Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Если две фиэические величины измеримы одновременно, то операторы, соответствующие этим величинам, например А и Я, будут удовлетворять некоторому интересному соотношению, а именно ее (Я/) = У (ае/). Это значит, что реаультат последовательного действия двух операторов не зависит от того, в каком порядке они расположены. 'Гогда говорят, что операторы коммутируют друг с другом: Вообще говоря, мы не можем ожидать, что два любых оператора коммутируют, однако в данном частном случае это имеет место. Причина заключается в том, что физические величины А и В являются иэмеримыми одновременно; они могут составлять Задача 6.10.
Предположим, что величина А является пространственной координатой х. Покажите, что правильная формула для среднего значения х получается в том случае, если функция 6л (х, х') выбрана в виде 6 (х, х') = хб (х — х') 6 (у — р') 6 (г — г'), (5.51) а оператор, соответствующий координате х, представляет собой просто умножение на х, т. е. Л"/ (х) = х/ (х). У д. Операепорьь !33 часть набора измеримых величин А, В, С,..., соответствующих одной и той же характеристической функции,, ь,,, Если в уравнении (5.53) оператор Я поместить перед оператором =Ю, а величину Ь поставить перед а, то равенство не нарушится, так что Ф (ЯХ) =ед (ЬХ) = Ь(.4Х) = Ьа Х =аЬХ.
(5.54) Это справедливо, поскольку а и Ь вЂ” обычные числа, а не операторы. Точно так же Я( КХ) = Я (аХ) =а(ЯХ) = аЬХ. (5.55) Задача 5.12. Покажите, что пространственную координату х и х-компоненту импульса р„ нельзя измерить одновременно. Возможны ситуации, когда набор коммутирующих операторов .
б, Я, 1б,... уже известен и требуется найти функции, которые им соответствуют (т. е. их собственные функции). Для этого нужно найти решения уравнений ФХ = ах, ЯХ = ЬХ, ФХ = сХ,, ° (5.56 Предположим, например, что операторы х-й, у-й и г-й компонент импульса р„, р«и р, определены соответственно как ((Л /() (д/ дх) ), ((ВВ) (д/ду)), ((Ь/«Ь) (д/дг)). Спрашивается, каковы собственные функции этого набора операторов, соответствующие состоянию, в котором рп имеет значение а, рд — значение Ь, а р, — аначение с? (Числа а, Ь, с, ... являются здесь, конечно, собственными значениями.) Для этого мы должны решить уравнения В дХ В дХ В дХ вЂ” —.— = аХ, — —.— = 6Х, — —.— = сХ.
(5.57 е дх ' е дд ' «дг С точностью до произвольного постоянного множителя решение этих уравнений имеет вид ехр !(е/В) (ах + 6у + сг)). Вто согласуется с полученными выше выводами о том, что частица, имеющая данный импульс р, описывается волновой функцией ехр (е/В) (р г). Сравнение этих двух равенств доказывает коммутативность операторов Я и е/, когда они действуют на какую-либо из функций Х,, ь... „Так как оба эти оператора линейны (т. е. не содержат операций, требующих учета высших степеней функции Х), то соотношение коммутации должно выполняться для любой линейной комбинации функций Если Х-функции образуют «полный набора (что является для них типичным), то в общем случае лгобую функцию мы можем представить в виде суммы таких линейных комбинаций. Следовательно, если операторы АВ и ВА дают один и тот я<е результат при действии на произвольную функцию, это означает, что операторы А и В коммутируют.
Гл. о. Иеееереиил и оаераторы Разложение по собственным функциям оператора энергии. Рааличные выражения, содержащие собственные функции ~р„(х), могут быть теперь истолкованы гораздо полнее. Рассмотрим, например, разложение (4.59) ядра К в ряд по функциям ер„, являющимися решениями уравнения Шредингера с постоянным гамильтонианом: К (хз, Гз; х„з,) = ~ ср„(хз) ~рае (х,) ехр ) — — „' Еа (~з — ~,) ) . (5.58) Прежде всего ваметим, что функция ера (х) является амплитудой вероятности обнаружения системы в положении л, если иввестно, что она находится в состоянии п. Поэтому в соответствии с нашими рассуждениями в з 2 гл.
5 сопряженная ей функция ере (х) является амплитудой вероятности найти систему в состоянии п, если она аанимает положение х. На основе этого попробуем интерпретировать выражение (5.58) следующим образом. Амплитуда вероятности перехода из положения 1, соответствующего моменту времени ~м в положение 2 в момент времени ~з выражается в виде суммы по всем возможным состояниям. В данном случае эти возможные состояния будут различными энергетическими состояниями, в которых может происходить переход.
Следовательно, мы должны просуммировать по всем этим состояниям произведение следующих членов: 1) ф~ (х,) — амплитуды вероятности найти систему в точке хм если известно, что она находится в состоянии л; 2) ехр [ — ((/й) Е„(~з — ~,) ) — амплитуды вероятности найти систему в состоянии и в момент времени ~з, если в момент времени ~,, она была в состоянии пт); 3) ~р„(лз) — амплитуды вероятности найти систему в точке хз, если мы внаем, что она находится в состоянии л. Задача 5.И. Обсудите возможность интерпретации функции уа(х) как функции у„е... (х), рассмотренной в з2, т. е.
покажите, что функция ~р„(л) является преобразующей функцией для перехода от х-представления к представлению, определяемому числом п (так называемому энергетическому представлению). ') Этз амплитуда не связана с нзмепеннем составная. В этом н ззклюнено важное значение рзссмзтрнвземых нами функций ~ра.
Глава 6 МЕТОД ТЕОРИИ ВОЗМвгЩЕНИИ В КВАНТОВОИ МЕХАНИКЕ В гл. 3 мы видели, как можно описать поведение квантовомеханической системы с помощью метода интегралов по траекториям, если в выражение функции действия Я входит потенциал, имеющий только квадратичные члены. Однако потенциалы, с которыми мы встречаемся при решении ряда важных задач квантовой механики, не имеют такого частного вида и не могут быть рассмотрены столь просто.
В данной главе развивается приближенный метод, который позволит рассматривать такие более сложные потенциалы. Этот метод называется теорией возмущений и оказывается особенно полезным, когда потенциал относительно невелик (по сравнению, например, с кинетической энергией системы). Хотя разложение в ряд теории возмущений может быть получено и строго математически, ему тем не менее интересно дать физическое истолкование, которое позволяет глубже понять поведение квантовомеханических систем.
В з 4 мы займемся некоторыми приложениями теории возмущений. Например, рассмотрим движение электрона, рассеивающегося на атоме. Оказывается, что для описания взаимодействия, сопровождающего рассеяние, полезно использовать классическое понятие поперечного сечения рассеяния, т. е. понятие эффективной площади атома-мишени по отношению к рассеивающемуся электрону. Хотя зто сечение связано с реальными размерами атома, мы покажем, ч. о оно определяется также и квантовомеханическими свойствами взаимодействующих систем. у 1. л.ид тсгеорни воозгущеннгг Члены ряда.
Предположим, что частица движется под дейст- вием потенциала г' (х, ~). Ограничимся пока одномерным движени- ем. Тогда ядро, соответствующее переходу между точками а и Ь, будет иметь вид ь 'ь Кг (6, и) = ~ (ехр ~ — ' ~ ( ™ хг — У (х~) ) ссг~ ) Ух(~). (6Л) а с, Индекс Р в обозначении К» отражает тот факт, что на частицу действует потенциал сг. Отсюда обозначение Кь 'будет относиться к ядру, описывающему движение свободной частицы. в36 Га. 6. Метод теории вовмусс<ений в квантовой мвтанике гд ь 'ь Ко(Ь,й)=~ [ехр(л ~ 2 с[<)~Ях(вв), а са ь 'ь сь К<'> (Ь, а) = — ® [ [ ехр Я вЂ” <Ы) ~ ~ Р[х(г), г) с[ЯЯв(г), (6.6) а са са ь сь 'ь К<ю (Ь, а) = — — „, ~ [ ехр ( — ) — асс ) 1 ~ Р [х (г)) с[г с< а Са са 'ь Х ~ 'сс [х (г'), г') асг'ух (г) (6.5) ит.
д. В некоторых случаях ядро Кт может быть определено с помощь<о уже изученных методов. Например, в гл. 3 мы вычислили ядро для гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила р (г). Потенциал в этом случае имеет вид ~'(~ г)= 2 е'э' — ~1(г) (6.2) [см. лагранжиан (3.65) [. В общем случае, когда потенциал квадратичен по переменной х, ядро может быть вычислено точно; наряду с этим при достаточно медленном изменении потенциала окаэывается хорошо применимым квазиклассическое приближение.
Иэвестны также некоторые другие типы потенциалов, которые удобно рассматривать с помощью уравнения Шредингера. Теперь обратимся к изучению самих раэложений, которые часто окаэываются полезными при малых возмущающих потенциалах. Пусть потенциал действительно мал; более точно предположим, что мал по сравнению с величиной Сс интеграл по времени от потенциала вдоль траектории.
Тогда та часть экспоненциального члена в подынтегральном выражении (6.1), которая зависит от к' (г, с), может быть разлох<ена в ряд 'ь 'ь ехр ~ — — „' ~ "г (х, г) сй ~ = $ — — ' ~ У (и, г) <)г+ а са сь + —,', ( — '„)'~ ~ у(х,г)сг~'+..., (6.3) са который определен для некоторой частной траектории х (с). Подставляя это раэложение в (6.1), получаем Кс (Ь, а)=-Ко(Ь, а)+К<с>(Ь, а)+К<Ю(Ь, а)+..., (6,4) "г. Ряд теории еоемрезений Чтобы не перепутать временнйе переменные, по которым проводится интегрирование, мы обозначили их здесь через г, г' и т. п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
