Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Это обеспечивает сохранение членов второго порядка по т]. Величину еУ [(х + + т]12), 8] мовкно заменить на зУ (х, 8), поскольку возникающие при этом ошибки более высокого порядка малости, чем е. Ограничиваясь в левой части соотношения (4.5) первым порядком по з, а в правой — первым порядком по з н вторым по ц, полу- чаем (4.61 ввозе/заев[а] ~ (2н' е) 'е. (4.7) в левой же части мы имеем только вР (х, 1). Для того чтобы обе части равенства (4.6) совпадали в пределе при з, стремящемся к нулю, необходимо выбрать А таким образом, чтобы выраже- ние (4.7) равнялось единице. Отсюда следует (4.8) Если в правой части удержать лишь основной член, то получим произведение функции вр (х, 1) на интеграл Гл.
а. й1рединверовское олисание квантовой лвекаввики что мы видели и ранее [см. формулу (2.21)). Таким способом величину А можно определять и в более сложных задачах. Эначение А должно выбираться так, чтобы равенство (4.6) выполнялось с точностью до членов нулевого порядка по е.
В противном случае при е -+- О предел исходного интеграла по траекториям не будет существовать; Для вычисления правой части равенства (4.6) мы должны использовать два интеграла: 1— е — е1тче1хавв) в)в) = О Л (4ЛО) евтие1зьев)е с(в) А т Подставив в формулу (4.6) значения, этих интегралов, получим ф+ е — =- ф — — йф — —. дв(в 1е Ье двф дС а 21т дкв ' (4.11) Последнее равенство будет выполняться с точностью до з, если функция ф удовлетворяет уравнению — —.
— = — — — + й (х, 1) вр. а дв) Ьа двв) в дв 2т дав (4.12) Это и есть уравнение Шредингера для нашей задачи о движении частицы в одном измерении. Соответствующие уравнения для более сложных случаев можно составлять так же, как зто сделано в рассмотренных ниже задачах. Задача 4.1, Покажите, что для трехмерного движения частицы во внешнем поле с потенциалом Р уравнение Шредингера имеет вид ргф ( )сф а дФ Ье 2 1 дС 2пв (4.13) Это уравнение, впервые записанное П!редингером в 1925 г., определило центральное направление всего последующего развития квантовой механики.
Операторная форма уравнения Шредингера. Все уравнения, получаемые (соответственно различным видам лагранжиана) при решении разных задач, можно для удобства записать в виде — — — =~И. а дт в д1 (4Л4) 1. Уравнение П3редингера 93 Символ Н здесь не является числом, а указывает на операцию, которую цеобходимо совершить над функцией вр. Этот символ называется оператором Гамильтона. Например, для уравнения (4.12) (4А5) Такое операторное соотношение означает, что если под каждый оператор в обеих частях равенства подставить одну и ту же (любую) функцию ~, то образуется полное уравнение для этой функции.
Таким образом, соотношение (4.15) символически утверждает, что уравнение Ье де( Н1= — — — +П 2тг даг (4.16) справедливо для любой функции г". Задача 4.2. Лагранжиан заряженной частицы в магнитном поле равен тег е' Ь= — + — г А — ер, 2 (4.17) где г — вектор скорости, е — заряд, с — скорость света, А и вр— векторный и скалярный потенциалы. Покажите, что соответствую- щее уравнение Шредингера имеет вид — — — — — Ч вЂ” — А) ~ —.'%' — — А) вр+ евра (4.18) й дф Г /Ь е т /в е г д~ 2гн~г е е Следовательно, в этом случае гамильтониан равен Н = — ( — вг — — А) . ~ —. и — — А) + евр.
(4.19) Задана 4.8. Покажите, что комплексно-сопряженная функция вра (которая получается, если в функции вр изменить знак всех г) удовлетворяет уравнению (4.20) Смысл понятия «оператор» станет яснее из следующих примеров. Например, оператор х означает умножение на х, оператор х' — умножение на х', оператор )г (х) (некоторая функция от х) — умножение на гг (х), оператор д!дх — частное дифференцирование по х и т.
д. Если А н В являются операторами, то оператор АВ означает, что мы должны сначала применить оператор В и затем уже оператор А, т. е. АВф = — А (Вф). Поэтому, например, оператор 94 Гк. 4. йгредингероеское оаисание кеанкгоеой механики х (д/дх) означает умножение х на дф/дх. С другой стороны, (д/дх) х означае1 частную производную по х от функции хф, или (д/дх) (хф) = х (дьр/дх) + ь(ь. Мы видим, что операторы АВ и ВА, вообще говоря, не тождественны. Оператор А + В определим так, чтобы действие А + В на функцию ьр давало функцию Аьр + Вф. Например, предыдущее соотношение можно следующим образом записать в виде уравнения операторов: д д — х=х — +1. дх дх (4.21) Это означает, что соотношение (д/дх) х/ = х (д/дх) /+ / выпол- няется для любой функции ~.
Задача 4.4. Пока>ките, что дг дг д — х=х — +2— дхг дхг д* (4.22) и, следовательно, определенный формулой (4.15) оператор Н будет удовлетворять соотношению Лг д Нх — хН = — — —. дх (4.23) Такая операторная запись очень широко применяется в общепринятых формулировках квантовой механики. а в общем случае имеем для дг) /ь — — ) — НгК(2, 1) =О, (4.25) где оператор Нг действует только на координаты точки 2. Задача 4.б. Используя соотношение К(2, 1) = ~ К(2, 3)К(3, 1) дхг — 00 (4.26) Уравнение Шредингера для ядра. Поскольку ядро К (2, 1), рассматриваемое как функция координат точки 2, представляет собой частный внд волновой функции (а именно волновую функцию частицы, исходящей из точки 1), оно тоже должно удовлетворять уравнению Шредингера.
Поэтому в случае, соответствующем равенству (4.15), получаем — — — К(2, 1) = — — —, К(2, 1)+И(2) К(2, 1) (если /г) /~) (4.24) 1. Ураенение 3Прединеера (где ег — д, = е — бесконечно малая величина), покажите, что если гг ) до то ядро К удовлетворяет уравнению + —. д К (2, 1) — Н К(2, 1) =О, (4.271 дц где оператор Н, действует только на координаты точки 1. Функция К (2, 1), если ее рассматривать как интеграл по.
траекториям, определена лишь для дг ~ до Она остается неопределенной, если дг ( д,. Как мы увидим из дальнейшего, очень удобно положить К (2, 1) для дг ( д, равным нулю [в частности, соотношение (4.2) в этом случае будет справедливо только при дг - дг). Если К(2, 1)=0 для дг(до (4.28) уравнение (4.25), очевидно, справедливо также и в области ег С д„(что является тривиальным, поскольку К = О). Однако зто УРавнение не УДовлетвоРЯетсл в точке дг = т„так как фУнкция К (2,1) при гг = де терпит разрыв. Сохранение вероятности.
Определенный соотношением (4.15) оператор Гамильтона обладает интересным свойством: если и д — две любые функции, которые обращаются в нуль на бесконечности, то Ю 1 (Ну)а~Зх= 1 де(Нг)Зх. (4.30) Такая символическая запись означает следующее. В левой части этого равенства мы должны, ваяв функцию д, подействовать на нее оператором Н, получить Нд и проделать комплексное сопря- Задача 4.6. Покажите, что К (2, 1) -+ 6 (х, — х,), когда дг-~ -и. д! + О.
Из результата задачи 4.6 мы видим, что дифференцирование ядра К по переменной дг дает 6-функцию времени, умноженную на 6 (х, — х,) — производную от ступенчатой функции. Следовательно, ядро К удовлетворяет уравнению — — — НгК (2, 1) = — —.
6 (х, — х,) 6 (дг — С,). (4.29) Ге дК(2, Ц л е дгг Вместе с граничным условием (4.28) зто уравнение могло бы служить определением функции К (2, 1), если уравнение Шредингера рассматривать в качестве основы квантовой механики. Величина К (2, 1), очевидно, является одной из разновидностей функции Грина для уравнения Шредингера.
Гп. а. ввврединееровское описание квантовой механики жение. Полученный результат умножается затем на ~ и интегрируется по всему пространству. Если же образовать величину Н~, умножить ее на функцию, комплексно-сопряженную д, и проинтегрировать в тех же пределах, получится тот же самый результат. Легко проверить, что это будет именно так, если вычислить выражение ~ (Нд)о)в(х (по частям, где это необходимо).
Если в левую часть тождества (4.30) подставить рассмотренный выше оператор (4Л5), то получим (здесь дважды выполнено интегрирование по частям). Если функции ~ и у на бесконечности обращаются в нуль, то проинтегрированные члены исчезают и равенство (4.30) доказано. Оператор, обладающий свойством (4.30), называется эрмитовым. Гамильтониан в квантовой механике всегда эрмитов. В более общих случаях, чем рассмотренный выше, интегрирование по одной переменной заменяется интегрированием (или суммированием) по всем переменным системы. Положив функции ) и я равными вр (х, г), получим ~ (НвР)в вР дх = ~ в(вв (ХЬ~) авх, (4.32) н если функция вр удовлетворяет волновому уравнению (4.14), то это выражение можно записать как ~ — — агах+ ~ ф — в(х — — ( ~ ф фв(х) =-О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
