Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Са дх (2.5) После интегрирования по частям вариация Я примет впд сь 6Я=бх —./ь — ~ бх [ —, ~ —.) — — [ ог. (2.6) с а дх Так как на концах траектории бх = О, то первый член в правой части этого выражения равен нулю. В промежуточных точках бх может принимать произвольное значение; поэтому экстремальное значенке Я отвечает той траектории, в каждой точке которой Гя. 2.
Кеантеваввеханинееяий ванин движения всегда выполнено равенство (2.7) Это и есть классическое уравнение движения в лагран.кевой форме. В классической механике важен вид интеграла Я = ~ ЬЖ, а не его экстремальное значение Я„„. Это обусловлено тем, что для определения траектории, соответствующей наименьшей величине действия, необходимо знать действие Я для всего семейства близколежащих траекторий. В квантовой механике важны как сам вид интеграла Я, так и его значение в точке экстремума.
Вычислим экстремальное значение Я для нескольких случаев. Задача 2.1. Для свободной частицы лагранжиан Ь = тхе/2. Покажите, что действие, соответствующее классическому движению такой частицы, (2.8) 2 ьь — ва Задача 2.2. Лагранжиан гармонического осциллятора Ь = = (зь/2) (х' — ю'х').
Покажите, что классическое действие Яия = ., (Ха + хь) соз юТ 2хахьв (2.9) где Т = вь — ~,. Задача З.З. Вычислите Я„„для частицы, на которую действует постоянная сила Г, т. е. когда лагранжиан Ь = тх'~2 — Рх. Задача 2.4. В классической механике импульс дв. р= дх Покажите, что в начальной точке траектории импульс равен (2. И) 3 а м е ч а н и е. Для этого надо рассмотреть изменение соотношения (2.6) при варьировании в конечных точках. Задача З.б.
Энергия в классической механике определяется выражением Е =- Ь вЂ” хр. (2.12) в. втваитовомехаиивеская амплитуда вероятности 4т Пока>ките, что в конечной точке траектории энергия равна ( дн ) донн деь (2.13) 3 а м е ч а н и е. Вариация по времени в конечной точке приводит к изменению траектории, так как все траектории должны быть классическими. у к. Квантяовомерсаннчесвсая амнянтауда вет>оявяностн Теперь мы можем сформулировать ьвантовомеханическое правило вычисления амплитуды вероятности.
Для этого необходимо установить, какой вклад вносит каждая траектория в полную амплитуду перехода из точки а в точку Ь. Дело в том, что вклад дают сразу все траектории, а не только та, которая соответствует экстремальному действию. При этом вклады отдельных траекторий равны по величине, но различаются значением фазы; фаза данного вклада будет равна действию Я для этой траектории, выраженному в единицах кванта действия й. Таким образом, подводим итог: вероятность Р (Ь, а) перехода частицы нз точки х„ где она находилась в момент времени 1„ в точку ою соответствующую моменту времени 1„ равна квадрату модуля амплитуды перехода Р (Ь, а) = [ К (Ь, а) [ '. Эта амплитуда представляет собой сумму вкладов ср [х (1)[ от каждой траектории в отдельности, т. е.
К(Ь, а)= ~ вр [х(~)[, (2.14) по всем возможным переходам нв о в в где суммирование выполняется по всем траекториям, соединяющим точки а н Ь. Фаза вклада каждой траектории пропорциональна действию Я: вр [х(в)[ = сопев екав>э~ха>> Действие Я здесь то же самое, что и в случае соответствующей классической системы [см. выра>кение (2 1)). Константу можно выбрать из соображений удобства нормировки величины К; это мы сделаем после того, как более строго (с математической точки зрения) рассмотрим, чтб понимается под суммой по всем траекториям в соотношении (2 14). Гл.
2. Кеаитаволгехаиичеахий еакои движения р 3. льлассгачесгсгбга у(редел Прежде чем перейти к более строгому рассмотренню, сравпнм наше квантовое правяло с классическим. С первого взгляда остается совершенно неясным, какнм образом в классическом приближении наиболее важной окажется всего лн)пь одна траекторня, тогда как нз выражения (2.15) следует, что все траектории Ф и г. 2.0 Классическая траектория л (х = х (()).
Это такая траектория, длн которой интеграл действия 3 принимает минимальное значание. Если зтв траектория изменяется кв величину бх (О (траектория з), то в первом приближении па Ьх интеграл не претерпевает никаких изменений. Зто й апределлет уравнение движения. В квантовой механике амплитуда вероятности перехода из точки а в точку Ь равна сумме амплитуд, аоответотвуюв(их наем возможнмм траекториям. Амплвтудз вероятности для заданной траектории, т. е. е(бга, имеет фазу, пропарциоизльную действию.
Если дейатвие очень велико па арввнеиию а постоянной планка в, та для близлежащих тРаекторий, таких, кзв 3 и 4, оно лишь незначительно отличветен по своей величине, однзно валедетвие малости поатояннай Ь различие в фазах в зтих случаях будет очень большнм. Вклады от таких траекторий взаимно уничтожаютоя. только в непоередственной близости к нлвееичоской траектории х ((), где взрьироввиие трзенторай лишь незначительно изменяет действие е,близлежащие траектории, такио, как ) и З, дают вклвдм е одинаковыми фзззмя, которые вследствие интерференции увиливают друг друга. Вот почему приближение классической физики, т, е,необходиьюеть рзеемотрзния только одной траектории х ((), алрвведливо, когда действие В очень велнно по ервв- пению а иоетоянной И.
вносят в амплитуду одинаковый вклад, хотя н с различными фазами. Однако классическое приближение соответствует случаю, в котором размеры, массы, ннтервалы времени н другие параметры снстемы настолько велики, что действие Я во много раз превосходит постоянную д = 1,05 10 " эре сел. В этом случае фаза ЯИ каждого нарцнального вклада представляет собой чрезвычайно большой угол. Действительная (нли мнимая) часть функция (р равна косинусу (нлн синусу) стого угла н в равной степени может оказаться как положнтельной, так н отрицательной.
Если теперь, как показано на фнг. 2.1, мы сдвинем траекторню на малую величину бх (м лую в смысле классических масштабов), то кзнененне действия Я также будет небольшим в клас- 8. 1Гла«си«е««ил предел сическом смысле, однако отнюдь не малым при сопоставлении с величиной л. Эти небольшие иаменения траектории будут, вообще говоря, приводить к огромным изменениям фазы, так что ее косинус и синус совершают очень быстрые и частые колебания между положительными и отрицательными значениями. Таким образом, если одна траектория дает положительный вклад, то другая, бесконечно близкая к ней (в классическом смысле), дает такой же отрицательный вклад, так что в целом не возникает никакого вклада.
Поэтому данную траекториго можно фактически не учитывать, если соседние с ней имеют различное действие, поскольку их вклады взаимно уничтожаются. Однако у некоторой траектории х, для которой действие экстремально, небольшие изменения бх (во всяком случае, в первом приблия«енгги) не меняют величины 5. Все вклады от траекторий, находящихся в этой области, близки по фазе, которая равна адесь Я„з!Ь, и взаимно не уничтожаются. Следовательно, существенный вклад мы можем получить лишь в окрестности траектории х и в классическом приблиясении должны рассматривать только зту траекторию как единственно важную. Именно так классические аакопы движения получаются нз квантовых законов. Можно здесь же отметить, что траектории, которые не совпадают с х, дают вклад лишь в той области, где действие Я отличается от Я„з на величину порядка Ь.
Классическая траектория в этой небольшой области остается неопределенной, что и ограничивает точность, с которой она выделяется. Рассмотрим теперь зависимость фазы от положения конечной точки (хь, гь). Если мы немного сместим эту точку, то фаза изменится очень сильно, что приведет к быстрым изменениям ядра К (Ь, а). Будем под «гладкой функцией» понимать функцию вида К„«, которая ааметно меняется лишь при значительных изменениях аргумента.
В этом смысле амплитуде К (Ъ, а) весьма далеко до гладкости. Однако приведенные соображения показывают, что в классическом приближении она имеет вид К (Ь, а) = «гладкая функция> еп~ш~««. (2.16) Все эти нестрогие рассуждения допустимы лишь в тех случаях, для которых мы можем ожидать применимости классической физики (Я )> б). Однако на атомном уровне действие Ю может быть сравнимо с величиной й, и тогда в выражении (2.т4) долл«ны учитываться все траектории. В этом случае не существует какой-либо траектории, имеющей преимущественное значение, и, конечно, выражение (2Л6) не обязательно является Гя.
З. Пвантовонвканнавокий закон движения хорошим приближением. Для того чтобы рассматривать подобные случаи, необходимо найти способ вычисления сумм, аналогичных выражению (2Л4). р ве. Сулвлва тво тзьрвлемтвьортвялв Аналогия с интегралом Римана.
Хотя качественно идея суммирования вкладов от всех траекторий вполне ясна, необходимо все же дать математически более строгое определение этой суммы. Множество траекторий содержит бесконечное количество элементов и не ясно, какая мера может быть сопоставлена пространству траекторий. Математическое определение такой меры и является целью этого параграфа.
Как ока кется далее, это определение довольно неудобно для конкретных вычислений. В последующих главах будут описаны другие, более эффективные способы вычислепия суммы по траекториям. Что касается данной главы, то мозг<но надеяться, что математические трудности, или скорее отсутствие изящества в изложении, не отвлекут читателя от физического содержания излагаемых понятий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
