А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тогда вычисляя аналогично (1.13)среднюю энергию полевой моды, запишем∞εω =∑εn =0∞nw(ε n )∑ w(εn =0,n(1.18))где w(ε n ) по-прежнему определяется по формуле Больцмана.Вычисление суммы (1.18) проводится следующим образом. Вводя β = 1 k B T , перепишем (1.18)9P.Ehrenfest (1880-1933) - физик-теоретик.W.Wien (1864-1928) – немецкий физик, Нобелевская премия (1911).11M.Planсk (1858-1946) – немецкий физик – теоретик, Нобелевская премия (1918).101011∞εω =∑ nεn =00exp(− nε 0 β)∞∑ exp(−nε β)n =00=−∞ε0dd1.ln ∑ exp(− nε 0 β) = − ln=dβ n = 0dβ 1 − exp(−ε 0 β) exp(ε 0 k B T ) − 1(1.19)Подставляя теперь (1.19) в (1.11) получим новое выражение для распределения энергиипо спектру равновесного излучения.
Очевидно, для того, чтобы в пределе высоких частот ω → ∞ полученное выражение переходило в формулу Вина, необходимо потребовать, что минимальная порция энергии осциллятора была пропорциональна частоте, т.е.ε 0 = hω .(1.20)Здесь h - коэффициент пропорциональности, введенный М.Планком, и носящий его имя– постоянная Планка. Численное значение этой постоянной (его впервые определил самПланк из экспериментальных данных по спектрам равновесного излучения)h = 1.05 ⋅ 10 −27 эрг.с.
Помимо постоянной h используют также постояннуюh = 2πh = 6.62 ⋅ 10 −27 эрг.с.С учетом (1.20) полученное нами выражение для спектральной плотности энергии равновесного излучения записывается в виде:hω31dω .(1.21)ρ ω dω = 2 3π c exp(hω k B T ) − 1Выражение (1.21) для распределения энергии по спектру равновесного электромагнитного излучения называется формулой Планка и позволяет объяснить все известные законы, справедливые для равновесного излучения и полученные ранее эмпирическим путем.Так, например, легковидеть, что закон Релея иДжинса и закон Вина являютсясоответственно низко- и высокочастотным приближением(1.21).
Действительно, в областинизкихчастотhω k B T << 1 разлагая экспоненты в ряд до первого порядка, немедленно получаем выражение (1.14). Отметим приэтом, что исчезновение из ответа постоянной Планка является признаком того, что соответствующее выражение может быть получено из чистоклассических соображений. Применительно к равновесному излучению эти соображения нами были уже рассмотрены. Наоборот, в высокочастотной части спектраhω k B T >> 1 , пренебрегая в знаменателе единицей по сравнению с экспонентой, получим1ρ ω dω = 2 3 hω3 exp(− hω k B T )dω ,(1.22)π cт.е. формулу Вина.1112На рис.1.2 приведен общий вид планковской функции (кривая 1) а также ее предельных случаев, рассчитанных по формулам Релея и Джинса (кривая 2) и Вина (кривая3). Отметим, что планковская функция характеризуется максимумом в точкеhω max≈ 2.84 ,(1.23)k BTт.е.
ω max растет линейно с температурой излучения. Эта формула легко получается изанализа на экстремумы выражения (1.21) и представляет собой закон смещения Вина.Этот закон был получен В.Вином еще в 1893 году.Получим теперь выражение для объемной плотности энергии равновесного электромагнитного излучения. Интегрируя по спектру (1.21), найдем∞∞k B4T 4 ∞ξ31hω 3(1.24)U = ∫ ρ ω dω = 2 3 ∫dω = 2 3 3 ∫dξ .π c 0 exp(hω k B T ) − 1π c h 0 exp(ξ) − 10Входящий в (1.24) интеграл равен π 4 15 .
Поэтомуπ 2 k B4U = σT ,σ== 7.57 ⋅ 10 −15 эрг/(см3 К4)(1.25)3 315c hт.е. плотность энергии электромагнитного излучения растет как четвертая степень температуры. Выражение (1.25) представляет собой закон Стефана – Больцмана, установленный эмпирическим путем еще в 1879 году. Однако, постоянную σ (она носит название постоянная Стефана – Больцмана) теоретически стало возможным вычислить лишьпосле установления формулы Планка.Помимо спектральной функции ρ ω часто используется также формула для распределения энергии излучения по длинам волн, которое описывается функцией ρ λ .
Этафункция может быть легко получено из соотношенияρ ω dω = ρ λ dλ ,(1.26)где спектральный интервал dω связан со спектральным интервалом dλ соотношениемdω = dω dλ dλ = (2πc λ2 )dλ . В результате имеем416π 2ρ λ dλ = 5 ⋅λhc(1.27)dλ .⎛ 2πhc ⎞⎟⎟ − 1exp⎜⎜⎝ λk B T ⎠Из формулы Планка в виде (1.27) также следует закон смещения Вина, характеризующий изменение положения максимума спектральной функции ρ λ с температурой:2πhc≈ 4.95 ,(1.28)λ max k B Tотметим при этом, положения максимумов планковской функции в шкале частот и длинволн не совпадают, т.е.
λ max ≠ 2πc ω max . Это связано с изменением величины спектрального интервала dλ , соответствующего постоянному значению dω , при изменениичастоты излучения. Из (1.23) и (1.28) нетрудно получить, что2πc λ maxω*(1.29)=≈ 1.76 .ω maxω maxВ заключение коротко остановимся на примерах реальных физических систем,которые с хорошим приближением характеризуются планковским спектром излучения.12131.
Излучение звезд. Излучение с поверхности звезд с хорошей степенью точности характеризуется планковским спектром. В частности, ближайшая к нам звезда, Солнце, даетизлучение с температурой 5770 К, что соответствует максимуму излучения в серединевидимого диапазона частот (зеленый свет). Надо иметь в виду, что атмосфера Земли частично поглощая ультрафиолетовое излучение, вносит искажения в спектральный составизлучения, регистрируемый у поверхности Земли.2. Реликтовое излучение. В соответствии с теорией Большого Взрыва (Г.Гамов12, 1948)вся Вселенная заполнена изотропным равновесным излучением, температура которогоуменьшается по мере расширения Вселенной. Экспериментальное обнаружение этогоизлучения в 1965 году (Р.Вильсон, А.Пензиас13) с температурой T ≈ 2.7 К считается одним из наиболее убедительных доказательств справедливости наших представлений оразвитии Вселенной.б) Фотоэффект.Фотоэффект был открыт Генрихом Герцем14 в 1887 году.
Герц наблюдал зажигание дугового разряда между двумя электродами под действием ультрафиолетового излучения горящей рядом дуги. С современной точки зрения физическое содержание опытов Герца заключается в следующем. Плазма дугового разряда имеет высокую температуру и является источником интенсивного ультрафиолетового излучения. Это ультрафиолетовое излучение способно ионизовать атомы создавать затравочные электроны, вобласти пространства между электродами, к которым заранее приложено напряжение.Появление этих затравочных электронов приводит к возникновению проводимости изажиганию разряда. Для понимания физики происходящего важно также, что напряжение пробоя разрядного промежутка всегда выше, чем напряжение, достаточное для поддержания разряда.
Таким образом, фактически Герцем был обнаружен процесс ионизации атомов электромагнитным излучением (атомный фотоэффект). Несколько позжебыло обнаружен фотоэффект с поверхности твердых тел приих облучении электромагнитным излучением ультрафиолетовой части спектра. Также как и в случае атомного фотоэффекта для удаления электрона с поверхности твердого тела требуется затратить некоторую энергию. Минимальноезначение этой энергии называют работой выхода. Для широкого круга материалов она обычно составляет несколькоэлектронвольт.
В случае атомного фотоэффекта роль работывыхода выполняет потенциал ионизации.Основные особенности явления фотоэффекта былиисследованы А.Г.Столетовым15 (1888-1889) и Ф.Ленардом16(1899-1902). Поэтому к обсуждению результатов, полученных в этих опытах, мы теперь и перейдем. На рис. 1.3 схематически изображена установка для изучения фотоэффекта.Два металлических электрода, к которым может подаватьсянапряжение различной полярности, разделены вакуумным промежутком.
Поверхностьодного из электродов облучается монохроматическим излучением ультрафиолетового12Г.А.Гамов (1904 -1968) советский, а затем американский физик-теоретик.R.W.Wilson (р.1936), A.Penzias (р.1933) – американские физики –экспериментаторы, Нобелевская премия (1978).14H.Hertz (1857 - 1894) – немецкий физик.15А.Г.Столетов (1839 - 1895) – русский физик.16Ph.Lenard (1862 – 1947) – немецкий физик, Нобелевская премия (1905).131314диапазона частот. В результате фотоэффекта с поверхности в вакуумном промежуткепоявляются свободные электроны, и возникает электрический ток, измеряемый амперметром.С точки зрения классической теории сам факт образования фотоэлектронов выглядит совершенно естественным.
Электрическое поле волны раскачивает электроны, находящиеся внутри твердого тела.В результате их кинетическая энергия возрастает. Если кинетическая энергия превысит работу выхода, электрон с некоторой вероятностью может вылететь с поверхности твердого тела.Остановимся на результатах опытов, и обсудим, что из них можно, а чтонельзя понять в рамках классическихпредставлений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
