А.М. Попов, О.В. Тихонова - Лекции по атомной физике (1121316), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Так, в отличие от атома водорода, где для расчета тонкой структуры надо принимать во внимание спин – орбитальное взаимодействие и релятивистскую связь импульса и энергии, в многоэлектронных атомах тонкая структура спектра обусловленатолько спин – орбитальным взаимодействием в атоме. Это связано с отсутствием «случайного» вырождения в спектрах многоэлектронных атомах. Действительно, рассмотренная нами первая релятивистская поправка лишь слегка смещает положение уровня,но не приводит к его расщеплению. В такой ситуации ее влиянием на положение уровней с различными значениями орбитального момента l в многоэлектронном атомеможно пренебречь. В то же время спин – орбитальное взаимодействие приведет к расщеплению уровня в мультиплет, число компонент которого определяется числом возrrrможных ориентаций векторов l и s в пространстве, т.е.
числом различных значений j .Более подробно с тонкой структурой спектров многоэлектронных атомов мы познакомимся в Л_11.123124Понятие о сверхтонкой структуре атомных спектров.Атомное ядро, так же как и электрон, обладает собственным механическим моментом количества движения. Он складывается из собственных механических моментов(спинов) и орбитальных моментов протонов и нейтронов. Известно, что спины протонаи нейтрона равны I p = I n = 1 2 . Поэтому, спин ядра атома водорода I H = I p = 1 2 , спинядра атома дейтерия I D = 1 (в дейтроне спины протона и нейтрона «параллельны» другдругу). Наличие орбитального движения протонов в атомном ядре приводит к существованию ненулевого магнитного момента атомных ядер.
Кроме того, у нуклонов есть собственный магнитный момент, связанный со спином:rrµ N = g N µ NB I n ,(9.32)здесь g N - так называемый g – фактор нуклона, µ NB = eh 2m p c - ядерный магнетон Бора, m p - масса протона. Оказывается для протона g p ≈ 5.6 , а для нейтрона g n ≈ −3.8 .Отметим, что наличие ненулевого магнитного момента у электрически нейтральногонейтрона косвенно свидетельствует о наличии у него некоторой пространственнойструктуры.
Поскольку проекция спинов нуклонов на некоторую выделенную ось равна1 2 , то проекции магнитных моментов на ту же ось, очевидно, определяются какµ p z = 2.8µ NB ,µ n z = −1.9µ NB .Как видно собственные магнитные моменты нуклонов примерно на три порядка меньше,чем магнитный момент электрона. То же самое касается и магнитного момента, связанного с орбитальным движением протона.Учет взаимодействия магнитных моментов атомного электрона (или всей совокупности атомных электронов, если мы говорим о многоэлектронном атоме) и атомногоядра приводит к возникновению сверхтонкой структуры атомных спектров. Величинадополнительной энергии атома, обусловленной взаимодействием ядерного магнитногомомента с магнитным моментом электронной оболочки атома, может быть оценена какµ µm 2δE ~ B 3 NB ~α Ry ~ 10 −6 эВ.(9.33)mpa0С другой стороны по аналогии со спин – орбитальным взаимодействием мы можем записать оператор взаимодействия, приводящего к сверхтонкой структуре, в видеrˆrˆVˆJI = B( JI ) ,(9.34)r̂r̂где J и I - операторы полного механического момента электронной оболочки атома испина ядра, B - константа связи, ее численное значение может быть оценено по формулеr̂r̂(9.33).
Величина энергии (9.34) зависит от ориентации векторов J и I в пространствеотносительно друг друга. Число таких ориентаций определяется квантовым числом F ,r r rопределяющим значение суммарного механического момента атома F = J + I . Из общих правил сложения моментов (см. Л_8) число различных значений F определяетсякак min{(2 J + 1), (2 I + 1)}. Это и будет число компонент сверхтонкого расщепления.В качестве примера чуть более подробно остановимся на сверхтонкой структуреосновного состояния атома водорода 1s1 2 . В этом случае полный механический моментатома равен спиновому моменту единственного атомного электрона, а спин ядра определяется спиновым моментом протона. Поэтому квантовое число F может приниматьдва значения: F = 1 если спины электрона и протона «параллельны» и F = 0 в случае124125«антипараллельной» ориентации спинов.
В соответствии с этим приходим к выводу, чтосверхтонкая структура основного состояния атома водорода состоит из двух компонент.Длина волны перехода между этими подуровнями лежит в радиочастотном диапазоне исоставляет λ = 21 см. Излучение атомов водорода на этой длине волны широко используется в современной радиоастрономии при изучении пространственного распределенияатомарного водорода во Вселенной.Еще одной причиной смещения атомных уровней является наличие у многих ядерэлектрического квадрупольного момента, обусловленного отличием их формы от сферической. Как правило, этот эффект следует учитывать, прежде всего, для тяжелых атомов ( Z >> 1 ).Отметим, что спины и магнитные моменты, а также электрические квадрупольные моменты атомных ядер различных изотопов одного и того же химического элементаимеют разные значения.
Поэтому оказывается различной и их сверхтонкая структура(как по величине расщепления, так и по числу компонент). В этом смысле сверхтонкаяструктура также является одним из проявлений изотопических эффектов в атомныхспектрах. Это означает также, что по характеру сверхтонкого расщепления часто оказывается возможным определить спин и магнитный момент атомного ядра, т.е. методамиатомной радиоспектроскопии исследовать свойства атомных ядер.9.1.9.2.9.3.9.4.9.5.9.6.9.7.9.8.9.9.Задачи.Определить заряд ядра Z водородоподобного иона, при котором величины изотопического сдвига 1s состояния, связанные с конечной массой и конечным размером ядра, совпадают.
Оценку провести в предположении, что число протонови нейтронов в ядре одинаково, а радиус ядра связан с его массовым числом соотношением R ≅ 1.4 ⋅ 10 −13 ⋅ A1 / 3 см.Определить величину расщепления 2s и 2p состояний, обусловленную конечнымразмером ядра, в водородоподобном ионе с зарядом Z (см. задачу (9.1)).Мюон ( mµ ≅ 207me ) находится в поле тяжелого атомного ядра ( Z = 92 , A = 238 ).Определить приближенный вид волновой функции основного состояния и оценить потенциал ионизации такой системы. Считать распределение заряда в пределах ядра равномерным.
Радиус ядра связан с его массовым числом соотношением R ≅ 1.4 ⋅ 10 −13 ⋅ A1 / 3 см.Оценить величину энергетического сдвига основного состояния атома водородапри его помещении в постоянное однородное электрическое поле (эффект Штарка).В рамках модели Бора для круговой орбиты определить величину поправки к положению энергетического уровня в водородоподобном ионе с зарядом Z , обусловленной релятивистской связью энергии и импульса. Полученный результатсравнить с квантовомеханическим расчетом.Используя формулу тонкой структуры найти отношение энергий тонкого расщепления 4p и 4f уровней атома водорода.Оценить отношение энергий тонкого расщепления 3p и 3d уровней атома лития(Z=3).Оценить величину тонкого расщепления дублета 2 p1 2,3 2 в водородоподобномионе урана ( Z = 92) .Определить число компонент сверхтонкой структуры основного состояния атомов дейтерия и трития.
Спины ядер равны I = 1 и I = 1 2 соответственно.125126Лекция 10.Тождественность микрочастиц.Существенной особенностью квантовомеханического описания ансамбля одинаковых микрообъектов является принцип тождественности. Суть этого принципа заключается в неразличимости двух одинаковых микрочастиц, например, электронов. В отличие от двух одинаковых классических объектов, например, биллиардных шаров, их невозможно перенумеровать, и в любой момент времени различать, который из электронов первый, а который – второй.
В конечном счете, принципиальная неразличимость квантовых микрообъектов связана сотсутствием у них классической траекториидвижения.Чтобы пояснить смысл сказанногорассмотрим в качестве примера процесс рассеяния двух биллиардных шаров (рис.10.1) идвух электронов (рис.10.2) друг на друге.Пусть в системе центра инерции шар 1 рассеивается на угол θ и регистрируется некоторым детектором D. Возможен и другойпроцесс: шар 1 рассеивается на угол π − θ ,при этом в тот же детектор попадает шар 2(см. рис.10.1).
Это разные события. Именно наличие траектории позволяет проследить,хотя бы мысленно, за движением каждого из шаров. Полная вероятность регистрацииобъекта детектором в рассматриваемомслучае, есть просто сумма вероятностейрассеяния на угол θ и на угол π − θ :Pcl = P(θ) + P(π − θ) .(10.1)В квантовом случае каждый из электронов описывается волновым пакетом, делокализованным в некоторой области пространства. При сближении в какой-то момент времени волновые функции обоихэлектронов перекрываются, а, следовательно, утрачивается возможность их идентифицировать. В результате, мы знаем, чтодетектор, расположенный под углом θ коси, вдоль которой движутся электроны,зарегистрировал попадание частицы, нооказывается принципиально невозможноопределить, какой из двух электронов былзарегистрирован.
Оба события, представленные на рис.10.2, эквивалентны друг другу. В квантовой теории вероятность какоголибо события определяется как квадрат модуля амплитуды, а полная амплитуда вероятности регистрации электрона детектором естьF (θ) = f (θ) + f (π − θ) .126127Тогда для вероятности имеем222Pq = f (θ) + f (π − θ) = f (θ) + f (π − θ) + 2 Re f (θ) f * (π − θ) .2(10.2)Даже если P(θ) = f (θ) , классическая (10.1) и квантовомеханическая (10.2) вероятностиотличаются друг от друга. В квантовомеханическом случае возникает интерференцияамплитуд, связанная с неразличимостью двух рассматриваемых событий.
Какое из выражений (10.1) или (10.2) является правильным – вопрос, ответ на который должен датьэксперимент. В настоящее время имеется много свидетельств того (в том числе и данных по рассеянию тождественных частиц), что правильным является выражение (10.2).С математической точки зрения тождественность микрочастиц требует определенных свойств симметрии волновой функции системы частиц относительно перестановки их местами. Пусть, например, имеется система из двух электронов, описываемаяволновой функцией ψ (ξ1 , ξ 2 ) (здесь ξ1 и ξ 2 - совокупности координат первого и второго электрона).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
