Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Вычисление членов ряда. Рассмотрим сначала ядро К<'). Для нас удобнее изменить порядок интегрирования по переменной х и по траектории х (г). Запишем 'ь К<') (6, а)= — — ' ~ Р(г)([г, (6.8) (о где ь 'ь Р(г) = ~ [ ехр ( в ~ — *(гг) [ У [х(г), г) Ых(г). (6.9) Интеграл по траектории Р (г) имеет следующий смысл: это амплитуда вероятности свободной частицы, просуммированная по всем траекториям. При этом каждая траектория входит сюда гп Ф и г, ел.
Движение с одним рассеянием. Частица выходит ив точки о и двигается кап свободная до точки е. Здесь на нее действует потенциал уо = у (х (е) е), происходит рассеяние. После этого частица движется как свободная до точки Ь. Амплитуда, описывающая такое движение, дается выражением (6,10). Если эту амплитуду проинтегрировать по веем воэможйым положениям точки е, то получим член первого порядка теории воэмущений. с весом, равным значению потенциала )г [х (г), г[, вычисленного в момент времени ю Единственная характеристика траектории х (ь), от которой зависит потенциал )г, — это положение траектории в некоторый момент времени г = г. Другими словами, до и после этого момента г содержащаяся в функционале Р (г) траектория совпадает с траекторией обычной свободной частицы.
Все вышесказанное поясняет фиг, 6Л. !38 Гл. д. Метод теории вовмущений в квантовой механике Основываясь на соображениях, аналогичных тем, которые мы использовали при выводе соотношения (2.31), разделим каждую траекторию на две части: часть, которая относится к моментам времени, предшествовавшим моменту с = в, и часть, которая соответствует более позднему времени. Для конкретности предположим, что каждая траектория проходит через точку х, именно в этот момент времени 1 = в. Далее мы проинтегрируем но всем значениям х,. Воли точку х, (в) обозначить через с (т. е. наложить в = с,), то сумму по всем таким траекториям можно записать как Ко (Ь, е) Кв (е, а).
Это означает, что функционал Г (в) = Р (с,) можно представить в виде Р(се)= ~ Ко(Ь, е) в'(х„се)Ко(е, а)дх,. (6 10) Подстановка этого выражения в соотношение (6.8) дает 'ь К<с>(Ь, а)= — — ~ ~ Ко(Ь, с)У(е)Кв(е, а)дхос)с„(6.11) са где У(с) =У(х„с,). Пределы интегрирования но х здесь положены равными ~ оо. В практических задачах этн пределы обычно определяются видом потенциала, который в большинстве случаев спадает до нуля при очень больших значениях х, или свойствами примененных установок, которые ограничивают область изменения х. Интерпретация членов ряда. Чтобы лучше понять физический смысл очень важного и полезного соотношения (6.11), мы специаль- но остановимся на его интерпретации. Назовем процесс взаимо- действия между потенциальным полем и частицей рассеянием; так, мы будем говорить, что частица рассеивается на потенциале и что амплитуда такого рассеяния на единиссу объема и единиссу времени равна — (с сь) У.
Учитывая это определение, мы можем интерпретировать ядро Ки следующим образом. Это ядро представляет собой, очевидно, сумму, взятую по всем альтернативным путям, по которым частица может попасть из точки а в точку Ь. Эти возможности сле- дующие: 1) частица может вообще не рассеяться (Ко (Ь, а)), 2) частица может рассеяться один раз (К, (Ь, а)1, 3) частица может рассеяться дважды (К, (Ь, а) ) и т. д.
В соответствии с такой интерпретацией на фиг. 6.2 изображе- ны различные траектории частицы. 1. Ряд теории еоамущений Заметим, что каждая из перечисленных вьппе альтернатив в свою очередь является суммой альтернатив'). рассмотрим, например, ядро Кп'(6, а), описывающее однократное рассеяние.
Этому ядру соответствует, в частности, следующая альтернативная траектория: частица начинает двигаться из точки а, движется а 4 а Ю Ф н г. 6.2. Различные случаи рассеяния. В случае 1 частица под действием потенциала у пвижется от тачки а до точки Ь, не рассеиваясь. Такое движение описывается амплитудой Ко (Ь, а). В случае Е частица в своем движении под действием потенциала у испытывает однй акт рассеяния в точке с. етому соответствует амплитуда К'~~ (Ь, а). В случае Х частица рассеивается днажды [амплитуда к~ю (ь, ай, а в случае 4 — н раа, причем последнее рассеяние происходит е точке е. Полная амплятуда, описывающая движение частицы не точки а в точку Ь при любом числе рассеяний, является суммой К, + Кн + К~ + ... + К ~ + , ... свободно до точки хе ((,= с), где она рассеивается на потенциале )У (с),после чего снова движется как свободйая частица из точки с до конечной точки ().
Амплитуда, соответствующая такой траек- х) Поскольку даже однократное рассеяние может происходить в различных точках С, суммирование по всем альтернативам является повержение необходимым.— Прим. нерее. $40 Гл. З. Мевкод еаеории вовмииеений в кванеповой ввеканике торин, равна Ко(Ь, с) ( — — „Т'(с) е(х,йС,~ Ко(с, а).
(6Л2) (Следует напомнить, что, согласно используемой нами договоренности, можно проследить за движением частицы, читая эту формулу в обратном порядке, т. е. справа налево.) Структура амплитуды (6.12) согласуется с правилом, сформулированным в з 5 гл.
2, а именно амплитуды вероятности последовательных во времени событий перемножаются. В соответствии с равенством (6.11) полное выражение для ядра Кое получается сложением всех таких альтернатив, т. е. интегрированием по переменным х, и С помощью этих рассуждений мы можем сразу написать ядро Кои для двухкратного рассеяния в виде Кпв(Ь, а)= ( — — ) ~ ~ Ко(Ь, с)$'(с)Ко(с, е() х х У(е() Ко(И, й) Ит, е(тй, (6.13) где Ыт = Их Иг. Эта формула, будучи прочитана справа налево, означает следующее: частица движется свободно от точки й до точки Й и здесь рассеивается на потенциале, который в этой точке равен Р (Ы).
Затем частица снова движется свободно от точки Ы до точки с, где она рассеивается на потенциале У (с). После чего частица движется от точки с к точке Ь опять как свободная частица. Мы суммируем по всем альтернативам, т. е. по всем пространственным точкам и моментам времени, где может произойти такое рассеяние. Здесь мы молчаливо предполагали, что г, ) ~в. Чтобы избенвать услоя пений, связанных с явным введением этого предположения в канелем примере, будем пользоваться условием, введенным ранее в гл. 4 (см. соотношение (4.28) ], и предполагать, что К(Ь, й)=0 для ~ь(~ .
(6Л4) Тогда равенство (6.13) будет выполняться без каких-либо ограничений во всей области интегрирования по переменным ~, и ею Читателя мелеет заинтересовать вопрос, что произошло с коэффициентом '/ю который, как легко видеть, был в формуле (6.7) и кажется пропущенным в соотношении (6.13). Отметим, что в формуле (6.13) область интегрирования по переменной ва по- прежнему заключена в пределах от в, до ~о.
Однако область интегрирования по переменной в, ограничена тем, что точка 1, обязана теперь находиться мен~ду точками зв и ~о вследствие условия (6Л4). Такое ограничение уменьшает величину интеграла ровно на половину. Чтобы увидеть это более ясно, представим З 1. Ряд теории вовмииСеиий я4с двойной интеграл (6.7) в виде сь сь $ ~ )с [х (г), г] )с [х (г'), г'] йсг'сЬ = са са 'ь 'ь = ~ ~ у[х(г), г] й [х(г'), г'] с]г'йсг+ Са в 'ь в .сг ~ ~ ]с [х(г), г] й [х (г'), г'] сЬ' с]г. (6.15) са са Первый член в правой части этого соотношения удовлетворяет ограничениям, накладываемым условием (6.14). После изменения порядка интегрирования второй член справа можно записать как 'ь 'ь ~ ~ й [х (з), г] се [х (г'), г'] сЬ сЬ'.
са в (6 16) Если в этом выражении поменять местами переменные г и г', то величина интеграла не изменится. Следовательно, первый и второй члены в правой части соотношения (6.15) равны и каждый из них есть половина величины первоначального интеграла. С помощью аналогичных соображений в выраясении для ядра Кео получается коэффициент 1/Ы Задача 6.1. Допустим, что потенциал может быть записан как сумма У + $', где У мало по сравнению с У. Далее, пусть ядро, описывающее движение под действием одного из этих потенциалов, вычислимо (например, потенциал У может быть квадратичным по переменной х и не зависеть от времени).
Покажите, что движение под действием суммарного потенциала 7У + г' описывается соотношениями (6.4), (6.11), (6.13) и (6 14), если ядро Ко заменить ядром Ксс, соответствующим движению только лишь под действием потенциала У. Таким образом, У можно рассматривать как возмущение потенциала у. Можно сказать, что — (сй) ]е представляет собой амплитуду вероятности рассеяния, обусловленного возмущающей частью потенциала (в расчете на единицу объема и на единицу времени). Ядро Ксс — амплитуда, описывающая движение системы под действием невозмущенного потенциала У. Задача 6.2.
Предположим, что система состоит из двух частиц, вааимодействие которых описывается потенциалом се(х,у), где х — координата первой, а у — координата второй частицы [ср. 142 Гл. 6. Метод теории вввлвзвеений в квинтовой лвехвниве з 8 гл. 3 и выражение (3,75) [. Если не учитывать этого взаимодействия, то движение частиц будет свободным. Если потенциал равен нулю, то Кг — просто произведение двух ядер, соответствующих свободным частицам. Используя этот факт, получите ряд теории возмущений для величины Кг (хо~ Уо, во; хо, Уве чи) Спрашивается, какими физическими соображениями диктуются различные члены этого ряда? +( — а) ~ ~ Ко(Ь, с) в'(с)Ко(с, сч) вв(е[)Ко(сч, а)е?т,а'с~-,' (6.17) Это выражение можно представить и в другом виде: К;(Ь, а)=Ко(Ь, а) — — ' ~ Ко(Ь, с)У(с) [К,(с, а)— — — ~ Ко(с, йч))'(сч)Ко(о', а) амтв+ ° .,) е?т,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
