Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Поэтому совсем не обязательно, чтобы все состояния, обладающие свойством 6, описывались одной и той же волновой функцией д (х). Лишь в том случае, когда 6 включает перечень всех величин, которые могут быть одновременно намерены, волновая функция полностью определяется самим свойством 6. Но даже и тогда остается неопределенным постоянный фазовый множитель е'ь (который не имеет, однако, существенного значения). Легко получить необходимое обобщение характеристической функции яа (х) для случая, когда наш мысленный эксперимент предполагает измерение более чем одной переменной. Пусть мы имеем некий набор величин (назовем их А, В, С, ...), которые могут быть одновременно измерены в предполагаемом эксперименте; например, зто будут х-компонента импульса, р-компонента и т.
д. Предположим, что мы можем полностью описать состояние системы, определяя некоторые числа а, Ь, с, ..., соответствующие этим величинам. Таким обрааом, мы полностью описываем систему, утверждая, что она обладает или не обладает определенным свойством. В данном случае утверждение, что система имеет определенное свойство, означает, что величина А равна а, величина В равна Ь и т.
д. Кроме того, предположим, что одновременно с этим мы не можем получить никакой другойинформации, которую пельзя было бы вывести, зная численные значения величин А, В, С... Пусть наша экспериментальная установка способна измерять все эти величины, т. е. позволяет нам выяснить, обладает ли данное состояние таким свойством, при котором значение величины А равно а, и т.
д. Мы назовем характеристической функцией такого свойства функцию (5.33) Эта функция зависит, конечно, от чисел а, Ь, с..., для измерения которых ставится эксперимент, а также от координаты х. Предположим, что система находится в состоянии ~ (х). Тогда вероятность того, что эксперимент дает для А значение, равное а, для  — значение, равное Ь, и т. д.(другими словами, вероятность Го. о. Иеесереиио и оиероосоры того, что состояние обладает интересующим нас свойством), есть Р (а, Ь, с, ...) = ~ ~ Хос ь,, (х) е'(х) Нх~ .
(5.34) Преобразующие функции. Пусть система заведомо находится в состоянии Х„, ь,;,, т. е. значение переменной А равно а' и т.'д. Тогда вероятность того, что в нашем эксперименте система будет обнаружена в состоянии, описываемом величинами а, Ь, с,..., равна нулю, если не выполнены равенства а'= а, Ь' = Ь, с' = = е,.... Это значит, что с учетом соответствующих нормирующих множителей СЮ Хо,ь,с, . (х) Хо,ь,с ... (х) е)х=б(а — а') Ь(Ь вЂ” Ь') Ь(с — с'). (5.35) Функция Х,, ь,,... (х) представляет собой амплитуду вероятности обнаружения системы в положении х, если она находится в состоянии, описываемом величинами а, Ъ, с, .... Функция Х*, ь,,...
(х), которую мы назвали характеристической функцией, является амплитудой вероятности обнаружить систему в состоянии, определяемом величинами а, Ь, е,...,.если известно, что она находится в положении х. Пусть мы внаем, что состояние системы описывается функцией у (х); тогда выражение Ро,ь, с,... = ~ Хо,ь,с,...(х) У (х) е(х — сс (5.36) есть не что иное, как амплитуда вероятности найти систему в состоянии, при котором величина А имеет значение а, величина  — аначение Ь и т. д.
Величины Е,, ь,, могут применяться для описания состояний системы с тем же успехом, что и функция ~ (х, р, х,...). Действительно, если мы знаем Р,, ь,,, то с помощью обратного преобразования можем восстановить и функцию у (х, р, э, ...). Функция Р, ь, называется АВС...-представлением данного состояния. Примером такого рода может служить импульсное представление, которое мы рассматривали в предыдущем параграфе. Функция ~ (х, р, х,...) является обычным координатным или хух ..;представлением состояния. Переход от одного представления к другому осуществляется с помощью функций Х и Хо. В частности, Х', ь,... (х, р, х, ...) — преобразующая функция перехода от координатного представления к АВС...-представлению, тогда как Х ь... (х, у, г,...) — преобразующая функ- о. Оаераторьь $29 ция обратного перехода.
Таким образом, преобразование, обратное преобразованию (5.36), имеет вид 1(х~ У~ з1 ' ') = Х Х Х ° ° ьа, ь, с,...?(а, ь,о,... (з~ У1 з, . ° ). (5 37) а Ь о Это говорит о том, что амплитуда вероятности обнаружить систему в положении х равна сумме по всем возможным значениям величин а, Ь, с, ... произведений двух функций: г", ь,, „- амплитуды вероятности обнаружить систему с А = а, В = Ь,... и т,,„, (х) — амплитуды вероятности обнаружения системы в положении х при условии, что А = а, В = Ь,.... Задача 6.5.
Предположим, что функцию г (з, у, г,...) можно записать в виде ? (х. У х, " ) = Х Х Х " Р., ь, Ь,...Х., ь,, (х, У, з,...), (5.36) а Ь о Подставляя это соотношение в формулу (5.36) и используя свойство ортогональности функций )( (5.35), покажите, что Ва, Ь, о,... = Ва, Ь, о, ... Задача 6.6. Пусть А, В,С вЂ” три декартовы компоненты импульса р„, рю р„. Каков вид функции ?(а,ь, о (х, у, г)? Используя результаты З 2 гл.
5, проверьте соотношения, полученные в 2 $ гл. 5. Задача 6.7. Предположим, что АВС...-представление не является ни координатным, ни импульсным, а есть некое третье представление состояния системы. Допустим, что нам иавестна функция ~(„ь, о, (х, у, г,...), которая позволяет выполнить прямой и обратный переходы от координатного представления к АВС...-представлению. Пусть нам известна также преобразующая функция, необходимая для перехода от координатного представления к импульсному. Какой вид имеет тогда функция, позволяющая определить переходы менарду импульсным представлением и АВС...-представлением? у 3, Операто2ььь Ожидаемые значения.
Мы можем рассмотреть теперь некоторые другие свойства преобразующих функций. Попытаемся ответить на такой вопрос: система находится в состоянии, которое определяется волновой функцией ~ (х), и мы измеряем величину А; какое среднее значение получится для величины А при многократном повторении эксперимента? Мы будем обозначать это Гл. о. Измерения и оператора Р (а) = Х Х ° ! Р,, ь,,... !' ь с (5.39) Суммирование в этом равенстве производится по всем возможным значениям непрерывного или дискретного ряда величин Ь, с,.... Среднее, или ожидаемое, значение результата измерения величины А получается умножением вероятности (5.39) на величину а и последующим суммированием произведений по всем возможным значениям этого а.
Таким образом, (А) = ~ ~~~~~ ~ ... а ( Ра, ь, с,... 1е. (5.40) Необходимость вычисления подобных средних значений часто возникает при решении квантовомеханнческих задач. Поэтому полезно иметь формулы, упрощающие такие вычисления. Этот вопрос, связанный с операторами, уже обсуждался вкратце в $ 1 гл. 4. Здесь мы получим несколько дополнительных результатов. Однако нигде в данной книге мы не будем обстоятельно излагать операторное исчисление, поскольку имеется целый ряд блестящих работ, посвященных этому вопросу (см., например, [24)). Операторы.
Попытаемся выразить ожидаемое значение величины А непосредственно с помощью исходной волновой функции 1 (х). Для этого прежде всего заметим, что квадрат абсолютного значения функции Р„ь..., можно записать как ! Ра, ь, с,... ~ — Ра, ь с,... Ра, ь, с...,. (5.41) Используя формулу (5.36), получаем а (А)=- ,'> ~ ~~~'„...
а ~ )(,,ь.,.. (х)>*(х)е(хх а Ь с х ~ уа, ь,с... (х) >е(х ) е(х = ~ >е (х) В (х)е)х. (5.42) среднее значение, называемое иногда ожидаем»>м значением, символом ( А ). Предположим, что в принципе возможно одновременное измерение нескольких физических величин А, В, С,..., причем измерение величины А дает какое-то одно значение из непрерывного или дискретного ряда чисел а, измерение величины  — некоторое значение Ь,..... Вероятность получить определенный набор а, Ь, с, ... равна ~ Р„»,, ~з, а вероятность получить для величины А некоторое значение а при любых В, С,...
(например, вообще не измеряя последние) равна Э а. Оае.саеасрм Во второй строке этого равенства мы обозначили ет (х) = ~ 6л (х, х ) 7 (х ) Нх', (5.43) где 6л (х, х') = 'Я~ 'Я~ ~ ... аХ,, ь... (х) т*, ь... „(х'). (5.44) а Ь с Соотношение (5.43) говорит о том, что функция В (х) получается иа функции 7' (х) в результате интегрирования, выполненного с помощью соответствующего величине А линейного интегрального оператора 6л (х, х').
Соотношения, подобные (5.43), часто символически записываются в виде (5.45) (А)= ~ 7с(х)ее) (х) дх= (х) 6л (хс х ) / (х ) е(х ах . (5.46) Задача Б.д. Отметим, что иа формулы (5.44) следует равенство 6л (х, х ) = 6л (х', х). Принимая во внимание этот факт, покажите, что для любых двух волновых функций я (х) и 7' (х), каждая из которых стремится к нулю, когда х -е- ~ со, ~ д'(х)е(~(х)е(х= ~ .ее7'(х))с7'(х)дх. (5.47) Всякий оператор, подобный,ее, для которого имеет место равен- ство (5.47), называется эрмитовым (ср. равенство (4.30) ). Задача 5.9. Преобразующая функция перехода от пространственного к импульсному представлению имеет вид Уа, Ь, с(Г) = ЕР7ЬЕЭ (5.43) где символом Ю обоаначен линейный оператор, действующий на функцию 7'.
В данном случае .с7 означает операцию, которую следует выполнить в правой части соотношения (5. 43), т. е. умножение на функцию 6л и интегрирование. Оператор ее сопоставлен фнаической величине А. Испольауя эти обоэначення, можно написать 132 Гл. 5. Иелсеренил и оператора (см. эадачу 5.6). В качестве физической величины А выберем х-компоненту импульса р„. Покажите, что функция бл имеет вид 1ега (х, х') = — 6' (х — х') 6 (у — у') 6 (г — г'), (5.
49) в где 6' (х) = (е// Зх) 6 (х). Используя этот результат, определите оператор, соответствующий х-компонете импульса, н покажите, что ожидаемое значение этой компоненты можно записать как (ра) = ~ /'(х) —.— е/х. Й д/ (5.50) (5.52) Собственные функции и собственные значения. Действие оператора Ф на волновые функции Х„ь, ...определенные в 2 2 гл. 5, имеет очень простой вид: а/Ха,ь,с, (х) =вХа,ь,с,... (х). (5.53) Задача Б.П. Докажите справедливость этого соотношения. В том случае, когда функция Х удовлетворяет уравнению, подобному (5.53), мы будем говорить, что Х является собственной функцией оператора М, соответствующей его собственному значению а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
