Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Совершенно независимо от каких-либо квантовомеханических соображений существует классическая неопределенность ско- ') Си. таблицы ивтвгралов в приложении к этой книге в в (2). х" 3. дифрахэия при прохождении нерее щель 67 рости порядка Ь(Т. При любой заданной ширине щели, выбирая время Т очень большим, можно сделать эту неопределенность пренебрежимо малой. Координату хо можно также взять настолько большой, чтобы при этом средняя скорость ха(Т =- оо не обращалась в нуль.
Считая ио н интервал времени т постоянными, в пределе при Т -ь. оо получаем следующее выражение для амплитуды: сонат атха, та (х — аоо)а р'1+хВ(2тда ~ 2Ва ' 4Ваха (ат(2Ва — 1(2зе) 1 Далее мы должны сделать так, чтобы квантовомеханическая неопределенность импульса В(Ь стала очень малой. Выберем для этого ширину щели настолько большой, чтобы величиной 1(Ьа можно было пренебречь. Тогда амплитуда может быть записана в виде е 'тоа ""оо ар(х) =сопзФ.ехр ~ — х — — т) 1В гВ (3.38) Это весьма важный результат: если мы создали условия, при которых известно, что импульс частицы равен р, то амплитуда вероятности достижения ею точки х в момент времени е г .оа ар(х) = сопз1 ехр ~ — рх — — — () 'аВ В 2т (3.39) Мы видим, что это волна с определенным волновым числом (е = = р(В. Кроме того, она имеет определенную частоту со = ра(2лай.
Следовательно, можно утверждать, что в квантовой механике свободная частица с импульсом р обладает энергией, определяемой как проиаведение частоты па постоянную В, которая, так же как и в классической механике, равна ра(2ла. Вероятность попадания в какую-либо точку х, пропорциональная квадрату модуля соответствующей амплитуды, в атом случае оказывается не зависящей от х. Следовательно, точное знание скорости частицы означает, что о ее положении ничего не известно. При выполнении эксперимента, который дает нам точное аначение скорости частицы, утрачивается возможность точного определения ее положения.
Мы уже видели, что справедливо и обратное утверждение. Существование квантовомеханического уширения, обратно пропорционального ширине щели 2Ь, означает, что точное знание положения частицы исключает всякие сведения о ее скорости. Таким образом, если вы знаете, где частица находится, то не можете сказать, как быстро она движется; если же вам известно, как быстро она движется, то нельзя сказать, где она. Это еще одна иллюстрация принципа неопределенности. 68 Гл.
8. Дальнейшее раввитив идей на конкретных примерах В 3. Ревультпатпь( е случае щели е ревусилби тараями От предельного случая вернемся теперь к случаю, когда ширина щели и квантовомеханическое уширение сравнимы по их величине, а времена и расстояния не слишком велики. Мы уже Р(к(0 4 2 Р(х) о О 1 2 д 0 вг 0,045 ((04 Э РЫ 0,041 аоао ((042 о 0 (Р и г. 3.6. Распределение электронов после прохождения щелей с резкими краями и различной шириной.
В каждом случае вертикальной пунктирной линией помазана предснааываемая классической теорией ширина раснределеннл ь, = ь (1 + т/тх для отношения классической ширины распределения к вантовсмеханическому уширению Ьх, выбраны три различных значения: Ь,/ Ьх, = 15 — кривая а; Ь,! Ьх, = 1 — нривая б; Ь,/Ьх, = = ь/гь — кривая в. в каждом случае распределение простирается еа границы классической ширины.
Среднеквадратичная ширина распределения прнблнаительно пропорциональна величине Ьх = ((Ьхе' + (50'(г(ю видели, что гауссова щель приводит к гауссову распределению. Если использовать более реальную щель с резкими краями и вычислить возникающие интегралы Френеля, то распределение вероятности спустя время т после прохождения щели подобно кривым, изображенным на фиг. 3.6. 69 » 8. Ревулвтаты в слуиае и«ели с ревкиии кралми Это распределение выражается формулой Р (х) с[х =-, [ — [С (и,) — С (вз))'+ + — [8 (и,) — Я (вз)]~)~- с[х, (3.40) где а — «со — Ь(1+«(Т) а — тсо+Ъ(1+ т(Т) (3 4() (ив«от)(1+т)т) ' з (ивт)т) П+т(т) а С (и) и Я (и) — действительная и минимая части интегралов Френеля.
Первый множитель в этом распределении в точности совпадает с распределением вероятности для свободной частицы, задаваемым выражением (2.6). Остальная часть содержит неко= торую комбинаци«о действительной и мнимой частей интегралов Френеля '). Именно эта часть ответственна за многообразие кривых, изображенных на фиг. 3.6. Таким образом, результаты для обеих щелей в общих чертах одинаковы. С наибольшей вероятностью частица находится внутри классической проекции щели. Все, что вне ее — результат квантовомеханического уширения.
Движение частицы сквозь щель рассматривалось нами так, как если бы оно состояло из двух отдельных движений: сначала частица движется к щели, а затем от щели до точки наблюдения. В области щели движение как бы расчленяется. Может возникнуть вопрос, как при таком «разделяющемся на части» движении частица «помнит» свою скорость и в основном сохраняет направление движения, предписываемое классической физикойс Или, другими словами, каким образом уменьшение ширины щели вызывает «потерю памяти», до тех пор пока в пределе все скорости частицы не станут равновероятными? Чтобы понять это, исследуем амплитуду, описывающую движение к щели.
Она в точности равна амплитуде вероятности для свободной частицы, определяемой выраясением (3.3), где ха = га = 0 хь = хо + у и Ъь = Т. При смещении поперек щели (меняется у) обе части амплитуды, действительная н мнимая, изменяются синусоидально. Как мы уже видели, длина волны этих синусоидальных колебаний тесно связана с импульсом [см. формулу (3.10)). Последующее движение частицы является, как и в оптике, результатом интерференции этих волн. Эта интерференция конструктивна (т. е. усиливает волны) в основном направлении, предписываемом классической механикой, и, вообще говоря, деструктивна (т. е.
гасит их) в других направлениях. Если на ширине щели укладывается большое число волн, т. е. щель очень широкая, то в результате интерференции возникает ') См. [3[, стр. 125.— Прим. ред. 70 Гл. 8. Дааьнейтее разеитие идей на конкретных нрииерах довольно острый пик и двизкение становится почти классическим. Предположим, однако, что щель сделана чрезвычайно узкой и на ее ширине не укладывается даже одна волна. Тогда не будет никаких осцилляций, которые приводили бы к интерференции, и информация о скорости частицы теряется. Поэтому в пределе, когда ширина щели стремится к нулю, все скорости частицы становятся равновероятными.
у 4. Волновая 4Мззязееия Мы уже построили амплитуду вероятности того, что частица достигпет некоторой определенной точки пространства и времени, тщательно прослеживая ее движение, в результате которого она попадает в эту точку. Однако часто бывает полезно рассматривать амплитуду перехода в точку пространства без всякого обсуждения предшествующего движения. Поэтому будем обозначать через з)з (х, $) полную амплитуду вероятности перехода в точку (х, Г) иэ некоторого (возможно, неопределенного) прошлого. Такая амплитуда обладает теми же самыми вероятностными свойствами, что и изученные уже нами амплитуды, т.
е. вероятность найти частицу в точке х в момент времени з равна (ф (х, е) )з. Эту разновидность амплитуды будем называть волновой функцией. Различие между этой амплитудой и изученными ранее заключается лишь з способе обозначения. Каждому часто прихоздится слышать: система находится в «состоянии» з)з. Это лишь выражение другими словами того, что система описывается волновой функцией Таким образом, ядро К (хз, гз; хм 8з) = ф (хаааа) фактически представляет собой волновую функцию. Это ядро есть амплитуда вероятности попасть в точку (хе ~э). Запись К (хз, 7з; хм 8е) содержит больше информации, в частности, указывает, что эта амплитуда соответствует конкретному случаю, когда частица приходит из точки (хм ~е). Возможно, для некоторых задач такая информация не представляет интереса, так что сохранять ее нет смысла.
Тогда мы будем применять для волновой функции обозначение ф (хз, ~з). Так как волновая функция является амплитудой, она удовлетворяет правилам, по которым складываются амплитуды последовательных во времени событий. Так, поскольку соотношение (2.31) справедливо для любых точек (йм 7е), волновая функция удовлетворяет интегральному уравнению Ф(хм Гз)= ~ К(хз 7з', хз 7з)зР(хз ~з)~~хе- (З42) д.
Волновая функция 7< Этот результат можно сформулировать на физическом языке. Полная амплитуда перехода в точку (хг, гг) [т. е. вр (хг, гг)1 представляет собой сумму, или интеграл, по всем возмолгным значениям хг от произведения полной амплитуды перехода в точку (хг, да) [т. е. ф (ха, гх)1 на амплитУДУ пеРехоДа из точки 3 в точку 2 [т. е. К (х„дг; х„~о)1, Это означает, что влияние всей предыдущей истории частицы моя<ет быть выражено всего лишь через одну функцию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
