А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Такая картина расщепления действительно наблюдалась экспериментально иизвестна как нормальный эффект Зеемана. В экспериментах, однако, наблюдается ианомальный эффект Зеемана, когда картина расщепления отличается от описанной выше(число линий либо не равно трем, либо величина расщепления не совпадает с рассчитанной). Однако, и в этом случае порядок величины расщепления правильно описывается рассмотренной выше моделью, и вполне можно было надеяться, что развитие теориив дальнейшем позволит получить согласие с экспериментом и в этом случае.Теория Лоренца удачно сочеталась с моделью атома Томсона5, предложенной имв 1903 году через несколько лет после открытия им же электрона в 1897 году. Хотя теория Лоренца и испытывала ряд трудностей, в частности при описании ферромагнетизма,аномального эффекта Зеемана, количественного объяснения спектров различных элементов и др., в целом она выглядела вполне удовлетворительной. Казалось, нужны ещенебольшие усилия, и физическая картина мира атомно-молекулярных масштабов будетполностью завершена.Тем не менее, ряд экспериментальных фактов принципиально не укладывался вновую столь успешную теорию.
Многочисленные попытки «примирить» теорию с нимипривели, в конце концов, к пониманию, что это принципиально невозможно и послужили толчком к созданию квантовой теории.Обсудим наиболее важные из таких фактов.а) Проблема равновесного электромагнитного излучения.Известно, что любая замкнутая система рано или поздно приходит в состояниетермодинамического равновесия, причем все свойства этого состояния определяютсяодним единственным параметром – температурой.
В данном разделе нас будет интересовать электромагнитное излучение, находящееся в термодинамическом равновесии сатомами его излучающими. Такое равновесное излучение проще всего получить внутризамкнутой полости, стенки которой удерживаются при некоторой постоянной температуре T . Испускание и поглощение электромагнитного излучения атомами, образующими стенки полости, приведет к заполнению полости электромагнитным полем, котороеобязательно в конце концов придет в состояние термодинамического равновесия с веществом, а значит тоже будет характеризоваться той же температурой T .
Важнейшая характеристика равновесного излучения – распределение энергии по спектру, которое задается функцией ρ ω - спектральной плотностью энергии электромагнитного поля. Величина ρ ω dω определяет величину энергии поля в единице объема в спектральном интер57J.J.Thomson (1856-1940) – английский физик, Нобелевская премия (1906) «За теоретические и экспериментальные исследования прохождения электричества через газы».8вале от ω до ω + dω , а интеграл по всему спектру есть объемная плотность энергии поля:U = ∫ ρ ω dω .(1.3)Наша задача – научиться вычислять спектральную плотность ρ ω , как функцию температуры.Не ограничивая общности рассмотрения, будем считать, что электромагнитноеполе находится в кубическом объеме с зеркальными стенками6 (размер стенки куба L).Тогда произвольное состояние электромагнитного поля в полости может быть представлено в виде суперпозиции стоячих волн (полевых мод), причем на стенках куба находятся узлы электрического поля волны.
Каждая полевая мода описывает гармонические колебания поля с некоторой частотой, поэтому о таком представлении часто говорят как оразложении поля на осцилляторы. Наша задача заключается в вычислении числа различных типов колебаний (полевых мод) в спектральном интервале (ω, ω + dω) . Умноживпотом полученную величину на среднюю энергию одной полевой моды, мы и получимвыражение для спектральной плотности энергии электромагнитного поля.Рассмотрим сначала одномерный случай. Условие существования стоячей электромагнитной волны в резонаторе размером L запишем в виде:λ(1.4)n = L,2где n – число длин полуволн, укладывающихся на длине резонатора.
Переходя от длиныr rrволны λ к волновому вектору k = e x ⋅ 2π λ ( e x - единичный вектор), перепишем (1.4) ввидеLnx = k x ,(1.5)πили в интервале волновых векторов от k x до k x + dk x укладывается dn x различных нормальных колебаний поля:Ldn x = dk x .(1.6)πДо сих пор мы говорили о стоячих волнах. На практике часто оказывается удобнее говорить о бегущих. Учитывая, что стоячая волна может быть рассмотрена как суперпозициядвух бегущих, распространяющихся в противоположных направлениях, перепишем (1.6)в видеL(1.7)dn x =dk x ,2πгде область определения волнового вектора k x уже продлена на всю числовую ось:k x ∈ (− ∞,+∞ ) .Проводя аналогичные рассуждения для полевых мод, характеризующихся проекrциями волнового вектора k на два других направления, легко записать следующее общее выражение33⎛ L⎞⎛ L⎞dN = dn x dn y dn z = ⎜ ⎟ dk x dk y dk z = ⎜ ⎟ d 3 k .⎝ 2π ⎠⎝ 2π ⎠6(1.8)Вопрос о возможности формировании зеркально отражающей поверхности и из совокупности большогоколичества излучающих и поглощающих атомов требует отдельного рассмотрения, которое находится зарамками нашего изложения.89Поделив полученное на L3 (объем резонатора),r rr получим число полевых мод в единицеобъема в интервале волновых векторов k , k + dk :dndk = d 3 k (2π) 3 .(1.9)Выражение (1.9) носит весьма общий характер вне зависимости от конкретной природыволнового поля.
Применительно к электромагнитному полю надо еще учесть, что одноrму и тому же значению волнового вектора k соответствуют две полевых моды, отличающихся состояниями поляризации. Поэтому для электромагнитного поля в (1.9) должен быть введен множитель «2»:dndk = 2 ⋅ d 3 k (2π) 3 .(1.9’)Определим теперь число различных типов колебаний в интервале частот ω, ω + dω .Вспоминая, что k = ω c и выполняя интегрирование в (1.9’) по всем различным направvлениям волнового вектора k , окончательно получим1ω 2 dω2dndω = 2 ⋅4πk dk = 2 3 .(1.10)(2π) 3π cТеперь очевидно, что спектральная плотность энергии в единице объема естьω2ρ ω dω = ε ω dndω = 2 3 ε ω dω .(1.11)π cЗдесь ε ω - средняя энергия полевой моды с частотой ω .()Найдем величину среднюю энергию ε ω , исходя из следующих соображений.Вспомним, что каждая полевая мода представляет собой гармонический осциллятор, т.е.речь идет фактически о вычислении средней энергии осциллятора, находящегося в состоянии термодинамического равновесия со средой при температуре T .
Учитывая, что всоответствии с законом Больцмана вероятность обнаружить у осциллятора энергию εестьw(ε) = A exp(− ε k B T )(1.12)(здесь A - нормировочная константа, k B - постоянная Больцмана), для средней энергиизапишем∫ εw(ε)dε = k T .(1.13)ε =Bwεdε()∫Полученный ответ есть прямое следствие общего закона классической статистическоймеханики – закона равнораспределения энергии по степеням свободы. На каждую колебательную степень свободы в состоянии термодинамического равновесия приходитсяэнергия равная k B T . Подставляя полученное значение в (1.11) для спектральной функции ρ ω найдемω2⋅ k BT .(1.14)π2c3Строго выражение (1.14) было получено в 1905 году и носит название формулы Рэлея7 иДжинса8. Отметим еще раз, что полученное выражение получено из наиболее общихпредставлений классической физики и описывает распределение энергии по спектруравновесного электромагнитного излучения.
Когда формула Рэлея и Джинса была полуρω =78J.Rayleigh (1842-1919) –английский физик, Нобелевская премия (1904) «За …открытие … аргона».J.Jeans (1877-1946) – английский физик и астрофизик.910чена, ее неудовлетворительность была уже всем очевидна. Действительно, выполняя интегрирование по частотам, т.е., вычисляя объемную плотность энергии равновесного излучения, имеем∞k BT ∞ 2(1.15)U = ∫ ρ ω dω = 2 3 ∫ ω dω → ∞ .π c 00Таким образом, плотность энергии электромагнитного поля должна быть бесконечна велика. Эта ситуация П.Эренфестом9 была названа «ультрафиолетовой катастрофой». Неудовлетворительность подхода была ясна, конечно, еще с самого начала. Число полевыхмод в единице объема бесконечно велико (в этом смысле об электромагнитном поле говорят, как о системе с бесконечным числом степеней свободы), причем плотность полевых состояний растет с увеличением частоты.
В такой ситуации закон равнораспределения энергии по степеням свободы автоматически приводит к бесконечной энергии. Фактически становится понятным, что применить закон равнораспределения (а это один изнаиболее общих законов классической физики) к полевым модам оказывается невозможным, причем речь идет, прежде всего, о высокочастотных модах колебаний. Ситуация тем более обидная, что вид спектральной функции ρ ω в области высоких частот(фиолетовая часть спектра) был установлен экспериментально В.Вином10 еще в 1896 году (формула Вина)ρ ω ~ exp(− bω k B T ) ,(1.16)здесь b - некоторая константа. Что касается формулы Релея и Джинса, было понятно,что она верна лишь для низкочастотной (красной) части спектра излучения.Революционный шаг в понимании особенностей распределения энергии по спектру равновесного излучения был сделан М.Планком11. В 1900 году им была полученаформула (формула Планка), правильно описывающая распределение энергии по спектруравновесного электромагнитного излучения.
Однако, для этого Планку пришлось предположить, что энергия конкретной полевой моды может принимать строго определенный набор значений, кратных некоторому минимальному, и тем самым отказаться от закона равнораспределения энергии по степеням свободы. Действительно, предположимвслед за Планком, что возможные значения энергии каждой полевой моды определяютсявыражениемε n = nε 0 , n = 0,1,2,... ,(1.17)а ε 0 - некоторая минимальная порция (квант) энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
