Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Гл. 2. Кеантовомеханичееккй закан движения Тогда действие, соответствующее произвольной траектории между точками а и Ь, может быть записано как Я[Ь, а)=Я[Ь, с)+Я[с, а). (2.28) Это следует из определения действия как интеграла по времени от функции Лагранжа Ь, а также из того, что ю не зависит от производных более высокого порядка, чем скорость.
(В противном случае нам пришлось бы в точке с определять значения ч)и г. 2.5. Вычисление суммы но траекториям. Один из способов, которым может быть вычислена сумма по веем траекториям,занлючается в суммировании но всем траекториям, проходящим черев точну х в момент времени (,и в последующем суммировании по точкам х . Для каждой траектории, выходящей иа точки аз точку Ь через е, амплитуда вероятности равна нропаведению двух сомножителей; 1) амплитуды перехода ив точки а в точку е и 2) амплитуды перехода из точки с в точку ь. следовательно, зто справедливо также и для суммы по всем траекториям, проходящим через точку е: йолная амплитуда перехода нз точки а в точку Ь через е ранна К (Ь, о) К (е, а).
Позтому полную амплитуду перехода из точки а в точку Ь, т. е. еоотношейне (2.3(), мы получим путем суммирова- ния по всем альтернативам (по всем аначениям х ). скорости и, возможно, производных более высокого порядка.) Используя равенство (2.25), которым определяется ядро, можно записать й (Ь, а) = ~ ехр ( — ' Я [Ь, с) + — (8 [с, а) ) Мх (е). (2.29) Точка с разделяет любую траекторию на два участка. Как показано на фиг.
2.5, концами первого будут х, и х, = х (у,), а концами второго — х, и хь. Можно проинтегрировать по всем о1 в с. Псслсдосалсслъиыв события траекториям между точками а и с, а потом по всем траекториям между точками е и Ь и, наконец, результат проинтегрировать по всем возможным значениям х,. При выполнении первого интегрирования Я [Ь, е) является постоянной. Поэтому результат можно записать в виде К (Ь, а) = ~ ~ еи/ьФР '1К (е, а) Ях (с) дх,. (2.30) хс с Выполнив интегрирование по всем траекториям от с до Ь, а затем по всем возмоявным значениям х„ получим окончательно К(Ь, а) = — ~ К(Ь, с) К(с, а) Нх,. (2.31) хс Быть может, рассуждения будут более понятыми, если исходить из выражения (2.22).
Выделим один из дискретных моментов времени ~ю Пусть с, = 4 и х, = хю Сначала интегрируем по всем х;, для которых 1( Ь. Это приведет к появлению под знаком интеграла множителя К (с, а). Далее интегрируем по всем х;, для которых с ) Ь; так получается мнояситель К (Ь, е). После этого остается проинтегрировать по х„и результат запишется в виде (2.31). Окончательный итог можно кратко сформулировать следующим образом. Любая из возможных траекторий между точками а и Ь однозначно определяется выбором точки х„которая отвечает моменту времени 1,. В случае частицы, движущейся из точки а в точку Ь, ядро можно вычислить, руководствуясь такими правилами: 1) ядро, соответствующее переходу из точки а в точку Ь, равняется сумме амплитуд перехода частицы из точки а в точку е и далее в точку Ь по всем возможным значениям величины х,; 2) амплитуда перехода из точки а в точку с и далее в точку Ь равна произведению ядер, соответствующих переходам из точки а в точку е и из точки с в точку Ь.
Таким образом, имеет место правило: амплитуды последовательных во времени событий перемножаютея. Обобщение правила на случай нескольких событий. Существует много приложений этого важного правила; некоторые из них будут изложены в последующих главах. Здесь же мы покажем, как оно применяется для того, чтобы получить выражение (2.22) другим способом. Каждую траекторию можно делить на части двумя моментами времени: ~, и ~в. Тогда ядро, соответствующее частице, движу- Га. 2. Кеантовомеханииеокий. кокон движения 52 щейся из точки а в точку Ь, можно записать в виде К (Ь, а) =. ~ ~ К (Ь, с) К (с, Н) К (е(, а) 11хе е(хе. (2.32) Это означает, что частица, которая движется из точки а в точку Ь, рассматривается так, как если бы она двигалась сначала из точки а в точку Ы, потом из точки а в точку с и, наконец, из точки с в точку Ь. Амплитуда, соответствующая такой траектории, есть произведение ядер, отвечающих каждой части траектории.
Ядро, взятое по всем таким траекториям, проходящим из точки а в точку Ь, получается интегрированием этого произведения по всем возможным значениям переменных х, и хй. Мы можем продолжать этот процесс до тех пор, пока весь интервал времени не разделится на ав' участков. В результате получим К(Ь, а) = ~ ~ ... ~ К(Ь, 11' — 1)К(1ве — 1, Л вЂ” 2) х1 ха Н 1 (2.33) К (1+ 1, 1)...
К (1, а) еех1 Нхе... Нхн-1. Это означает что мы можем определить ядро способом, отличным от приведенного в соотношении (2.22), В атом новом определении ядро, соответствующее переходу частицы между двумя точками, разделенными бесконечно малым интервалом времени е, имеет вид К(1+1, Е)= — ехр( — Х,( '+' *' "'+ ' 1+'+ * )1.
(2.34) е Последнее выражение является точным в первом приближении по е. Тогда в соответствии с правилами перемножения амплитуд для событий, которые происходят последовательно во времени, мы получим выражение амплитуды, отвечающей всей траектории". и-1 ер(х(е)) =11ш Ц К(1+1, 1). (2.35) Е 1-Е Используя затем правило сложения амплитуд, соответствующих альтернативным траекториям, приходим к определению ядра К (Ь, а). Окончательное выражение, как можно видеть, совпадает с формулой (2.22). у 6. Ненотпорые аамемання В релятивистской теории электрона мы не сможем выразить амплитуду вероятности, соответствующую некоторой траектории, в виде еввж или каким-либо другим простым способом. Тем не Э 6.
Некоторые вавеечаниа менее правила сложения амплитуд останутся справедливыми (с некоторыми иебольшими иэмепеяиями). Как и ранее, для каждой траектории существует амплитуда вероятности, которая по-прежпему задается выражением (2.35). Идипствепиое различие состоит в том, что в релятивистской теории ядро К (е + 1, е) выражается уже пе так просто, как это имеет место в соотношении (2е54). Трудности возникают в связи с необходимостью учитывать еще свин и возможиость рождения электронно-позитронпых пар. В перелятивистских системах с болыпим числом переменных и даже в квантовой теории электромагнитного поля остаются справедливыми пе только установленные выше принципы сложениа амплитуд, по и сама амплитуда вероятности подчиняется правилам, изложенным в этой главе.
Именно движению, связанному с каждой переменной, отвечает амплитуда вероятности, фаза которой равиа соответствующему действию, деленному па й. Эти более сложные случаи мы рассмотрим в последующих главах. Глава З ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ИДЕИ НА КОНКРЕТНЫХ НРИМЕРАХ В этой главе мы получим выражения для ядер, соответствующих некоторым определеппым видам движения. Чтобы развить физическую интуицию в отпошепии движения, подчиняющегося закалам квантовой мехапики, мы будем всегда выявлять физический смысл получаемых математических выражений; здесь же введем волновую функцию и выясним ее связь с ядром.
Это явится первым шагом в установлении связи нашего подхода к квантовой механике с ее более традиционными формулировками. Рассмотрим также некоторые специальные математические методы вычисления суммы по траекториям. Понятие суммы по всем траекториям было введено в гл.
2 с помощью некоторого специального указания о том, как именно надо проводить вычисление. Хотя это указание, воаможио, и разъясняет суть дела, тем ие менее оно неудобно для практического пользовапия. В этой главе изложены более простые методы, которые будут широко применяться в дальиешпем. Таким образом, настоящая глава преследует три цели: углубить наше понимание кваитовомехаиических принципов, уста- повить связь между нашим и другими подходами к квантовой механике и, наконец, ввести некоторые полезные математические методы. 2 (ЗЛ) поэтому, учитывая выражения (2.21) — (2.23), мы можем записать ядро в виде К (Ь, а) = Пш ~ ~ ... ~ ехр ~ — 2а ~ (х; — х1,) ) х 1=! ( 2абае~ -кж (3.2) у 1.
Свободная чистянтза Иитеграл по траекториям. Для вычисления ядра, соответствующего движению свободной частицы, мы применим здесь метод, использоваяпый в гл. 2 при определении суммы по всем траекториям. Для свободной частицы лаграпжиаи равен в 1. Свабаднал частица Выражение в правой части представляет собой цепочку гауссовых интегралов, т. е. интегралов вида ~ [ехр( — ах')) с(х или ~ (ехр( — ахв+Ьх)) с(х.
Поскольку интеграл от функции Гаусса снова является такой же функцией, мы можем проинтегрировать по каждой из переменных и затем перейти к пределу. В результате получим Г2пва(!ь — в ) 1-па Г зи(вь — аа) 1 (3 3) т 1. 2а(сь — ва) 1 Вычисления здесь выполнялись следующим обрааом. Прежде всего следует заметить, что ~ 2псае )-Пв~, ~ т ( )а+( )а ~) = С т ) елр Ьвй 2е(хз — ха) 1 ° (3.4) Умножим это выражение на функцию ( ) етр( 2.а (хв — та) ~ (3.5) и снова проинтегрируем, н» этот раэ по переменной хз; получим результат, совпадающий с правой частью равенства (3.4), если не считать того, что бином (хз — хс) заменяется на (х,— хв)а, а величина 2е в двух местах заменяется на Зз: ( ) етр ( 2ва.з (хв — ха) ( Таким образом мы можем построить рекуррентный процесс, который после (и — 1)-го шага дает функцию ( ) ехр( 2,а (ха — ха)з ) .
Поскольку пе =- в„— 2„то легко видеть, что результат (Л' — 1)-го шага совпадает с выражением (З.З). Существует и другой метод вычисления. Можно воспользоваться соотношением (3.4), чтобы выполнить интегрирование по всем переменным х, с нечетным аначением в (в предположении, что вв' четное). Получим выражение, формально совпадающее с формулой (3.2), но содержащее вдвое меньше переменных интегрирования. Оставшиеся переменные определены в моменты времени, отделенные друг от друга интервалом 2з. Следовательно, по крайней мере в случае, когда Л можно представить как 2а, выражение (3.3) получается после вс таких шагов. 56 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
