Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Единственное ограничение состоит в том, что величина Е является функцией второго порядка от переменных х, у и т. д. Остающийся сомножитель представляет собой функцию времени в конечных точках траекторий. Для большинства интегралов, которые мы будем изучать, наиболее существенная информация содерсссится в основном в экспоненцйальном члене, а не в атом сомножителе, который в большинстве практических случаев нам даже не потребуется вычислять. Такой метод вычисления интегралов по траекториям будет часто использоваться в последующих главах.
76 Гл. 8, Дальнейшее рааеитие идей на конкретных примерах у 6. Двгсзгвеиие в потенггиальиом иоле Простое применение наш метод находит в классическом пределе, когда действие Я очень велико по сравнению с постоянной Планка й. Как мы уже подчеркивали, ядро К в атом случае приблизительно пропорционально зкспоненте ехр ( — гЯ„ /й). Мы можем теперь математически более строго рассмотреть обоснования такого приближения. Поскольку существенными являются лишь траектории, которые очень близки к классической траектории х, сделаем подстановку х=й + у. Тогда, если частица движется в потенциальном поле у (х), мы можем записать У(х)=У(х+у)=У(х)+ур'(х)+ 2 У" (х)+ — У (х)+..., (3.57) где штрих обозначает дифференцирование по х и все производные вычисляютоя в точках классической траектории х.
Так как важны лишь малые значения у, будем предполагать, что ее — достаточно гладкая функция, так что можно пренебречь членами порядка уз и выше. Это означает, что член уз'ь™ и все члены более высокого порядка пренебрежимо малы по сравнению с удержанными членами. В атом предположении подынтегральное выражение можно представить в виде квадратичной формы от у. Действительно, так как вдоль траектории х действие Я экстремально, то ,о'=Яка+члены второго порядка по у.
Главный член в окончательном результате равен ехр (ь3вл/я), где Лап теперь, очевидно, содержит потенциал е' (х) в точках классической траектории. Остающийся интеграл по у берется от точки 0 до точки 0 и имеет тот же вид, что и последний множитель в выражении (3.50). Этот множитель является гладкой функцией, стоящей перед зкспонентой ехр (Ю„ !Л). Полученный результат справедлив не только в классическом пределе, ио и в других случаях. Предположим, например, что потенциал е' — квадратичная функция х.
Тогда решение является точным, поскольку разложение потенциала $' в ряд (3.57) не содержит степеней вьппе второй. Некоторые примеры такого типа даны в задачах. В качестве другого примера предположим, что потенциал У вЂ” медленно меняющаяся функция. В частности, если третья и более высокие производные крайне малы, то приведенный выше результат является очень хорошим приближением. Этот частный случай в квантовой механике называется ВКБ-приблинсением '). ') По аманам физиков Вентцеля, Крамерса н Брнллюзна, наследовавших зто нрнблншонне.— Прим, ред.
З. движение е нотензиалоном ноле 77 Существуют и другие случаи, когда рассматриваемое приблих<ение оказывается хорошим. Предположим, что полное время движения очень мало. Если частица движется по траектории, сильно отличающейся от классической, то она должна иметь очень большую дополнительную скорость (чтобы за указанный интервал времени пройти расстояние от начальной до конечной точки). Добавочная кинетическая энергия пропорциональна квадрату этой большой скорости, а действие содержит член, грубо говоря, пропорциональный произведению кинетической энергии и интервала времени (т.
е.пропорциональный квадрату скорости, умноженному на интервал времени). Действие вдоль таких траекторий будет очень большим, и фазы амплитуд вероятности для близлежащих траекторий будут сильно различаться. В этом случае в разложении потенциала $' снова целесообразно отбросить члены более высокого порядка. Задача 8.8. Лагранжиан гармонического осциллятора оо 'о аоооо Е== — х — — х. 2 2 (3.58) Покалечите, что соответствугощее ядро равно К.—.У(Т)ехр ( „,, „,, ((ха,+хо)созеоТ вЂ” 2х.хь)), (3.59) где Т = ос — оо (см.
задачу 2.2). Отметим, что вид функции Р(Т) полностью не определяется. Его можно найти, исходя из других соображений; в случае гармонического осциллятора он равен ( 2пгв зш ооТ ) (3.60) Е = — хоФЕ 2 результат имеет вид ~=Ь"™вг) "рЖГ~~*'2 т~'-(-2ЕТ(х т- ) г4И (3.62) гДе Т=то — 7,. Задача З.ЕО, Лагранжиан для частицы с зарядом е и массой т в постоянном внешнем магнитном поле В, направленном по оси з, Х, = — (хо+ уо -(- зо) -~- . —(ху — ух). (3.63) Задача 3.0. Найдите ядро для частицы во внешнем постоянном поле 7, где ее лагранжиан равен 78 Гл.
д. Дальнейшее раввитие идей на нениретных нрилвераи Покажите, что соответствующее ядро имеет вид + — сто — [(Хь Ха) + (УЬ Уа) )+Ьь (ХаУЬ ХЬУв) ~ ) в (3 64) где Т=гь — в, и ов=еЗ(тс. Задача 3.11. Предположим, что гармонический осциллятор в задаче 3.8 возмущается внешней силой 1(г). Его лагранжиан 2 2 +в() (3.65) Покажите, что ядро определяется выражением л = вув 2н,аз..вь.У ехр ( Ь Зил) где Зал= 2 .
~(созвоТ) (хи+ха) — 2хьха+ 'ь 'ь + — "„' ~ 1(г) з(п вь (г — 1.) в(г+ ".~ 1(г) ~~~ (гь ва ва 'ь в — а, ~ ~ 1(г)У(г)гщю(гь — г)звпво(г — га)е(гсвг) (3.66) ва ва и Т=ге — га. Последний результат имеет большое значение для многих прикладных задач. В частности, он находит свое применение в квантовой злектродинамике, так как злектромагнитное поле может быть представлено в виде набора возмущаемых гармонических осцилляторов. Задача 3.12. Если волновая функция гармонического осциллятора при г = 0 в(в(х, 0) =-ехр ( — 2Ь (х — о)ь ( (3.67) то, используя соотношение (3.42) и результаты задачи 3.8, покажите, что ВУ(Х, в) = ЕХр .~ — — ™а ( Х вЂ” 2аХЕ-Еив + 2 а (1+ Е Мит) ) ) (3.68) и найдите распределение вероятности ~ар ~в. З 7.
Системьь с многими аеременними у е. ьгмстеьемье с эеноеи.изе пеуемемнымм') Предположим, что система имеет несколько степеней свободы. Ядро, соответствующее такой системе, можно представить в виде (2.25), где символ х (з) обозначает сейчас не одну, а сразу несколько координат. В качестве первого примера мы рассмотрим трехмерное движение частицы, когда траектория определяется тремя функциями х (г), у (з) и з (~).
В частности, для свободной частицы действие равно Са Ядро, описывающее переход из некоторой начальной точки (х„у„з,) в момент времени е, в конечную точку (хь, уь гь) и момент времени гь, ~(хь1 уь| зь ~Ь[ Ха уаг Заг За)— ь 'ь = ~ ехр ( ( — „~ ~~ (хе+уз+э') Ж ) ) Юх(й) лгу(з) уз (й).
(3.69) га Дифференциал здесь записан в виде Ях (г) лгу (~)Уз (~). Если время разделено на промежутки з, то положение частицы в момент времени сг задается тремя переменными х;, у;, зе и интеграл по переменным егхе, с[у;, с[з; для каждого значения ь имеет вид, аналогичный выражению (2.22). (Если представлять положение частицы вектором г в некотором е-мерном пространстве, то дифференциал в каждой точке равен элементу объема его; или ее'гг и произведение дифференциалов для каждого г иы можем записать в более общем виде й'г;.) Если используется определение (2.22), то в каждом временном интервале для каждой из переменных должен быть введен нормировочный множитель А [см.
формулу (2.21)[. Поэтому если весь интервал времени разделен на Л' промежутков длительностью з, то в интеграл должен быть включен множитель А — з-". Еще один пример ситуации с несколькими переменными дают две взаимодействующие системы. Предположим, что одна система представляет собой частицу массой т, координата которой х, а другая система — частицу массой М и с координатой Х. Допустим, что эти две системы взаимодействуют посредством потен- 1) См. работу [4). ВО Гл. 8. дальнейшее раэеитие идей на ке>скретних ири.иерак циала эе (л, Х). Действие в этом случае равно |Ь с'(к(г), Х(г)! = ~ ~ 2 х'+ ~ Хз — У(х, Х)1 Ю, (3.70) так что ядро имеет вид К (ль~ Хье эь ха Ха~ ~а) = = ~ ~ (ехр ~ — „Я(х(е), Х(е)])~.) Ух(г)гсХ(г).
(3.71) а а Это обобщение соотношения (2.25) можно истолковать математически как движение точки в некотором абстрактном двумерном пространстве л, Х. Однако значительно легче представлять это движение физически, рассматривая его как движение двух отдельных частиц, координаты которых соответственно л и Х. Тогда К является ядром для перехода частицы массы т ИЗ ПРОСтРаНСтВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ТОЧКИ(ва, 1э) В ТОЧКУ (ХЬ, ЕЬ) И ЧаС- тицы массы М из точки (Х„~„) в точку (Хь, ~ь). Ядро К равно в этом случае сумме амплитуд вероятности, взятой по всем возможныи траекториям обеих частиц между соответствующими конечными точками.
Амплитуда вероятности, отвечающая какой- либо частной комбинации траекторий (т. е. определенным х и Х), равна экспоненте еез~ь, где Я вЂ” действие, определяемое выражением (3.70). С математической точки зрения амплитуда вероятности представляет собой функционал от двух независимых переменных х и Х, и интеграл берется но обеим этим функциям. у 8. Систпемьь с рэьздсеьлтсэИимисэь персменнььми Допустим, что у нас имеются две частицы, которые двиэкутся в одном или, быть может, нескольких измерениях. Пусть вектор х — совокупность координат одной частицы, а вектор Х— совокупность координат другой (все, как и в предыдущем параграфе, с той лишь разницей, что описание переносится теперь на трехмерное пространство). Моясет оказаться, что полное действие разбивается на две части: 3 (х, Х) =К„(х)+Кх(Х), (3.72) где в К„входят только траектории х (ь), а в 8х — только траектории Х (э).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
