Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Тем не менее имеет смысл попытаться непосредственно выяснить вопрос, касающийся, скажем, измерения импульса, пе требуя при этом, чтобы окончательное показание прибора сводилось к измерению положений, и не рассматривая в деталях, какие именно части прибора измеряют импульс. Поэтому в данной главе мы не будем концентрировать наше внимание на амплитуде вероятности измерения пространственных координат, а вместо этого рассмотрим амплитуду вероятности найти определенное значение импульса, энергии или какой- либо другой физической величины.
В $1 этой главы мы покажем, как можно описать квантовомеханическую систему, используя понятия импульса и энергии. Далее, в 5 2 мы расширим рассмотрение, что позволит нам в общем случае исследовать квантовомеханическую систему в различных представлениях. Преобразующие функции, которые позволяют переходить от одного представления к другому, имеют много интересных свойств. Среди вих понятие оператора, которое было введено в гл. 4 и будет обсуждаться далее в $3. у 1, Импульсное представление Амплитуда вероятности в импульсном пространстве.
Выпте мы пользовались понятием вероятности, имея в виду определение положения частицы; теперь допустим, что мы хотим измерить ее импульс. Спрашивается, существует ли такая амплитуда вероятности у (р), квадрат модуля которой дает вероятность Р (р) того, что импульс частицы при измерении окажется равным р? Гя. С. Лаыерепия и операторы ф(х, Т)= ~ Ко(х, Т; у, О) 1'(у) е(у. -о (5Л) После подстановки ядра К„описывающего движение свободной частицы, это выражение примет вид СЮ ф(х, Т)= '1е о Вкехр 2ВГ ~ (ехр ВГ ") (ехр оВГ ) е (У)е1У. оо (5.2) Квадрат модуля амплитуды ф (х, Т) дает вероятность нахождения частицы между точками х и х + йх.
В соответствии с нажим определением это совпадает (в пределе Т-ы со) с вероятностью Такая амплитуда действительно есть, и мы легко можем ее найти. Некоторые способы измерения импульса (или других физических величин) соответствуют измерениям пространственных координат, и, следовательно, они могут быть изучены, если мы знаем, как анализировать измерения координат. Так, например, ограничиваясь одномерным случаем, предположим, что частица при 1 = 0 находится в области ~Ь около начала координат оси х. Неопределенность Ь может быть сколь угодно болюиой, оставаясь, однако, конечной.
Мы можем измерить импульс такой частицы, пользуясь измерением времени ее пролета, т. е. мы можем пронаблюдать, насколько переместилась частица за время Ф = Т (предполагая отсутствие сил). Если новое положение частицы есть х, то ее скорость равна х/Т, а импульс р = тхеТ. Ошибку такого измерения импульса -~-тЬ~Т можно сделать сколь угодно малой, если время Т выбрать соответственно достаточно большим.
Предположим, что мы рассматриваем в импульсном пространстве вероятность Р (р), определяемую в таком эксперименте. Р (р) ор — вероятность того, что значение импульса находится между р и р + ор, равна вероятности Р (х) йх того, что при внезапном исчезновении всех воздействий на частицу она через промежуток времени Т будет находиться между точками х и х + е)х. Конечно, это обусловлено-тем, что импульс р связан с координатой х равенством р = тх~Т. Допустим, что волновая функция частицы в момент времени 1 = 0 имеет вид ~ (у), и наша задача ааключается в том, чтобы выразить вероятность Р (р) непосредственно через волновую функцию 1 (у). Амплитуда вероятности того, что частица придет в точку х в момент времени 1 = Т, равна т" 1. Иееиуиьснсе иредсиеавеенив того, что величина импульса частицы лежит между р и р + Ыр: О> Р(х>'*=~.~~ ~ 1 (ехрСгьт(у'-2ху>11/(у) "у~ ='(р>"р (5.З> при Т~ оо.
Подстановка р = тх/Т с учетом предельного перехода к большим Т приводит к выражению О Р(Р>свр 2 В ~ ~ ~ехр( 2ЗГ В ) > /(у)г(у~ . (5.4) Ранее мы предположили, что в начальный момент времени частица должна находиться в некоторой ограниченной области +-Ъ вЂ” около начала координат.
Это означает, что начальная волновая функция / (у) спадает до нуля для значений у, больших по абсолютной величине, чем Ь. Далее, при возрастании Т величина 1тЬв/2ЬТ становится пренебрежимо малой. Так как значения у, большие по абсолютной величине, чем Ь, не дают вклада в интеграл (5.4), то вероятность Р (р) е(р будет приближенно равна произведению др/2яй на квадрат модуля амплитуды ') Р(Р>= ~ ехР( Л )~(У)"У (5.5) Несколько другая интерпретация етого результата дается на фиг.
5Л и 5.2. Выражение для амплитуды в импульсном пространстве (5.5) относится к одномерному случаю. Его легко обобщить на трехмерный случай, когда амплитуда вероятности записывается в виде ер(р) = ~ (ехр ( — — „(р.г)1 ~ /(г) е)ег. (5.6) г) Многие авторы предпочитают включить множитель 1/2ий в определение амплитуды й(р), куда ои входит кик 1/ у'2лВ. Однако, следуя изложенному в т 3 гл. 4, мы предпочитаем писать амплитуду в той форме, которую уже применяли, и при етом помнить, что элемент объема в импульсном пространстве у нас всегда вкжочает в себя множитель 1/2иа для каждой степени свободы.
Нипримевь, элемент объема в трехмерном импульсном пространстве равен бвр/(2ив) . Здесь уже предполагается, что волновая функция у (г) определена во всех точках трехмерного координатного пространства. Амплитуда у (р) представляет собой амплитуду вероятности того, что частица имеет импульс р в момент времени 1 = О. (Заметим, Гл. б. Иамеренлл и операторы что эта амплитуда не определена для момента времени ! = Т.) Временнбй интервал Т обусловливается самим измерительным прибором, и его можно варьировать, не изменяя при зтом величины амплитуды в импульсном пространстве.
Квадрат модуля этой амплитуды, умноженный па элемент объема пространства Ф н г. 5.1. Амплитуда вероятности появления частицы, движущейся свободно. В точке х в интервале времени Т она является проиеведеиием двух функций. Одна иа ннх ! (Р) — амдлитуда вероятности того, что частица начинает движение ие некоторой точка р, кан его покааано пунктирной линией. Вторая — ядро для евободной чаетпцы к (х, т; в, б) — является амплитудой перехода ме точки р в точку х; она представлена оянуооидой о медленно иеиеняющейея длиной волны. Конечное положение х мы раеематриваем едееь как начальную точку иеменения этой функции, в то время как р у нао — переменнан величина. Если раоетояние точки х от начале координат аначятельно больше расстояния между точками — Ь и + Ь, где функции! (Р) не Равна пулю, то длина волны оетаетея практйчеоки поетоянной.
првближенно ее можно напивать в виде ехр (( — ()ю (тх)т) у). В окончательном выражения цля амплитуды вероятности доотиження частицей точки х ети функции перемножаютея и лроиеведение ия янтегрируетоя по р. Так как вое частицы проводят примерно одинаковое расстояние аа одно и та же времн Т (опять-таки в предположении х >> Ю, ато выражение совпадает о амплитудой вероятвоети того, что импульс частиц равен р = тх(т. импульсов, дает вероятность нахождения импульса в трехмерном интервале импульсного пространства (!ар/(2яь)в. Мы проанализировали возможность измерения импульса на основе измерения времени пролета. Такой же анализ можно было бы провести и для других методов. Рассмотрение любого метода измерения импульса должно привести нас к одному и тому же результату для амплитуды вероятности в пространстве импульсов.
Предположим, что у нас есть два прибора, предназначенные для измерения одной и той же величины — импульса. Коли они дают разные результаты, то мы должны объяснить это неисправ- !р и г. 5.2. Случай периодической амплитуды. Если приближенпо амплиту)Г! У(у) считать периодичеевой функцией о такой же длиной волны, что и у соответствующего ядра К, йак покааано на Фиг. а, то интеграл от яроиаведения етнх двух функций становится очень большим.
Это оаначает, что е большой яероятноотью импульс равен тх)Т. Если, е другой стороны, предноложить, что длины волн раалнчаютея на некоторую новую Функцию !' (у), «ак покааано на Фнг. б, то после перемножения вклады в интеграл от рааличных значений у будут еааимва упичтоя~атьоя. Вероятность того, что импульс равен тх(Т, в атак случае мала. Если выбрать, как ато покаеаво на Фиг. е, другое конечное положение к', то в область ( — Ь, Ь) попадет совсем другая часть крявой К. При подходящем выборе х' длина волны, соответствующая этой части кривой К, совпадает е длиной волны для Функции Т (у) и величина вероятности в етом случае снова воерастает.
Другямв словами, частицы с'.большой вероятностью будутиметь новое аначение импульса р жх'(Т. 116 Гп. о. йввееренап и операторы постыл одного из приборов. Таким образом, если согласиться, что измерение времени пролета является приемлемым методом определения импульса, то любой прибор, измеряющий импульс, должен давать для распределения импульса Р (р) Нр тот же самый результат при условии, что система находится в одном и том же состоянии г(у). Анализ любого приспособления, измеряющего импульс, должен давать для амплитуды вероятности, определяющей импульс р, одно и то же выражение у (р) с точностью до несущественной фазовой постоянной (т. е.
с точностью до множителя е'о, где Ь = сопев). Возьмем, например, следующую задачу. Задача П. Рассмотрите какой-нибудь прибор, предназначенный для измерения импульса в классическом приближении, такой, например, как масс-спектрограф. Проанализируйте этот прибор, пользуясь методом, которому мы следовали в гл. 4. Покажите, что для амплитуды в пространстве импульсов получается тот же результат. Переход к импульсному представлению. Мы называли вр (К, Г) амплитудой вероятности того, что частица нахдднтся в точке К в момент времени е. Выше показано, что соответствующая амплитуда в пространстве импульсов имеет вид <р (р, г) = ~ ) ехр ( — — (р, К) ~ ~ вр(В, Ц ЗзК. (5.7) Вудам называть ее амплитудой вероятности того, что частица имеет импульс р в момент времени г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
