Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Часто оказывается более удобным рассматривать задачи не в координатном представлении, а в импульсном, или, как говорят, в пространстве импульсов, а не координат. Фактически переход от одного представления к другому есть не что иное, как преобразование Фурье. Таким образом, если мы имеем импульсное представление и хотим перейти снова к координатному, то пользуемся обратным преобразованием Р Ф(К, ~)= ~ ~ехрв (р'К)1 ер(Р г)(з в),. (5.8) Вту формулу можно истолковать на языке тех же физических понятий, которые мы уже использовали для описания структуры других амплитуд. Амплитуда вероятности того, что частица находится в точке К, представляется в виде суммы по всем воаможным 1, Импульсное представление г«7 альтернативам.
В данном случае эти альтернативы соответствуют произведению двух членов. Один из них — амплитуда вероятности того, что импульс частицы равен р, т. е. амплитуда «Р (р). Другой — экспонента ехр (гр К/а) представляет собой амплитуду вероятности того, что если импульс равен р, то частица находится в точке К. Этот второй множитель не является для нас новым, так как мы уже обсуждали подобное выражение в задаче 4 гл. 3. Заметим, что в преобразовании (5 7) показатель у экспоненты отрицательный. Это обстоятельство можно истолковать таким же образом„ как это делалось в з 3 гл.
4. Следовательно, ехр ( — гр В«'ь) представляет собой амплитуду вероятности того, что если частица находится в точке В, то ее импульс равен р. Ядро в импульсном представлении. Мы показали (см. з 4 гл. 3), как с помощью ядра, которое описывает движение частицы в промежуточные моменты времени, находится волновая функция для некоторого момента времени г„если известна волновая функция для более раннего момента времени г„ а именно «г к« «Р(Кг гг)= ~ ~ й(Вг, ггР В«г«)«Р(В«, г«) с('К«дг«.
(5.9) Существует таки«е выражение для ядра в импульсном пространстве, которое можно было бы использовать в аналогичной формуле. Тогда амплитуда в пространстве импульсов для момента времени 8г окажется выраженной через амплитуду„относящуюся к более раннему моменту времени с,: «г гг «Р(рю гг) = ~ ~ ьч'(Рг гг~ Р«~ е«) «Р (Р«, г«) (2 л)з ««г«(5.10) ««~Р« Подставив в соотношение (5.9) значение «Р (В„г«) из формулы (5.8) и выполнив, как зто указано в (5,57), преобразование ФУРье от фУнкции «Р (Вг, гг) к «Р (Рг, Гг), мы выРазим ЯдРо в импульсном представлении череа его значение в координатном представлении «4 (Рг «г1 Рм ««) = в«аг = ~ ~ е <«/г>т'к«К(Кг, 8г, В«, г«)е+««~к~о« "«дгВ«дгКг. (5.«г) 18 Гл.
о. Измерения и операторы свободной частицы Например, ядро, описывающее движение в импульсном пространстве, имеет вид гис(рг гг Рю ~1) = Пг И — е-«~а>вв.изКо(Кг, зг; К1, 11) е<1ь>Р1 и, с(зК с(зКг ( (2лй)зб (р,— р,)ехр ~ — ' Р' (ьг — «1)1 при ьг)11, (5.12) ~() при Гг < ь1. Последнее равенство следует из условия (4.28).
То, что в зто выражение входит дельта-Функция, доказывает постоянство импульса свободной частицы, как это видно из фиг. 5.3. Однако д =,Ог Ф и г. 5.3. Ядро, описывающее движвнив свободной частицы в импульсном и координатном пространствах. В импульсном представлении существуст единственная траектория, двигаясь по которов частица достигает значения импульса рв в момент времени 1,.
зта трасктория дотика начинаться со впачсния импульса р, р,. Всс другие траектории нс дают вклада в ядро. фаза волновой функции в импульсном пространстве непрерывно изменяется благодаря множителю ехр ( — 1Езга), где Е = рг/2т. Этот вывод, следующий из формулы (5 12), можно непосредственно получить также из соотношения (4.64). Ядро (5 12) открывает возможность для более простого описания свободной частицы, чем ядро в координатном представлении. В общем случае, когда частица не является свободной, а движется под воздействием потенциала, ядро в импульсном представлении не имеет такого простого вида.
Однако влияние потенциала можно рассмотреть методами теории возмущений, и выражение в этом случае снова будет достаточно простым. П9 у. Импульсное предстаеление Преобраэование энергия — время. Для многих приложений, в частности в релятивистской квантовой механике, оказывается более удобным рассматривать пространственные и временные координаты симметричным обраэом.
В этом случае к преобра- зованию перехода от координатного к импульсному представле- нию присоединяется также преобразование время -~- энергия. Таким образом, полное преобразование ядра будет иметь вид к> к, й(рю Еэ' р> Е>) = ~ ~ ~ ~ е-б>п>р 'кое<»п>к ееК(Кю ~э', Ко с,) х оп Х ебг">м к>е-и!п>впс РК с>еКт сй, йм (5 13) Заметим, что энергия Е здесь не равна ре/2л>, а является дополнительным аргументом (коэффициентом, на который умножается время), необходимым для определения ядра.
Точное измерение величины Е для установления свяэи между энергией и импульсом можно сделать лишь в том случае, когда система бесконечно долго находится в состоянии с одной и той же энергией. В качестве примера вычислим ядро для случая свободной частицы. Необходимые интегралы по переменным К, и Ке были уже найдены и определяются формулой (5.12).
Нам остается выполнить интегрирование лишь по с, и ст. Сделаем подстановку 8т = 8> + т. Тогда двойной интеграл мол<но записать как 00 екеплю ее>П ц~ ~ соуп)(ле-ре/есл>с с>т, (5 14) Первый иэ этих двух интегралов является интегральным представлением б-функции Днрака и равен 2яйб (Еэ — Е,). Второй интеграл имеет вид (5.15) е' 'с>г. о Такие интегралы часто встречаются в квантовомеханических эадачах; при действительном ю они расходятся.
Поэтому для того, чтобы мы могли выполнить наш расчет, заменим «> комплексным числом ю + ее. Когда обе величины о> и е — действительные числа, интеграл равен 1/(е> + 1е). Теперь можно было бы просто перейти к пределу этого выражения при е, стремящемся к нулю, и принять за результат Пв. Однако такой подход привел бы нас к неправильным (или, точнее, к неполным) результатам в дальнейшем. Функция, которую мы вычисляем,— это ядро, и в дальнейшем ее следует проинтегрировать (после умножения на некоторую другую функцию) по Ге. о. Иеиерения и оиератари всем значениям а или по всем значениям другой некоторой эквивалентной величины.
Если в нашем выражении опустить е, то рассматриваемый интеграл имел бы полюс при значении а = О. Было бы неправильным брать в этом случае просто главную часть интеграла в точке такого полюса. Это дало бы нам неверный результат. В частности, обратное преобразование полученного ядра не привело бы снова к тому первоначальному координатному представлению ядра, из которого мы исходили. Результат преобразования отличался бы от исходного выражения тем, что не обращался бы в нуль при отрицательных значениях времени.
Правильный реаультат для таких интегралов можно получить, если сдвинуть полюс на бесконечно малое расстояние выше действительной осн. Это и достигается введением в наше выражение величины з. Преобразовав выражение г/(а + 1е) к виду г (а — ге) еа е аз+ее аз+ее + аг+ог ' (5.16) можно первый член в правой части представить как 1/а и в дальнейшем интеграл от него вычислять в смысле главного значения. Второй член при з, стремящемся к нулю, становится равным яб (а), так что в дальнейшем при интегрировании его следует учитывать именно в таком виде.
Это означает, что если мы хотим более точно математически определить значение указанного интеграла, то выражение г/(а + ге) должно быть заменено на РР [(г/а) + лб (а)1. Другими словами, ~ ееиеИт=11ш — '. =РР [ ( — )+пб(а)~ . (5 17) о Наличие б-функций в атом выражении оаначает, что ни энергия, ни импульс р не изменяются во время движения свободной частицы. Эти две величины, как зто видно из последнего множителя, и определяют движение частицы. Таким образом, амплитуда движения свободной частицы с энергией Е и импульсом р из одной точки в другую пропорциональна г [Š— (рг/2т) + ге] '. В последующем во всех выражениях, содержащих е, будет подразумеваться предельный переход при з-+. О.
Воавращаясь к вычислению ядра, заменим а на Ег — (р'/2т), после чего получим ре Ео(рг Еь Р» Ег) =(2ЯР) б (Рг — Рг) б(Ег Ег) [ (Ег ~,'„+ /е) (5 18) 1. Имдульеное лредстаелемие 1гй В этой главе мы уже отмечали, что энергия Е здесь, вообще говоря, не равна рз/2т, а является независимой переменной. Чтобы понять, чем это обусловлено, рассмотрим ядро для свободной частицы, которое можно представить некоторой осциллирующей функцией в пространстве и времени, где величина Е является коэффициентом при переменной времени и, следовательно, обладает свойствами частоты. Ядро, заданное равенством (5.12), представлено на фиг. 5.4 как функция равности времен Ф и г.
5.4. Действительная часть ядра Кс (описынающсго движение свобод ной частицы) как функция времеви. для отрицательных моментан времеви етз йуннцня обращается и нуль, з точяе е =о ояз снзчносбрззно возрастает, з палее имеет ннд лссннусондзльной нолны с постоян- ной амплитудой н частотой. Т = 8т — ~ы Оно обращается в нуль при отрицательном Т и начинает осциллировать при значении Т = О. Преобразование от временнбго к энергетическому представлению эквивалентно преобраэованию Фурье.
Так как волна обраэуется сразу при Т = О, то фурье-компонента определена при всех значениях частот и, следовательно, для всех энергий. Однако если функция рассматривается на большом временном интервале (много периодов), то в фурье-компоненте начинает преобладать лишь одна иа частот. Для свободной частицы такая доминирующая частота соответствует энергии Е,= ре/2т. Именно поэтому ядро в случае свободной частицы содержит множитель =РР (я, )+яб(Е' — 2р ) .
(5.19) Здесь первый член справа учитывает переходные процессы, обусловленные мгновенным воэникновением колебаний при х = О. Второй член описывает стационарное поведение и показывает, что по прошествии достаточного времени мы обнаружим, как обычно, значение энергии, равное рз/2т; однако вблиэи точки г = О энергия не определяется этой классической формулой. 122 Гл. Ю. Иемереиил и оиераоьорьь Задача 5.2.
Пусть мы проделаем преобразование Фурье только для времени и не затронем пространственных переменных. В этом случае Уе(хеь Е;, х,, Е,) = ~ ~ еаыве еК(хю йе; хьь Юь) е <ь~мкььеььзйь. (5.20) Покаяьите, что для системы с не зависящим от времени гамильтоннаном Н й (хю Ез; хьь Еь) =2ЯЫЬ (Ез — Е,) ~„ьэ'"(еэ) Ч"'(*ь), (5.21) К,— й +ь'е где ьр — собственные функции, а Š— собственные значения оператора Н. у 9. Измеренне нвангповомеханмчеснизс ве нчин Характеристическая функция. В предыдущем параграфе мы показали, каким образом эксперимент, предназначенный для измерения импульса, приводит к определению распределения вероятности импульсов. По результатам правильно поставленного эксперимента можно ответить на вопрос: какова вероятность того, что импульс частицы равен р. Используя тот факт, что существует распределение вероятности различных значений импульса, мы нашли, каким образом волновая функция (или амплитуда вероятности) выражается в зависимости от импульсных переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
