А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Исходя из соотношения неопределенностей, оцените массу пиона. Радиус действия ядерных сил порядкаR ≈ 1.4 ⋅ 10 −13 см.3132Лекция 3.Модели атомов. От Дж. Томсона до Н. Бора.Атом Томсона.Проследим теперь за развитием представлений о строении атома в начале XX века. Исторически первой физической моделью атома явилась модель Томсона, предложенная им в 1903 году. В соответствии с этой моделью простейший атом (атом водорода) представлял собой равномерно заряженный по объему шар, внутри которого находился электрон. Поскольку атом в целом нейтрален, плотность положительного зарядаρ 0 связана с размером шара R соотношением.4e = πR 3ρ 0 .(3.1)3Здесь e - заряд электрона. Очевидно, центральная точка шара определяет положениеравновесия, при смещении электрона из этой точки появится возвращающая сила, стремящаяся вернуть его обратно. Действительно движение электрона происходит под действием силы, действующей на него в электрическом поле равномерно заряженного шара.rНапряженность поля на расстоянии r от центра шара легко найти из теоремы Гаусса:4E ⋅ 4πr 2 = 4π ⋅ πr 3ρ 0 ,(3.2)3откуда имеемre r(3.3)E= 3r.RТогда уравнение движения электрона запишем в видеr&e2 r&(3.4)mr = − 3 r ,Rили&rr& + Ω 2 rr = 0 ,(3.5)0где Ω 0 = e 2 mR 3 - круговая частота колебаний.
Решение уравнения (3.5) есть гармонические колебания с частотой Ω 0 . Например, если в начальный момент времени элекrтрон смещен из центра (его координата r0 ) и имеет нулевую начальную скорость, решение уравнения (3.5) имеет видrrr (t ) = r0 cos Ω 0 t .(3.6)Именно такое представление об атоме, как о гармоническом осцилляторе и было заложено в электронную теорию Лоренца.
Оценим теперь частоту электронных колебаний.0Полагая атомный радиус R = 1 A (понимание, что атомы имеют размеры такого порядка, сложилось еще в XIX веке), получим Ω 0 ~ 1016 с-1. Это значение частоты попадает вультрафиолетовый диапазон частот и в качестве первого приближения удовлетворительно соответствует наблюдаемым атомным частотам.Рассмотренная модель не учитывает потери энергии на излучение, возникающиепри ускоренном движении электрона. Потери энергии на излучение приводят к появлению дополнительной силы – силы радиационного трения, которую надо включить вуравнение (3.4) или (3.5).
Выражение для этой силы может быть записано в виде:3233r 2e 2 rf r = 3 &r&& .(3.7)3cСила оказывается пропорциональна третьей производной от радиус-вектора.1 Предположим, что сила радиационного трения мала по сравнению с возвращающей силой, действующей на электрон2. Тогда решение (3.6) будет приближенно верным и можно замеrrнить третью производную, входящую в (3.7), на первую: &r&& ≈ −Ω 02 r& . В результате силарадиационного трения оказывается пропорциональна скорости движения и похожа наобычную силу вязкого трения:r2e 2 Ω 02 r&fr ≅ −r.(3.8)3c 3С учетом (3.8) запишем уравнения движения электрона&rr& + γrr& + Ω 2 rr = 0 .(3.9)0Здесь γ = 2e 2 Ω 02 3mc 3 - классическая постоянная затухания.
При значении Ω 0 = 1016 с-1получаем γ ≈ 6 ⋅ 10 8 с-1. Как видно, γ << Ω 0 , колебания будут затухать слабо, и нашепредставление силы радиационного трения в виде (3.8) оправдано.Решение уравнения (3.9) для тех же начальных условий запишем в видеrr⎛γ⎞r (t ) = r0 ⎜ cos Ωt +sin Ωt ⎟ exp(− γt 2) ,(3.10)2Ω⎝⎠где Ω = Ω 02 − γ 2 4 . Заметим, что учет затухания приводит одновременно к сдвигу частоты осциллятора, но этот эффект крайне мал. Относительное изменение частоты равно∆Ω = Ω − Ω 0 Ω 0 ≈ γ 2 8Ω 02 << 1 .
Поэтому перепишем (3.10) в видеrrr (t ) ≅ r0 exp(− γt 2) cos Ω 0 t .(3.11)Вычисляя энергию осциллятора как функцию времени, найдемrrmr& 2 mΩ 02 r 2E (t ) =+= E 0 exp(− γt ) .(3.12)22Здесь E 0 - начальное значение энергии. Как видно, время τ = 1 γ представляет собойвремя затухания энергии осциллятора, т.е.
время жизни атома в возбужденном состоянии. Эта величина составляет τ ~ 10 −9 с, что неплохо согласуется с экспериментальнымиданными.Таким образом, в рамках модели Томсона атомный электрон, будучи выведен изположения равновесия, совершает почти гармонические колебания, постепенно отдаваяэнергию на излучение, и возвращается в исходное положение равновесия. При этом завремя излучения электрон успеет совершить порядка 106 – 107 колебаний. Это означает,что степень монохроматичности излучения весьма высока.Заметим, что обобщение модели на случай многоэлектронных атомов возможно.Совокупность электронов располагается внутри шара.
Соответствующие равновесныеконфигурации могут быть рассчитаны в рамках классической механики. При этом эти1Это крайне серьезная проблема, имеющая далеко идущие последствия. Для такого закона силы обычнойпостановки задачи в классической механике (заданы начальные значения координаты и скорости) оказывается недостаточно. Уравнения движения оказываются уравнениями третьего порядка по времени, и,33значит, необходимо задать и начальное значение ускорения.2Это утверждение, конечно, должно быть потом проверено.34электроны могут быть разделены на группы, обуславливающие периодичность свойствхимических элементов.Опыты Резерфорда. Планетарная модель атома.Серьезный удар по модели атома Томсона нанесли результаты опытов по рассеянию α - частиц (по современным представлениям – ядер атома гелия) на тонких металлических (золотых) фольгах. Эти опыты были проведены Э.Резерфордом3 с сотрудниками.
Суть этих опытов заключается в следующем. При прохождении через фольгу α частицы испытывают рассеяние и отклоняются от своего первоначального движения.Оказалось, что большая часть α - частиц проходит через фольгу, отклоняясь на небольшие углы, однако некоторое количество (примерно одна из десяти тысяч) α - частицрассеивается на углы порядка 900 и даже иногда вплоть до 1800. Объяснить такие результаты в модели рассеяния на атоме Томсона даже с учетом многократного накопления отклонений на малые углы оказывается принципиально невозможным4. Единственным способом объяснить полученные данные является предположение о наличии внутри атома области компактного расположения всего положительного заряда, т.е.
предположение о существовании атомного ядра.Рассмотрим теперь процесс рассеяния на атоме Томсона и определим максимально возможный угол отклонения, на который может отклониться α - частица. Мы ограничимся рассмотрением рассеяния на положительно заряженном остове атома, исключив из рассмотрения электроны.
Их учет, очевидно, может лишь уменьшить величинуугла рассеяния. Схема процесса рассеяния приведена на рис.3.1. Атомный остов имеетзаряд Z и характеризуется размером R. Характерное значение энергии α - частицыE α = 5 МэВ5. Частица, рассеивающаяся на ядре, характеризуется значением прицельного параметра b. Мы ожидаем, что максимально возможный угол отклонения будет малым, поэтому траекторию движения α - частицы можно считать почти прямолинейной.Направим ось OX вдоль вектора начальной скорости α - частицы и попытаемся определить теперь импульс, который онаприобретает в направлении, перпендикулярном своему движению:∞∞2Ze 2 bdtp ⊥ = ∫ F⊥ (t )dt = ∫.22 32−∞− ∞ (x (t ) + b )(3.13)Здесь F⊥ - cила, действующая наα - частицу в направлении, перпендикулярном движению, множитель «2» - заряд α - частицы.
Вводя скорость движения частицы вдоль траектории vα , и переходя от интегрирования по времени к интегрированию вдоль траектории α - частицы, получим∞∞b ⋅ dx vαdξ2 Ze 22Ze 2p ⊥ = 2Ze 2 ∫=⋅=.(3.14)2∫22 322 32bvbv/2()()xb++ξ1αα0−∞3E.Rutherford (1871-1937) – английский физик, Нобелевская премия по химии (1908).Несколько позже при изучении рассеяния α - частиц в газах было убедительно показано, что отклонениена большой угол происходит в результате одного единственного столкновения.345Энергии подавляющего большинства частиц от α - радиоактивных источников лежат в диапазоне 4-6МэВ.435Мы учли также, что значение интеграла в последнем выражении равно единице.
Уголотклонения определим как отношение импульса p ⊥ к начальному импульсу частицы:θ≈p⊥2Ze 2 b.=mα v αEα(3.15)Здесь E α = mα vα2 2 - кинетическая энергия α - частицы.Мы получили интересный результат – угол рассеяния равен отношению потенциальной энергии взаимодействия α - частицы и атомного остова при их максимальномсближении (в нашем приближении прямолинейной траектории это прицельный параметр) к кинетической энергии α - частицы. Полученное выражение справедливо длязначений b ≥ R . Очевидно также, что случай b = R будет соответствовать максимальному углу отклонения.
Проводя численную оценку именно для этого случая и полагая,что Z = 79 (золото), а R = 10 −8 см, получим θ max ≈ 4 ⋅ 10 −4 . Это всего две сотых градуса.Получить большое значение угла рассеяния «мешает» слишком большой размер атомного остова. Это единственный свободный параметр в нашей задаче. Поэтому, если мы хотим понять результаты опытов Резерфорда, мы должны резко, почти на четыре порядка,уменьшить размер области локализации положительного заряда. То есть мы вынужденыпредположить, что внутри атома существует ядро размером R0 ≈ 10 −12 см, несущее весьположительный заряд.
Поскольку размер атома составляет величину порядка ангстрема,следует предположить, что этот размер определяется атомными электронами, которыедвижутся в кулоновском поле ядра. Так мы приходим к планетарной модели атома,предложенной Э.Резерфордом в 1911 году. В случае простейшего атома (атома водорода) электрон движется вокруг ядра по эллиптической (в частном случае – по круговой)траектории.Неудовлетворительность модели Резерфорда была очевидна с самого начала.Электрон, двигаясь по круговой (или эллиптической) орбите должен излучать электромагнитные волны, терять энергию и, в конечно счете, упасть на ядро.
Атом оказываетсянестабильным, живущим конечное время6. Однако экспериментальные факты надежноутверждают, что свободные атомы, не будучи подвергнуты какому-либо воздействию,абсолютно стабильны. Модель Резерфорда в этом смысле оказывается значительно хужемодели Томсона, в которой стабильность атома получается сама собой.Для того чтобы окончательно внести ясность в ситуацию, надо, конечно, оценитьвремя жизни атома относительно падения электрона на ядро. Эту задачу можно решитьаналогично уже рассмотренной нами задачи о затухании колебательного движения электрона в атоме Томсона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
