.48), исключив из него энергию покоя~2E n = E n − mc 2 = − mc 2 ⎛⎜1 − 1 − (αZ n ) ⎞⎟ .(3.50)⎠⎝Проводя в (3.50) разложение корня в ряд Тейлора, получаем1Z2~(3.51)E n ≈ − α 2 mc 2 2 ,2nчто, как нетрудно видеть, совпадает с выражением (3.35).
Релятивистская поправка кэнергии δE p получается при учете второго члена разложения корня в (3.50):11 α2Z 2 ⎛Z2 ⎞4⎜⎟.⋅−δE p ≈ − mc 2 (αZ n ) =Ry84 n 2 ⎜⎝n 2 ⎟⎠Например, для основного состояния атома водорода имеем11δE p ≈ mc 2 α 4 = α 2 Ry ≈ 1.8 ⋅ 10 − 4 эВ.84(3.52)(3.53)Экспериментальное доказательство дискретной структуры атомных уровней.Опыты Франка и Герца.В 1913 году Джеймсом Франком20 и Густавом Герцем21 был проведен эксперимент, доказавший наличие в атоме дискретных энергетических уровней.
Опыт Франка иГерца состоял в следующем. К разрядной трубке, содержащей катод (К), анод (А) и сетку (С), подавалось напряжение, как показано на рис.3.3 (ускоряющее напряжение междуК и С VKC и слабое тормозящее напряжение между С и А VCA ). Трубка заполнялась насыщенными парами ртути. Электроныэмитировались с поверхности катода, ускорялись в пространстве между К и С, азатем попадали в тормозящее поле междуС и А. В процессе движения от катода каноду электроны испытывают упругие инеупругие соударения с атомами ртути.При упругих соударениях атом ртути остается в основном состоянии, при этомэнергия электрона практически не меняется.
В неупругом соударении электронтеряет энергию, атом переходит в возбужденное состояние. В эксперименте измерялся анодный ток (количество электронов,пришедших на анод) в зависимости от величины напряжения между К и С. Типичная19На самом деле при таких больших значениях Z необходимо учитывать неточечность атомного ядра, чтоприводит к еще большему увеличению критического заряда.4220J.Franck (1882-1964) – немецкий физик, Нобелевская премия (1925).21G.Hertz (1887-1975) – немецкий физик, племянник Генриха Герца, Нобелевская премия (1925).43вольт - амперная характеристика (ВАХ), получающаяся в таких экспериментах, приведена на рис.3.4. Она характеризуется немонотонной зависимостью анодного тока от напряжения между катодом и сеткой, причем «расстояние» между максимумами (минимумами) тока составляет примерно 4.9 эВ.
Физическая причина этого заключается в следующем. Если энергия электрона, набранная в промежутке между катодом и сеткой, недостаточна для того, чтобы возбудить атом, он будет испытывать только упругие столкновения и без труда преодолеет тормозящее поле между сеткой и катодом (мы полагаем,что VKC > VCA ), внеся свой вклад в анодный ток. Если энергия электрона лишь немногопревышает величину потерь на возбуждение, электрон будет задержан тормозящим полем и вернется обратно на сетку, что приведет к уменьшению анодного тока. В случаеесли набираемая электроном энергия, немного превышает величину, кратную минимально необходимой для возбуждения атома, на зависимости анодного тока от ускоряющего напряжения также возникают провалы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
