А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Однако еще проще это сделать, исходя из энергетических соображений. Используем для этого выражение для скорости потери энергии на излучениеdE2e 2 r 2= − 3 &r& .(3.16)dt3cСчитая для простоты орбиту круговой, имеем &r& = v 2 r , где v и r - скорость движенияэлектрона по круговой орбите и ее радиус. Воспользовавшись уравнением движенияmv 2 r = e 2 r 2 ,(3.17)эти величины легко выразить через полную энергию электрона.
Действительно, из (3.17)имеемE = − mv 2 2 = − e 2 2r ,(3.18)635В отличие от модели Резерфорда в модели Томсона затухание колебаний приводит к возвращению атомав основное (невозбужденное) состояние.36т.е. полная энергия частицы равна кинетической энергии с обратным знаком, или половине потенциальной энергии взаимодействия с ядром.
С учетом (3.18) перепишем уравнение (3.16) в видеdE= −βE 4 ,(3.19)dt321где β =. Интегрируя (3.19), найдем2 3 23 m c e−∞dE(3.20)∫E E 4 = −βτ .0Здесь τ - время падения электрона на ядро (полная энергия электрона при этом стремится к − ∞ ), E 0 - начальная энергия электрона. Из (3.20) получаем:τ=313β E 031 ⎛ mc 2 ⎞⎟ re= ⎜⎜⋅ ,32 ⎝ E 0 ⎟⎠ c(3.21)где re = e 2 mc 2 - классический радиус электрона. Как видно, время жизни атома сильнозависит от величины энергии начального состояния. Сильно возбужденные состояния(для них значение E 0 лишь немного меньше нуля) могут жить достаточно долго.
Однако, для энергии E 0 ≈ −10 эВ, что характерно для большинства невозбужденных атомов,из (21) находим τ ~ 10 −10 с. Собственно, эта оценка и не позволяет всерьез относиться кпланетарной модели атома: электрон упадет на ядро слишком быстро.Атом Бора.Решающий шаг на пути развития квантовых представлений о строении атома былсделан Н.Бором7 в 1913 году. Оставаясь в рамках планетарной модели, Бор предположил, что среди бесконечного множества орбит, удовлетворяющих классическим уравнениям движения, разрешены только те, для которых выполнено условие квантования момента количества движения: проекция момента на ось, перпендикулярную плоскостиорбиты, кратна постоянной Планка:L z = nh , n = 1,2,3,....(3.22)При этом, находясь на этих разрешенных орбитах электрон, не излучает вопреки законам классической механики.
Излучение энергии происходит при переходе с орбиты наорбиту, причем энергия испускаемого кванта hω есть разница энергий начального конечного атомных состояний.Сделанные выше утверждения известны как постулаты Бора. Прежде чем использовать их для расчета атомных состояний, обсудим вопрос, из каких предположенийможно придти к постулату квантования момента количества движения. При обсужденииэтой проблемы мы воспользуемся сформулированным Бором принципом соответствия,согласно которому результаты, полученные в рамках квантового подхода, в предельныхслучаях (большие квантовые числа, малая величина энергии излучаемого кванта посравнению с энергией системы и т.п.) должны переходить в результаты классическогорассмотрения.
В дальнейшем для простоты ограничимся только случаем круговых орбит.Итак, запишем уравнения движения для электрона, обращающегося по круговойорбите вокруг ядра с зарядом Z:367N.Bohr (1885-1962) – датский физик, Нобелевская премия (1922).37v 2 Ze 2= 2 .(3.23)rrМы также знаем, что при движении в центрально-симметричном поле сохраняется момент количества движения.
Для его z - проекции (ось z направим перпендикулярноплоскости орбиты) имеем:L z = mvr = const .(3.24)Определим полную энергию электрона на орбитеmv 2 Ze 2mv 2E=−=−.(3.25)r22Выразим теперь энергию электрона через орбитальный момент количества движения. Из(3.23) и (3.24) находимL z = Ze 2 v .(3.26)Подставляя (3.26) в (3.25), получимmZ 2 e 4E=−.(3.27)2 L2zТогда при переходе с орбиты на орбиту изменение энергии и изменение момента количества движения связаны соотношениями8:mZ 2 e 4∆E =∆L z .(3.28)L3zЭто изменение энергии связано с излучением кванта hω . В случае высоких орбит, когдадвижение электрона должно быть почти классическим (принцип соответствия!), частотаэтого кванта должна быть равна круговой частоте обращения электрона по орбитеω = v r , т.е.mvmZ 2 e 4.(3.29)rL3zСопоставляя (3.28) и (3.29), получаем, что для высоких орбит в силу принципа соответствия должно быть выполнено∆L z = h .(3.30)Пусть это верно для любых орбит! Тогда, очевидно, получаем, что орбиты, по которымдвижется электрон, должны удовлетворять требованиюL z = nh + const ,(3.31)где n - любое целое число, не равное нулю.
Случай отрицательных n соответствуетвращению электрона в противоположную сторону и фактически описывает одно и то жеэнергетическое состояние. Естественно положить, что const = 0 , и тогда мы получаемсформулированное выше правило квантования момента9.Итак, мы имеем два уравнения – (3.22) и (3.23). Неизвестных величин тоже две –это радиус электронной орбиты и скорость движения по ней. Разрешая эти уравненияотносительно r и v , получаем∆E = hω = h = hМы полагаем, что ∆L z << L z .Другая возможная альтернатива выбора константы, так чтобы момент пробегал дискретный набор значений, отстоящих на величину постоянной Планка, заключается в условии const = h 2 . Мы не будем ана37лизировать эту ситуацию, однако интересно, что уже в модели Бора проглядывают представления о полуцелом моменте количества движения.8938h2 n2n2=,(3.32)a0Zme 2 Ze2 Z.(3.33)vn =h nЗдесь a 0 = h 2 me 2 = 5.29 ⋅ 10 −9 см – боровский радиус, фактически это размер атома водорода в основном состоянии ( n = 1 ).
Соотношение (3.33) удобно переписать в видеe2 Zvn c =.(3.34)hc nВозникает еще одна комбинация фундаментальных констант, причем безразмерная,α = e 2 hc = 1 137 . Эта величина носит название постоянной тонкой структуры10. Эта постоянная имеет фундаментальный физический смысл: она определяет электрический заряд в некоторых естественных безразмерных единицах. А электрический заряд есть мераинтенсивности электромагнитного взаимодействия. Малость величины α означает, чтов некотором смысле электромагнитное взаимодействие является слабым. Этот факт лежит в основе современной квантовой электродинамики, рассматривающей электромагнитное взаимодействие объектов в рамках теории возмущений по малому параметру α .Отметим также, что наши расчеты показывают, что атом является нерелятивистской системой.
При Z = 1 скорость электрона на первой боровской орбите равна 1/137скорости света. Однако в тяжелых водородоподобных системах ситуация меняется. Например, при Z = 92 (водородоподобный ион урана) имеем v1 c ≈ 1 . Это значит, что релятивистское обобщение модели Бора представляет значительный интерес.Воспользовавшись выражениями (3.25) и (3.33), определим разрешенные уровниэнергии электрона в атомеmv 2me 4 Z 2En = − n = − 2 2 .(3.35)22h nme 4= 13.606 эВ.
Фактически эта величина представляет собой потенОбозначим Ry =2h 2циал ионизации атома водорода.Определим теперь частоту излучения, испускаемого водородоподобным иономпри переходе электрона с орбиты n на орбиту m :1 ⎞⎛ 1hω mn = Ry ⋅ Z 2 ⎜ 2 − 2 ⎟ , n > m(3.36)n ⎠⎝mСлучай m > n соответствует поглощению кванта при переходе, наоборот, с более низкойна более высокую орбиту. Формула (3.36) известна как обобщенная формула Бальмера иописывает всю совокупность частот в спектрах водородоподобных систем.Более подробно остановимся на сериальных закономерностях в спектре атома водорода ( Z = 1 ). Отметим, что еще в 1885 году И.Бальмером11 было показано, что наблюдаемые длины волн в видимой части спектра атома водорода (в то время было известновсего три таких линии, в настоящее время их число составляет несколько десятков)удовлетворяют соотношениюrn =Происхождение этого названия связано с так называемой тонкой структурой атомных спектров, кото38рая будет обсуждаться позже.11J.Balmer (1825-1898) – швейцарский физик и математик.103911 ⎞⎛ 1= R⎜ 2 − 2 ⎟ , n = 3,4,5,...(3.37)λn ⎠⎝2Здесь R - постоянная Ридберга12, ее численное значение R = 109700 см-1.
Соотношение(3.37) определяет серию Бальмера в спектре водорода. Несколько позже (в 1906 году)Лайманом13 аналогичная серия (серия Лаймана) была обнаружена в ультрафиолетовойчасти спектра11 ⎞⎛1= R⎜ 2 − 2 ⎟ , n = 2,3,4,... ,(3.38)λn ⎠⎝1а в 1908 году Пашеном14 – в инфракрасной части спектра11 ⎞⎛ 1= R⎜ 2 − 2 ⎟ , n = 4,5,6,...(3.39)λn ⎠⎝3Модель Бора находится в прекрасном согласии с этими экспериментальными данными,действительно, (3.36) можно переписать в виде1Ry ⎛ 11 ⎞n>m=⎜ 2 − 2 ⎟,λ mn 2πhc ⎝ mn ⎠(3.40)причем теория предсказывает правильное значение для постояннойРидберга R = Ry 2πhc = 109700 см-1.Схема энергетических уровней атомаводорода и соответствующих спектральных серий приведена на рис.3.2.Линии серии Лаймана принято обозначать буквой L серии Бальмера –буквой H , номер линии в серии обозначают буквой греческого алфавит.Например, на рис.3.2 обозначены четырелиниисерииЛайманаLα , Lβ , Lγ , Lδ и три линии серииБальмера H α , H β , H γ .
Первую линиилюбой серии принято называть головной. Например, Lα , H α - головные линии серий Лаймана и Бальмерасоответственно. Две первых линиисерии Пашена также представлены нарис.3.2.Позже в инфракрасной а затеми в радиочастотной частях спектрабыли обнаружены и другие серии,описываемые обобщенной формулой Бальмера. В частности, переходына уровень m = 4 со всех более высоких n = 5,6,7,... составляют серию Брэкета,на уровень m = 5 - серию Пфунда ( n = 6,7,8... ),12J.Rydberg (1854-1919) – шведский физик и математик.T.Layman (1874-1954) – американский физик – экспериментатор.14F.Paschen (1865-1947) – немецкий физик – экспериментатор.133940на уровень m = 6 - серию Хэмфри ( n = 7,8,9...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
