Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Мы установили, что действительно можем и полностью описать систему и рассматривать задачи в импульсно-энергетическом представлении так же хорошо, кап и в пространственно-временнбм представлении, которым до сих пор пользовались. Эти результаты относятся не только к импульсным, но и к другим переменным. Если какая-либо физическая величина измерима экспериментально, то ей может быть сопоставлена некоторая функция вероятности. Это означает, что если существует воэможность измерять какую-нибудь характеристику нашей системы А (например, х-компонету импульса), то после многократного повторения эксперимента можно построить распределение вероятности Р (а); оно даст пам вероятность того, что в каком-нибудь конкретном эксперименте численное значение А будет найдено равным а.
В общем случае такое распределение можно сопоставить амплитуде вероятности. Эта амплитуда будет выражена через измеряемые переменные, а также будет аависеть от других переменных, необходимых для ее полного определения. Посмотрим, что повлечет за собой обобщение рассмотренного нами примера измерения импульса. Сначала мы рассмотрим лишь одну степень свободы, переход к большему числу измерений не вызовет затруднений.
Мы хотим знать, обладает ли наша система свойством 6. Например, З 3. Ивмврвнив квантовомвканичвокик величин (5.22) если 1 (х) — волновая функция измеряемой системы, Квкр (~, х)— ядро, описывающее прохождение частицы через данный экспериментальный прибор, а ь — точка, в которую попадает частица, обладающая свойством 6. Эту вероятность можно представить также н в ином виде: Р (6) = ~ ~ д* (х) ~ (х) ввх ~ (5.23) где мы положили лв (х) = К„р (~, х). (5.24) (Задание атой функции в комплексно-сопряженном виде принято, как мы увидим далее, только ради удобства.) Таким образом, мы можем сказать, что функция вр(6) = ~ дв(х) ~(х) а'х (5.25) представляет собой амплитуду вероятности того, что система обладает свойством 6. Это построение иллюстрируется фиг.
5.5. Само свойство 6 определяется функцией яа (х) благодаря следующим обстоятельствам. Предположим, что для измерения данного свойства мы проводим какой-либо другой эксперимент, пользуясь другими приборами, и, следовательно, в этом случае мы должны ввести новое ядро Квкр (ц, х). Пусть в этом новом эксперименте частица попадает в точку Ч. Тогда вероятность обнаружить, что система обладает свойством 6, равна ~ Квкр (т(~ х)вв(х)в(х~ или ~ ~ з' (х)вв(х)Их~ (5.26) Так как мы изучаем одно и то же свойство, то должны получить, во всяком случае для Р (6), тот же самый результат, что и в предыдущем эксперименте.
Таким образом, для проиввольной функции у (х) должно выполняться равенство ~ ~ д'в (х) 7 (х) ввх ~ = ~ ~ яв (х) ~ (х) Ых ~ . (5.27) 6 может означать утверждение: значение величины А равно а. У нас должен быть какой-то экспериментальный способ, позволяющий нам ответить на этот вопрос. Пусть некоторый прибор устроен таким образом, что если частица обладает свойством 6, то она пройдет через него и в определенном месте какого-то экрана нли какой-то иамерительной шкалы появится соответствующая отметка. Вероятность такого события можно записать как Гл. Б.
Иелеерених и оиераторм Это означает, что у* (х) = де (х) с точностью до несущественного фааового множителя е(б. Следовательно, всем методам, предназначенным для определения одного и того же свойства, соответствует (с точностью до фазы) одна и та же функция у* (х). Позтому мы назовем функцию у* (х) характеристической функцией свойства ('. Можно вадать другой вопрос: каким должно быть состояние ) (х), чтобы быть уверенным, что система определенно обладает свойством 6? (Например, какова волновая функция частицы, Ф и г. о.й. Устройство, предназначенное для ивмеревия свойства о, помещено между точкой входа налетающей частицы (волвовая функция которой ) (хП и точкой выхода х= („ уотройетво преобрввует ядро, описывающее движение (ер. фиг. б.! и 5.2) таким образом, что оио становится равйым д (х).
Проиеведекие ) (х) я (х), проиятегрироввииое по переменной х. представляет еобой амплитуду вероятности достичь точки г после прохождения черве устройство. имеющей заданный импульс() Другими словами, мы хотим найти такую функцию у (х), скажем Р (х), при которой частица, проходящая через прибор, будет попадать именно в точку ("., а не в какую-либо другую точку ь'. Амплитуда вероятности попасть в точку (,' должна быть пропорциональна б (~ — (,') (т. е.
равна нулю во всех точках, за исключением ~ = ~'). Следовательно, ~ Кедр(~, х)Р(х)((х=б(~ — ~'). (5.28) Это уравнение можно решить, используя соотношение между коашлексно-сопряженным и обратным ядром, полученное в 5 1 е. ааамеренио иваннаовомехонииеоиих венииин в25 гл. 4. Из формулы (4.37) мы имеем Кехи(1ни)Кехи(1,*)~(х=б(1 ~), так что Р (к) = К;хз (~, х) = я (л). (5.29) (5.30) Р(6)=] ~ я'(х) ~ л) е)х~ =У(д(х)р (5 32) ае Измерение, с помощью которого выясняется, находится ли система в состоянии д (х) или нет, покажет,что система действительно находится в этом состоянии, если волновая функция системы равна я (х). Для других волновых функций повторение эксперимента даст утвердительный ответ лишь в некоторой части случаев, составляющей от всех испытаний долю Р.
Это является центральным пунктом вероятностной интерпретации квантовой механики. Из всего этого следует одно интересное соотношение между самой волновой функцией и функцией, комплексно ей сопряженной. В соответствии с нашим пониманием соотношения (5.25) функция ле (х) представляет собой амплитуду вероятности того, что если система анимает положение з, то она обладает свойством 6 (это утверждение можно записать математически, если вместо функции 7' (х) в формулу (5.31) подставить 6-функцию); с другой стороны, д (х) — амплитуда вероятности того, что система, обладающая свойством 6, находится в точке х.
(Это как раз и является способом определения волновой функции.) Одна из этих функций дает амплитуду вероятности в таком случае: если имеется А, Это означает, что функция я (х) — волновая функция частицы, которая заведомо обладает свойством 6. Итак, мы можем сказать, что частица обладает свойством 6, т. е. находится в состоянии я(х). Таким образом мы установили: если частица находится в состоянии ) (з), то амплитуда вероятности найти ее в состоянии у (х) есть ф(6)= ~ де(х) 7(х) вЬ=Ф(у(х)).
(5.31) Для большего числа степеней свободы з берется в пространстве нескольких измерений. Можно дать и не столь строгую формулировку вышесказанного: вероятность того, что частица находится в состоянии я (х), равна ~ ~ зе (х) ~ (х) Ых ~'. Эта формулировка хороша, когда мы знаем, что имеем при этом в виду. На самом деле система находится в состоянии 7' (х), а не в состоянии д (х), но если при измерении мы хотим узнать, будет ли она таллее находиться в состоянии я (х), то вероятность получить утвердительный ответ равна: 126 Гл.
Б. Измерено* и операторьь то имеется и В; другая определяет ее для обратного случая: если имеется В, то имеется А. Переход осуществляется здесь простым комплексным сопряжением. Соотношение (5.31) может быть интерпретировано следующим образом: амплитуда вероятности того, что система обладает свойством 6, представляет собой сумму по всем значениям х произведений амплитуды / (х), описывающей вероятность того, что система находится в положении х, и амплитуды я* (х), определяющей вероятность того, что если система занимает положение х, то она обладает свойством 6. Задача 5.8. Пусть интеграл ~ /л (х) / (х) Зх, который дает полную вероятность найти в каком-либо месте частицу с волновой функцией / (х), нормирован так, что его значение равно единице. Покажите, что при этом условии состояние / (х), в котором частица с наибольшей вероятностью будет обладать свойством 6, совпадает с у (х). Задача 5.4.
Допустим, что ф (х1) — волновая функция системы в момент времени зо Пусть при движении в интервале времени 1г > 1 > 1, поведение системы описывается ядром К (х„1г; х„1,). Покажите, что вероятность найти систему в состоянии т (х) в момент времени гг дается квадратом интеграла у (хг) К (хгг 12 хо 1~) т (х~) Ых1 Нхг. Мы будем называть этот интеграл амплитудой перехода иэ состоя- ния ф (х) в состояние у (х).
Измерение несколькик величин. В наших рассуждениях в гл. 4 мы предполагали идеальный эксперимент, когда одновременно с величиной А нельзя измерить никакую другую величину. Иначе говоря, мы допускали, что существует не более одной функции я (х), приводящей к данному результату, и утверждали тем самым, что при измерении величины А мы получаем максимум информации о нашей системе. Однако в действительности состояние системы в общем случае определяется несколькими переменными. Так, например, если в трехмерном пространстве измеряется только х-компонента импульса, то мы не сможем однозначно определить функцию д (х): волновые функции ехр (/р„х/й) и ехр ((/р„х/л) — (/ргу/й)) дадут одинаковое значение х-компоненты импульса р,. Таким образом, если в трехмерной системе координат измерять лишь значение э 2. Ивлверение ивантаеалеехаиичееаих величин компоненты р„, то частицы в направлении оси р могут двигаться с любым импульсом и зто не скажется на результатах измерений.
Не требуется даже, чтобы частица попадала в одну и ту же точку измерительного устройства. Все частицы, которые попадают на некоторую линию или совокупность точек, могут иметь одно и то же значение р„. Так что в общем случае волновая функция я (х) определит свойство 6 следующим образом: состояние, которое описывается волновой функцией я (х), безусловно, обладает свойством 6. Однако обратное утверждение не всегда верно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
