А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Соотношения неопределенностей.Итак, в соответствии с гипотезой де Бройля свободной частице с импульсом pможно поставить в соответствие волну (мы пока ограничимся одномерным случаем)ψ ( x, t ) = A exp(i (kx − ωt )) ,(2.30)где волновой вектор и частота связаны с импульсом и энергией частицы соотношениями(2.22), A - нормировочная постоянная. С учетом (2.22) выражение (2.30) можно переписать в виде⎞⎛i(2.31)ψ ( x, t ) = A exp⎜ ( px − Et )⎟ .⎠⎝hЗдесь E и p - энергия и импульс частицы.
А как записать энергию частицы, и какуюэнергию в (2.22) мы имеем в виду? Для нерелятивистского случая, казалось бы, имеемE = p 2 2m ,(2.32)для релятивистской частицы связь энергии и импульса имеет видE = p 2c 2 + m 2c 4 .(2.33)Заметим, что выражение (2.33) не переходит в (2.32) даже в нерелятивистском пределе.Действительно, разлагая (2.33) в ряд по малому параметру p mc , получимE = mc 2 1 + ( p mc ) ≈ mc 2 + p 2 2m .(2.34)То есть выражение (2.34) содержит по сравнению с (2.32) еще и энергию покоя. Надо лиучитывать энергию покоя при определении частоты волны де Бройля или не надо, заранее не ясно. Оказывается, с физической точки зрения это не имеет существенного значения. Неоднозначность введения частоты волны де Бройля нигде не скажется на физических результатах.22829Плоская волна, которую мы связали со свободной частицей, занимает все бесконечное пространство и является нефизическим понятием.
Однако из совокупности плоских волн можно составить волновой пакет, локализованный в пространстве1ψ ( x, t ) =ψ exp(i (k x x − ωt ))dk x dω ,(2.35)(2π)2 ∫ k ,ωгде ψ k ,ω - амплитуды плоских волн, образующих пакет. Можно даже представить себе,что частицы – это и есть локализованные волновые пакеты, перемещающиеся в пространстве и во времени. Такое допущение в принципе возможно, только если скоростьперемещения пакета в пространстве совпадает со скоростью движения частицы.
Из волновой теории мы знаем, что скорость перемещения пакета как целого определяется такназываемой групповой скоростьюv g = dω dk .(2.36)Учитывая, что E = hω , а p = hk , как в релятивистском (2.33), так и в нерелятивистском(2.32) случаях мы получаемv g = dE dp = p m ,(2.37)т.е. скорость частицы. Таким образом, пакет действительно перемещается в пространстве со скоростью, равной скорости движение частицы. Однако, различные спектральныекомпоненты пакета движутся с разными фазовыми скоростями. Например, если мы используем нерелятивистскую связь энергии и импульса (2.32), то для фазовой скоростиполучимv ph = ω k ~ k .(2.38)Это означает, что пакет будет расплываться, и, в отличие от электромагнитных волн, дляволн де Бройля вакуум является диспергирующей средой.
Поэтому предположение отом, что частицы это сгустки волн де Бройля должно быть отвергнуто.В 1926 году М.Борн9 предложил другую интерпретацию для волновой функцииrr 2ψ(r , t ) . Согласно Борну, величина квадрата модуля волновой функции ψ (r , t ) предrставляет собой плотность вероятности обнаружить частицу в точке с координатой r вмомент времени t .
Поэтому саму волновую функцию часто называют амплитудой вероятности. В таком случае расплывание волнового пакета означает, что с течением времени область пространства, в которой может быть обнаружена частица, увеличивается.Как уже отмечалось, пакет (2.35) представляет собой суперпозицию плоскихволн, т.е. он характеризуется некоторой шириной спектра. Причем, чем больше размерпространственной области локализации пакета, тем уже его спектр в пространстве волновых векторов, и, наоборот, узкое пространственное образование можно приготовить,если использовать большой (широкий) набор волновых векторов. Связь ширины спектрас размером пространственной области локализации частицы может быть получена из(2.35) с помощью обратного преобразования Фурье. Действительно,ψ k ,ω = ∫ ψ ( x, t ) exp(− i (k x x − ωt ))dxdt .(2.39)Из (2.39) легко получить, что если волновой пакет ψ ( x) характеризуется областью пространственной локализации размером ∆x , то ширина спектра волновых векторов ∆k xудовлетворяет соотношению∆k x ∆x ≥ 1 .(2.40)Умножая (2.40) и (2.41) на постоянную Планка, получим9M.Born (1882 - 1970) - немецкий физик-теоретик, Нобелевская премия (1954).2930∆p x ∆x ≥ h .(2.41)Здесь величина ∆p x задает ширину пакета ψ k ,ω в пространстве волновых векторов, или,что то же самое, в импульсном пространстве.
Очевидно, величины ∆x и ∆p x можно понимать, как неопределенности значений координаты и импульса частицы, состояние которой задается волновой функцией (2.35). В трехмерном случае аналогичные соотношения легко получить и для двух других проекций волнового вектора и координаты:∆p y ∆y ≥ h , ∆p z ∆z ≥ h .(2.42)Мы приходим к важному выводу: координата частицы и ее импульс (речь идет о проекциях на одну и ту же ось) не могут быть заданы со сколь угодно высокой точностью.Точность их одновременного определения ограничивается соотношениями (2.41), (2.42).Из сказанного следует очень важный вывод.
Постановка задачи о движении частицы вклассической механике (по начальным значениям координаты и скорости (или импульса) определить значения этих величин в любой наперед заданный момент времени) оказывается невозможной с точки зрения квантовой теории. Соотношения неопределенностей Гейзенберга не позволяют в принципе задать начальные условия так, как это делается в классической теории. Отсюда в частности следует, что у квантового микрообъектане может быть траектории.
Состояние такого микрообъекта описывается волновым полем, ψ - функцией. Задание этого поля целиком и полностью описывает систему, всяинформация, которую мы можем узнать о системе, содержится в ее волновой функции.Соотношения (2.41), (2.42) в квантовой теории были впервые сформулированыВ.Гейзенбергом10 и носят названия соотношения неопределенностей для импульса и координаты. Отметим, что эти соотношения не накладывают никаких ограничений на точность определения, скажем, x – проекции импульса и y – проекции координаты.Аналогично соотношениям (2.41), (2.42) из выражений (2.35), (2.39) легко получить еще одно соотношение, устанавливающее связь между временной длительностьюпроцесса τ и шириной его частотного спектра∆ν ⋅ τ ~ 1 .(2.43)Умножая на h , получаем соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии –времени:∆E ⋅ τ ~ h .(2.44)Физическая трактовка этого соотношения заключается в следующем.
Если квантоваясистема живет некоторое время τ , то энергия этой системы не может быть определена сточностью лучшей, чем позволяет соотношение неопределенностей∆E ≥ h τ .(2.45)Здесь ∆E - точность определения энергии системы. Мы видим, что теоретически точноизмерить энергию у системы можно лишь в том случае, если эта система живет бесконечно долго.Фактически, соотношение неопределенностей энергия – время устанавливаетпринципиальные ограничения на точность экспериментальной проверки закона сохранения энергии. Если в системе на некоторое время τ появится дополнительная энергия∆E , но так, что выполнено соотношение (2.44), то говорить о нарушении закона сохранения энергии нельзя, так как такое нарушение не может быть обнаружено ни в какихэкспериментах в принципе.В заключение отметим, что соотношения неопределенностей представляют собойфундамент квантовой теории.
Использование этих соотношений часто позволяет качест10W.Heisenberg (1901-1976), немецкий физик-теоретик, Нобелевская премия (1932).3031венно анализировать различные физические ситуации, не прибегая к точному решениюзадачи.2.12.22.32.42.52.62.72.82.92.102.112.122.13Задачи.При прохождении рентгеновского излучения через некоторое вещество было обнаружено, что максимальная кинетическая энергия комптоновских электроновотдачи составила Emax = 0.44 МэВ.
Определить длину волны рентгеновского излучения.Определить частоту света рассеянного назад на неподвижном электроне в случаях: а) hω0 << mc 2 , б) hω0 >> mc 2 ; здесь ω0 - частота падающего излучения.Определить длину волны рассеянного назад фотона ( λ 0 = 10.6 мкм) на релятивистском электроне с энергией Ee = 20 ГэВ, движущемся ему навстречу.На какую кинетическую энергию должен быть рассчитан ускоритель протонов,чтобы исследовать структуры с пространственным размером l = 1 фм = 10 −13 см.В электронном микроскопе энергия пучка электронов Ee = 100 кэВ. Определитьего предельно возможную разрешающую способность.Определить длины волн де Бройля для электронов и протонов с энергией 10МэВ.Исходя из соотношения неопределенностей, получить условие, при выполнениикоторого частица массы m может удерживаться в прямоугольной сферическисимметричной потенциальной яме радиуса R и глубины V0 .Ширина линии усиления кристалла титаната сапфира ( Ti : Sapphire ) составляет∆ν = 2 ⋅ 1014 с-1.
Оценить предельную длительность импульса генерации в лазерена кристалле Ti : Sapphire .Исходя из соотношения неопределенностей, оценить энергию нулевых колебаний гармонического осциллятора.Исходя из соотношения неопределенностей, оценить энергию основного состояния атома водорода.Используя соотношение неопределенностей, оценить кинетическую энергию нуклона в атомном ядре.Исходя из соотношения неопределенностей, показать, что электрон не можетудерживаться внутри атомного ядра.В мезонной теории ядерных сил предполагается, что взаимодействие между нуклонами осуществляется посредством испускания одним из нуклонов и последующим поглощением вторым нуклоном частицы, переносчика взаимодействия,нейтрального или заряженного пиона ( π 0 , π ± ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
