Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(4.33) Отсюда видно, что величина ~ в)ввврдл не зависит от времени. Это легко интерпретировать. Если функция вр соответствующим образом нормирована, то в)вхф выражает вероятность найти систему в точке л, поэтому интеграл от в)вав)в равен вероятности вообще обнаружить систему в какой-либо точке пространства.
Это вероятность вполне достоверного события, и потому она постоянна и равна единице. Конечно, насколько это касается волнового уравнения, функция в(в может быть умножена на любую постоянную и по-прежнему останется его решением. Квадрат этой константы войдет в произведение вркв)в, и именно ему будет теперь равняться значение интеграла. з 1. Уравнеиие Шрединаера В нашем толковании функции ф как амплитуды вероятности равенство интеграла от ф*ф константе является совершенно фундаментальным. На языке функций К это означает, что в момент времени г, интеграл от квадрата модуля волновой функции имеет ту же самую величину, что и в момент времени Г,, т.
е. если ф(2)= ~ К(2, 1)7'(1) дх„ (4.34) то ~ ф (2)Р(2)бх,= ~ 7 (1)У(1)(х„(4.36) илн ~ ~ ~ К'(2;х,', МК(2;х,, У( (Х)1(х,) (х, Ь;ах,= = ~ 7'(х,)7(х~)йх,. (4.36) Так как это должно выполняться для любой функции 7, то ~ К*(2; х,', ~,)К(2; х„г~) Нхз = б(х,' — хД. (4.37) ~ К'(2, 1)К(2, 3)охз=К(1, 3). Сравним зто с равенством ~ К(1, 2)К(2, 3) Ыхз=К(1, 3), (4.38) Следовательно, для того чтобы можно было интерпретировать функцию ф как амплитуду вероятности, необходимо, чтобы ядро К удовлетворяло соотношению (4.37).
Мы получили это, исходя из уравнения Шредингера. Было бы приятнее вывести это соотношение и другие свойства, такие,как (4.38) и результат задачи (4.7), прямо на основе определения ядра К как интеграла по траекториям и не переходить к дифференциальному уравнению. Это, конечно, можно сделать, однако в этом случае вывод не будет столь простым и изящным, каким он должен быть для таких важных соотношений. Справедливость (4.37) можно проверить следующим образом: для малого интервала, когда Г, = г, — е, оно непосредственно следует из выражения ехр (~еЫЬ).
Методом индукции соотношение (4.37) можно далее обобщить для любого интервала. Один из недостатков подхода к квантовой механике, основанного на интегралах по траекториям, состоит в том, что соотношения, включающие такие сопряженные величины, как фэ или К*, не очевидны сами по себе. Умножая обе части выражения (4.37) на функцию К (1, 3) и интегрируя по переменной х„можно показать, ято для Гз ) ) г~ ) гз 99 Гк. 4. Шредппверовское опасакае квакпвовой ввекаиакп где 1, ) $з - вв.
Последнее равенство мы можем истолковать следующим образом: если за исходную взята точка г„ то К (2,3) дает нам амплитуду вероятности для более позднего момента времени рю Если мы хотим перейти к еще более позднему моменту времени т„то это можно сделать, используя ядро К (1,2). С другой стороны, если, зная амплитуду в момент времени в„мы захотим аеркуться назад, чтобы определить ее в более ранний момент времени 1,( сю то это можно сделать, используя ядро К*(2, 1) в соответствии с равенством (4.38).
Следовательно, можно скааать, что действие сопряженного ядра К* (2, 1) компенсирует действие ядра К (1, 2). Задача 4.У. Покажите, что если 1, ( сю то левая часть равенства (4.38) равна К* (3, 1). у" 2. Хамильтониинв не зависящий ож времени Стационарные состояния с определенной энергией. Специальный случай, когда гамильтониан Н оказывается не зависящим от времени, очень важен в практическом отношении. Ему соответствует действие Я, не аависящее явным образом от времени г (например, когда потенциалы А и У не содержат время с). В таком случае ядро зависит не от переменной времени $, а будет функцией лишь интервала 1, — Р,.
Вследствие этого факта возникают волновые функции с периодической зависимостью от времени. Как это происходит, легче всего понять, если обратиться к дифференциальному уравнению. Попытаемся найти частное решение уравнения Шредингера (4.14) в виде вр = / (~) ~р (х), т. е.
в виде произведения функции, зависящей только от времени, и функции, зависящей только от координат. Подстановка в уравнение (4 14) дает соотношение — —.~'(С)ср(х)=Н~(с)ер(х)=у(С)Нср(х), (4,39) или — — — = — Нср. в Ф (4.40) Левая часть этого уравнения не зависит от х, тогда как правая не содержит зависимости от 1. Для того чтобы это уравнение удовлетворялось прн любых х и в, обе его части не должны зависеть от этих переменных, т. е. должны быть ностояннымн. Обозначим такую постоянную через К. Тогда в 1'= — в К1 или у е-вьып Э В.
Гамилыпзниан, нв зависящий ащ врв вни с точностью до произвольного постоянного множителя. Таким образом, искомое частное решение имеет вид ф (х, г) = е-и/юл1ф (х), (4.41) где функция ф удовлетворяет уравнению Нф=Еф, (4.42) а это как раз и оаначает, что соответствующая такому частному решению волновая функция осциллирует с определенной частотой.
Мы уже видели, что частота осцилляций волновой функции связана с классической энергией. Поэтому когда волновая функция системы имеет вид (4.4з), то говорят, что система обладает определенной энергией Е. Каждому значению энергии Е соответствует своя особая функция ф — частное решение уравнения (4.42). Вероятность того, что частица находится в точке х, задается квадратом модуля волновой функции ф, т. е. ~ ф ~а. В силу равенства (4.41) эта вероятность равна ~ ф )а и не зависит от времени.
Другими словами, вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке пространства не зависит от времени. В таких случаях говорят, что система находится в стационарном состоянии— стационарном в том смысле, что вероятности никак не изменяются со временем. Подобная стационарность в какой-то степени связана с принципом неопределенности, поскольку, если нам известно, что энергия точно равна Е, время должно быть полностью неопределенным.
Это согласуется с нашим представлением о том, что свойства атома в точно определенном состоянии совершенно не аависят от времени, и при измерениях мы получали бы тот я<е самый результат в любой момент. Пусть Е, — значение энергии, прн котором уравнение (4.42) имеет решение ф„ и Е, — другое значение энергии, соответствующее некоторому другому решению ф,.
Тогда мы знаем два частных решения уравнения Шредингера, а именно: фв = е-пвюлпфв (х) и фз — — е-<'ловввфа (х); так как уравнение Шредингера линейно, то ясно, что наряду с ф его решением будет и сф. Кроме того, если ф, и ф, — два решения уравнения, то и сумма их также является решением. Поэтому ясно, что функция ф = с, е-<'~эюв1зф, (х) + с,е-цяелввфз (х) тоже будет решением уравнения Шредингера. Вообще можно показать, что если известны все возможные значения энергии Е и найдены соответствующие им функции ф, 100 Га. о.
Шрединеероеское окисание квантовой механики то любое решение ф уравнения (4.14) можно представить в виде линейной комбинации всех частных решений типа (4.43), соответствующих определенным значениям энергии. Полная вероятность найти систему в какой-либо точке пространства, как показано в предыдущем параграфе, является константой.
Это должно быть справедливо при любых значениях с, н с,. Поэтому, используя для функции ар выражение (4.44) получаем азефе/х= с'~се ~ 1ере1а е(х+с*саехр ~ — (Ее — Ез) С 1 ~ ер*<рае/х+ + с,со ехр — — (Е, — Еа) е ~ ер,<р,* с7х+ сакса ~ ереоера дх.
(4.45) Так как правая часть должна оставаться постоянной, то зависящие от времени члены (т. е. члены, содержащие экспоненты ехр(ш (е/й)(Ев — Еа) е1) должны обращаться в нуль независимо от выбора коэффициентов с, и сз. Это означает, что о М еэ',фа е/х = ~ езде" с/х = О. (4,46) Задача 4.8.
Покажите, что когда оператор Н эрмитов, то собственное значение Е вещественно [для этого следует положить в, равенстве (4.30) / = б = ф,). Задача 4.9. Покажите справедливэсть равенства (4.46) в случае, когда еператор Н эрмитев (для этого в равенстве (4.30) положите у = щ, б = ~ре1. Линейные комбинации функций стационарных состояний. Предположим, что функции, соответствующие набору энерге- Если две функции / и у удовлетворяют соотношению ~ /оде/х=О, то говорят, что они ортогональны. Таким образом, из равенства (4.46) следует, что два состояния с различной энергией ортогональны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
