А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Запишем закон сохранения энергии в виде1A.Compton (1892-1962) – американский физик, Нобелевская премия (1927)1718hω0 + mc 2 = hω + E e .(2.2)Здесь hω0 и hω - энергии кванта до и после рассеяния, E e - энергия электрона послерассеяния.Прежде чем записать закон сохранения импульса нам необходимо определитьимпульс фотона. Вспомним, что согласно классической электродинамике электромагнитное поле характеризуется объемной плотностью энергии Ε и импульса Ρ , причемэти величины связаны соотношениемΕ = Ρc .(2.3)Будем теперь считать, что это соотношение справедливо для отдельного кванта поля –фотона. Тогда получаем, что импульс фотона равенp = hω c ,(2.4)или, вводя понятие волнового вектора k = ω c ,rrp = hk .(2.5)Отметим, что использование соотношения (2.3) для одного фотона позволяет рассматривать его как безмассовую частицу.
Действительно, вспоминая общерелятивистскуюсвязь энергии и импульса частицыEe =p e2 c 2 + m 2 c 4 ,(2.6)получаем, что соотношения (2.3), (2.4) есть частный случай (2.6) для частицы с нулевоймассой.Запишем теперь закон сохранения импульса, описывающий процесс рассеянияфотона на неподвижном электроне:rr vhk 0 = hk + p e ,(2.7)rгде импульс электрона p e связан с его энергией соотношением (2.6).Возведем (2.7) в квадрат, тогда, учитывая связь волнового вектора с частотой, получим:(hω0 )2 + (hω)2 − 2hω0 hω cos θ = pe2 c 2 .(2.8)rrЗдесь θ - угол между k 0 и k , т.е. угол рассеяния фотона.
С другой стороны, из законасохранения энергии (2.2) имеем:(hω0 − hω)2 + 2(hω0 − hω)mc 2 = pe2 c 2 .(2.9)Приравнивая левые части выражений (2.8) и (2.9), получимhω0 − ω =ω 0 ω(1 − cos θ) .(2.10)mc 2Учитывая, что ω = 2πc λ , из (2.10) легко получить2πh(1 − cos θ) ,λ − λ0 =(2.11)mcт.е. мы получили выражение (2.1), причем комптоновская длина волныΛe = 2πh mc = h mc = 2.42 ⋅ 10 −10 см. Численное значение этой константы с хорошейточностью совпадает с экспериментальными данными, полученными А.Комптоном.Иногда комптоновской длиной волны называют величину Λ ' = h mc .
Численное значение этой постоянной в 2π раз меньше и равно 3.86 ⋅ 10 −11 см.Таким образом, экспериментальные данные по рассеянию рентгеновского излучения в твердых телах можно понять в рамках модели столкновения фотона с электро-1819ном, находящимся внутри твердого тела в предположении, что этот электрон являетсясвободным и неподвижным.Рассмотренная модель также позволяет понять, почему сдвиг длины волны электромагнитного излучения был обнаружен именно в рентгеновском диапазоне частот, ане в оптическом или тем более в радиочастотном. Действительно длина волны рентгеновского излучения в опытах Комптона составляла величину порядка ангстрема, т.е.
относительное изменение длины волны ∆λ λ ≅ 10 −2 . Комптоновское смещение длины волны не зависит от длины волны рассеиваемого излучения, поэтому в оптическом диапазоне ∆λ λ ≅ 10 −5 , а в радиочастотном ∆λ λ ≤ 10 −9 . Такое изменение длины волны заметно сложнее обнаружить экспериментально2.В заключение отметим, комптоновская длина волны – один из фундаментальныхмасштабов длины в физике. Он определяет область применимости классической электродинамики.
Оказывается, на расстояниях порядка комптоновской длины волны электрона и меньше классическая электродинамика уже не справедлива, и необходимо использовать квантовую электродинамику. Например, на таких расстояниях оказываетсянесправедлив закон Кулона, описывающий взаимодействие двух точечных зарядов.г) Тормозное рентгеновское излучение. Квантовый предел.Обсудим еще один эффект, убедительно доказывающий квантовую природу электромагнитного излучения.
Речь пойдет об особенности спектра тормозного рентгеновского излучения, возникающего при пролете быстрой заряженной частицы в каком-либосиловом поле, например при пролете быстрого электрона в поле атомного ядра. Электрон, двигаясь с ускорением, излучает энергию, причем интенсивность излучения пропорциональна квадрату ускорения электрона. Нас будет интересовать распределение излученной энергии по спектру, особенно в области высоких частот.С точки зрения классической электродинамики эта задача должна решаться следующим образом. Пренебрегая силой радиационного трения, движение электрона в полеядра можно рассмотреть в рамках уравнения:rZe 2 r(2.12)m&r& = − 3 r .rВ интересующем нас случае процесса рассеяния это уравнение описывает движение поrгиперболической траектории. Определив закон движения r (t ) мы тут же находим ускорение электрона при движении по траекторииrZe 2 ra (t ) = − 3 r (t ) .(2.13)r (t )Спектральный состав тормозного излучения определяется фурье - компонентой ускорения электронаr 2I ω ~ aω ,(2.14)гдеrr1aω =a (t ) exp(− iωt )dt .∫2π(2.15)2Напомним, что проведенные оценки справедливы лишь для свободных электронов.
Для полей оптического и радиочастотного диапазонов частот электроны, находящиеся в твердых телах, не могут даже приближенно считаться свободными.1920Мы не будем сейчас заниматься вычислением этого интеграла, для нас важно, что егозначение отлично от нуля для любого значения ω , т.е. спектр тормозного излученияпростирается до бесконечно больших частот. Анализ выражения (2.15) показывает, в области высоких частот величина спектральной интенсивности излучения экспоненциально мала, однако отлична от нуля.
Такой результат представляется странным с точкиквантовых представлений. Ведь если энергия электрона до рассеяния равна E 0 = eV ( V- ускоряющее напряжение на системе формирования электронного пучка), то электронне может испустить кванта электромагнитного поля с частотой большей некоторой максимальной, определяемой из соотношенияeV = hω max .(2.16)Другими словами, если свет излучается квантами, у спектра тормозного излучениядолжна существовать коротковолновая граница (квантовый предел), определяемая с помощью (2.16).
Эксперимент показывает, что такая граница действительно существует,спектр тормозного излучения действительно имеет коротковолновую границу, что убедительно свидетельствует о справедливости квантовых представлений о свете.Отметим, что квантовый предел также может быть использован для определениячисленного значения постоянной Планка, точнее отношения e h или e hc .Фотон.Убедившись в реальности существования фотонов, попробуем теперь ответить навопрос: а можно ли пучок света, состоящий из фотонов, расщепить так, чтобы в каждомиз полученных пучков света имеющих ту же частоту излучения, энергия квантов светабыла меньше, чем hω , например hω 2 .
Другими словами, можно ли расщепить квантсвета на две равные (а может быть и неравные части) так, чтобы энергия каждой из частей была бы меньше чем hω , а в сумме получалась бы энергия исходного кванта. А может быть фотон, как физический объект, представляет собой классический цуг электромагнитных волн, который легко может быть сформирован с помощью высокочастотногогенератора, ключа и антенны.Простейший прибор, который делит цуг электромагнитных волн на части, этообычная светоделительная пластинка.
При угле падения пучка света на пластинку в 450происходит как раз деление цуга пополам. Насколько реально утверждение, что в такомэксперименте как раз и происходит расщепление фотона на две равные части? Такойопыт выполнялся многократно еще до возникновения квантовых представлений о свете.Однако эти классические опыты выполнялись со сравнительно интенсивными пучкамисвета, содержащими огромное количество фотонов. За поведением отдельного фотона в них проследить оказывается невозможным. Поэтому рассмотримснова опыт по расщеплению классического цуга с помощью светоделительной пластинки, только со слабоинтенсивным пучком света. Схема такогоэксперимента представлена на рис.2.3.Основная часть экспериментальной установки – это светоделительная пластина и два детектора D1 D 2 , измеряющие интенсивность попавшего вних излучения.
Будем считать, что де-2021ление пучка происходит ровно пополам, т.е. каждый из детекторов регистрирует интенсивность в два раза меньшую, чем интенсивность входного пучка. Начнем теперьуменьшать интенсивность падающего пучка. Сначала качественно картина меняться небудет, в обоих плечах светоделительной пластинки будут измеряться равные интенсивности сигнала, постепенно убывающие по мере ослабления входного пучка. Однако, начиная с некоторого значения входной интенсивности, мы заметим, что в некоторые моменты времени детектор 1 сработал, в то время как детектор 2 – нет, в какие-то моментывремени, наоборот, детектор 2 зарегистрировал сигнал, в то время как детектор 1 – нет.По мере дальнейшего уменьшения интенсивности такие непарные срабатывания начинают преобладать над случаями одновременного срабатывания детекторов, и, наконец,мы приходим к ситуации, когда в конкретный момент времени срабатывает только либодетектор 1, либо детектор 2.
При этом величина сигнала, регистрируемая детекторомпри его срабатывании, остается постоянной и независящей от интенсивности падающегопучка. По мере уменьшения интенсивности детекторы срабатывают все реже, но каждыйраз они регистрируют сигнал строго определенной величины. Эту ситуацию легко понять, если предположить, что свет состоит из фотонов, и в слабоинтенсивных полях фотоны летят поштучно, поэтому сигнал постоянной величины означает регистрацию одного фотона, который оказывается нерасщепляемым.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
