Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Предположим, что атомы рассеивающего вещества обладают аналогичным спиновым свойством, как, например, углерод С". В этом случае эксперимент покажет два явно различных типа рассеяния. Оказывается, что, кроме рассеяния в дискретных направлениях, которое описано выше, имеется и диффузное рассеяние по всем направлениям.
Почему оно возникает? Ключ к пониманию этих двух типов рассеяния мы получим, заметив следующее. Предположим, что спины всех нейтронов, участвующих в эксперименте, до рассеяния направлены вверх. Если анализировать направления спиноз вылетающих нейтронов, то обнаружится, что некоторые будут направлены вверх, а некоторые — вниз; нейтроны, спин которых по-прежнему направлен вверх, рассеиваются только под дискретными углами Брэгга, в то время как нейтроны, спин которых перевернулся, рассеиваются диффузно по всем направлениям.
Если нейтрон изменил направление спина, то закон сохранения углового момента потребует, чтобы ядро, на котором произошло рассеяние, также изменило направление своего спина на обратное. Следовательно, в принципе можно было бы выявить то ядро, на котором рассеялся данный нейтрон.
Мы могли бы для этого запомнить перед экспериментолв спиновое состояние всех рассеивающих ядер в кристалле. Затем после того, как рассеяние произошло, мы могли бы исследовать кристалл вновь и посмотреть, у каких ядер спин переменился на обратный. Если ни у одного ядра в кристалле спин не претерпел такого изменения, то ни у одного нейтрона направление спина также не изменилось,и мы не моявет сказать, на каком ядре в действительности произошло рассеяние нейтрона.
В этом случае альтернативы интерферируют, и в результате мы имеем брэгговский закон рассеяния. Если же при этом обнаружится, что у какого-то ядра направление спина изменилось, то мы знаем, что на этом именно ядре и произошло рассеяние; интерференции альтернатив нет. Движение рассеянного нейтрона описывается сферическими волнами, которые расходятся от рассеивающего ядра, и в описание входят только эти волны. В таком случае вылет нейтрона равновероятен в любом направлении.
Исследовать все атомные ядра в кристалле, чтобы найти одно, у которого изменилось спиновое состояние, — это подобно поис- Э О. Краткий обзор понятий, связанных с вероятностът 3$ кам иголки в стоге сена; но природу не интересуют практические трудности экспериментатора. Существенно то, что в принципе возможно, не возмущая движение рассеянного нейтрона, определить, на каком именно ядре произошло рассеяние. Наличие такой возможности означает, что да>не если мы и не выявляем это ядро, тем не менее имеем дело с несовместимыми (и, следовательно, не интерферирующими) альтернативами.
С другой стороны, возникновение интерференции между альтернативами, если спиновые состояния нейтронов не изменились, означает, что даже в принципе невозможно когда-либо обнаружить, на каком отдельном ядре кристалла произошло рассеяние — невозможно, во всяком случае, без вмешательства в опыт в момент рассеяния или до него. у 4. Братаний обаор понятный, свяванньвос с верояпзностпьто Альтернативы и принцип неопределенности.
В предыдущем изложении мы хотели разъяснить смысл амплитуды вероятности, ее значение в квантовой механике и рассмотреть правила обращения с вероятностями. При этом выяснилось, что существует некоторая величина, нааываемая амплитудой вероятности, сопоставляемая каждому возможному в природе способу осуществления события. Например, электрон, летящий от источника Я в детектор, расположенный в точке л (см.
фиг. 1.1), имеет одну амплитуду вероятности, когда он движется через отверстие 1 экрана В, и другую амплитуду, если он проходит череа отверстие 2. Событию в целом мояено затем сопоставить амплитуду вероятности, получаемую путем сложения амплитуд для каждого альтернативного способа движения. Так, приведенная в равенстве (1.2) полная амплитуда вероятности попадания в точку л есть (1.14) Квадрат модуля полной амплитуды мы интерпретируем как вероятность того, что соответствующее событие проиаойдет. Например, вероятность попадания электрона в детектор ~ срв+ ег2 ~ (1.15) Если мы прерываем развитие процесса еще до его завершения, наблюдая состояние частиц в ходе события, то тем самым изменяем вид выражения для полной амплитуды. Так, если установлено, что система находится в некотором определенном состоянии, то тем самым мы исключаем взамен<ность того, чтобы она оказалась в каном-либо другом состоянии, и при вычислении полной Ге.
1. 0евоевие идеи кеавкеоеой ееекавики вероятности амплитуды, связанные с такими исключенными состояниями, улье нельзя рассматривать в качестве альтернатив. Например, если с помощью какого-нибудь устройства определить, что электрон проходит именно через отверстие 1, то амплитуда его попадания в детектор будет точно равна еэо Совершенно неважно, будем ли мы (в тот момент, когда работает измеряющее устройство) фактически наблгодать и записывать результат наблюдения или же нет. Очевидно, что при желании его можно было бы узнать в любое время.
Уже одного вмешательства измеряющего устройства достаточно, чтобы изменить систему и соответствующую амплитуду полной вероятности. Это последнее обстоятельство и составляет основу принципа неопределенности Гейзенберга, который утверждает, что существует естественный предел точности любого эксперимента и любого усовершенствования измерений.
Структура амплитуды вероятности. Амплитуда вероятности всякого события представляет собой сумму амплитуд различных альтернативных возможностей осуществления этого события. Это поаволяет изучать ее многими различными способами в зависимости от того, на какие классы можно подразделить альтернативы. Наиболее детальная картина получается при условии, что частица при переходе из состояния-А в состояние В за данный промежуток времени совершает вполне определенное движение (т. е. определенным образом иаменяет свои координаты в зависимости от времени), описывая конкретную траекторию в пространстве и времени. С каждым таким возможным движением мы будем связывать одну амплитуду; полная же амплитуда вероятности будет суммой вкладов от всех траекторий.
Эту мысль можно пояснить, продолжив рассмотрение нашего эксперимента с двумя отверстиями. Пусть между источником и отверстием помещена пара дополнительных экранов Р и Е (фиг. 19). В каждом из них проделаем по нескольку отверстий, которые обозначим Р„Рю... и Ем Ею.... Для простоты будем предполагать, что движение электронов происходит в плоскости (х, у). В таком случае имеется несколько альтернативных траекторий, которые может выбрать электрон при своем движении от источника к отверстию в экране В. Он мог бы направиться сначала к отверстию Р„далее к Ез и затем к отверстию 1 или же мог бы, выйдя из источника, пролететь через Р„затем через Е, и, наконец, через отверстие 1 и т. д.
Каждой из этих траекторий соответствует своя собственная амплитуда, и полная амплитуда вероятности будет их суммой. Предположим теперь, что мы увеличиваем число отверстий в экранах Р и Е до тех пор, пока от экранов ничего не останется. 4. Краткий обзор понятий, свяваними с вероятностью 33 Траектория электрона должна определяться в этом случае высотой хо, на которой электрон пересекает несуществующий экран Р, расположенный от источника на расстоянии ро, а также высотой хе и расстоянием ре, как это показано па фиг. 1.10. Каждой 1 Й ы й р г В Ф н г.
1юо Опыт с несколькими отверстиями в вкранах. Когда в вкраяах В и Е, помещеняых между источником на экране А и конечной точкой на вкране С, проделано несколько отверстий, для каждого електрона имеется несколько альтернативных траекторий. Каждой иа этих траенторий соответствует своя амплитуда вероятности. Чтобы определить результат кавого-либо вксперимента, в нагаром открыты все отверстия, необходимо просуммировать все вти амплитуды по одной для каждой возможной траектории.
паре значений хр и хе здесь соответствует своя амплитуда. Принцип суперпоэиции по-прежнему остается в силе, и мы должны взять сумму (теперь уже интеграл) этих амплитуд по всем возможным значениям хв и хе. Ф н г. 1.10. Число отверстий стремится к бесконечности. В экранах, распело>ценных на расстояниях ур и в от экрана А, проделывается все болыпее и большее число отверстий. В нонце концов экраны полностью заполняются отвеРстиями,н волучается непрерывная область точек вверх н вниз от центров енранов, в ноторых алектрон может пересекать линию экрана.
В атом случае сумма альтернатйв превращается в двойной интеграл по непрерывныи параметрам хр и х, — аль- тернативным высотам, на которых алектрон пересекает екраны. Следующий шаг, очевидно, состоит в размещении между источником и отверстиями все большего и большего числа экранов, причем каждый иэ них должен сплошь покрываться отвер- Гл. 1. Оеновние идеи квантовой механики стиями. Продолжая этот процесс, мы будем все более уточнять траекторию электрона, пока, наконец, не придем к вполне разумному выводу, что траектория является просто определенной функцией высоты от расстояния, т.
е. х = х (у). При этом мы должны применять принцип суперпозиции до тех пор, пока не получим интеграл от амплитуды по всем траекториям. Теперь можно дать значительно более точное описание двингения. Мы можем не только представить себе определенную траекторию х = х (у) в пространстве, но и точно указать леоменлг времени, в который проходится каждая пространственная точка. Следовательно, траектория (в нашем двумерном случае) будет задана, если известны две функции: х (8) и у (г). Таким образом, мы приходим к представлению об амплитуде, соответствующей определенной траектории х (1), у (1). Полная амплитуда вероятности попадания в конечную точку представляет собой сумму или интеграл от этой амплитуды по всем возможным траекториям. Задаче более точного математического определения такого понятия суммы или интеграла по всем траекториям будет посвящена гл.
2. Там же мы получим выражепие амплитуды вероятности для любой заданной траектории. После того как это выражение найдено, законы нерелятивистской квантОвой механики оказываются полностью установленными и останется лишь продемонстрировать их применение в ряде интересных специальных случаев.
у д. Над чем егг1е следуегп подумапгь Мы увидим, что в квантовой механике амплитуды гр являются решениями строго детерминистского уравнения, уравнения П1редингера в том смысле, что если амплитуда гр известна в момент времени в =- О, то мы будем знать ее и во все последующие моменты времени. Истолкование же ~ гр ~ ' как вероятности собыолгя— индетерминистское. Оно означает, что нельзя точно предсказать результат эксперимента. Весьма примечательно, что такое истолкование пе приводит к каким-либо внутренним противоречиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
