Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 18
Текст из файла (страница 18)
66 Гл. д. Дальнейивее раввитие идей на конкретных примерах р 11. Въечтеелеппе мптпеералов 0о тпроетпормям е помотввъю рядов Фурье Рассмотрим интеграл по траекториям для случая гармонического осциллятора (см. задачу 3.8). Этот интеграл имеет вид ь еь К(Ь, а)= ~ (ехр ( — ' ~ — (х' — юха)ей|~ Ях(й). (3.83) С помощью методов, изложенных в $5, этот интеграл по траекториям, как и в аадаче 3.8, можно свести к произведению двух функций. Наиболее вавкная из этих функций зависит от классической траектории гармонического осциллятора и содержится в формуле (3.59). Другая функция, зависящая только от временного интеграла, нриведека в равенстве (3.80). Эту функцию можно записать как 0 т Р(Т) = ~ ~ехр ~ — „' ~ — (у' — ю'у') е(г~ ~ Мр(г).
(3.84) э о Мы вычислим этот интеграл, во всяком случае, с точностью до множителя, не зависящего от ю, способом, который иллюстрирует еще одну возможность в обращении с интегралами по траекториям. Поскольку все траектории выходят из точки О в момент времени в = О и возвращаются в эту же точку в момент 8 = Т, функцию у (в) можно разложить в ряд Фурье но синусам с основной гармоникой, равной 2я~Т: у«)=,", в.з'и "т'. п (3.85) Тогда вместо того, чтобы в каждый момент времени ~ рассматривать траектории как функции от у, мы можем считать их функциями коэффициентов а„.
Это есть линейное преобразование, якобиан которого У является постоянной величиной, не зависящей, очевидно, от ю, т и й. Конечно, этот якобиан можно вычислить непосредственно. Однако мы избежим здесь этого вычисления, собрав все множители, которые не зависят от ю (в том числе и У), в одну константу. Точное значение этой постоянной всегда можно найти, поскольку мы знаем ее значение г (Т) = )Гт!2яуйТ для ей = О (случай свободной частицы). Интеграл для действия мелеет быть записан через ряды Фурье (3.85). Поэтому член, пропорциональный кинетической э 11. Вычисление интегралов с лолгоигью рядов Фурье 87 энергии, становится равным т т чч лл аьл Г плг тле уао1= ь' р — — а а ~ соз — соз — ь11= А1~~т т ""1 т т а а т а =Т Я, '( — "„")'М я (3.86) и аналогично член, пропорциональный потенциальной энергии, становится равным т (3.87) Если предположить, что время Т разделено на интервалы длины е, как это указано в равенствах (2Л9), так что имеется лишь конечное число Л' коэффициентов а„, то интеграл по траекториям приобретает вид Р(Т)=,1 ~ ~ ...
~ ( РЯ вЂ”,'"ь ~( — ",;,) — а~о.*))х ь п=ь Иаг Ааг дал Х вЂ” — . ° ° — ° А А ''' А (3.88) Поскольку экспонента может быть разбита на сомнощители, то можно порознь вычислить интеграл по каждому из коэффициентов а„. В результате такого интегрирования получим ~ехр ~ — ( — ", — са')а'„1) — "" = ( — ", — сег) '. (3;89) Таким образом, интеграл по траекториям пропорционален про- изведению П (~Ту — ) = П ( ~, ) Ц (1 — —,) . (3.90) и=! , ( зш ат )-Чг (3.9$) где постоянная С не зависит от ю.
Но при аа=О наш интеграл совпадает со случаем свободной частицы, для которого мы уже Первое произведение справа не зависит от ю и объединяется с якобианом и другими сомножителями, которые мы собрали в одну постоянную. Второе произведение стремится к пределу ((з(псоТ)/соТ! ~г, когда Л' — + оо, т. е. когда е — иО. Поэтому 88 Гл.
д. Дальнейшее развитие идей на панпретньзх примерах нашли, что (3.92) (3.93) у~-~(т)лп т в (3.94) когда ве' -+ со. Следовательно, для гармонического осциллятора имеем ( 2явае1аезв ) Это нужно подставить в формулу (3.59), чтобы получить полное решение. Задача 3.13. Следя за всеми постоянными, покажите, что якобиан удовлетворяет соотношению Глава Ф ШРЕДИНГЕРОВСКОЕ ОПИСАНИЕ КВАНГОВОИ МЕХАНИКИ В интегралах по траекториям, которые мы до сих пор рассматривали, всюду [за исключением выражения(3.82)! под знаком интеграла стояли экспоненты от действия, обладающего свойством Я [2, 1 [ = Я [2, 3) + Я [3, 1[. (4.1) Такие интегралы можно исследовать с помощью интегральных уравнений, к которым они сводятся.
Кы уже видели это в гл. 2 [см., например, выражение (2.31)) и в гл. 3 [выражение (3.42)[. Еще более удобным методом, когда это возможно, является сведение интеграла по траекториям к дифференциальному уравнению. Такая возможность в квантовой механике существует и фактически представляет собой самый удобный способ изложения этой теории.
Почти всегда бывает легче решить дифференциальное уравнение, чем непосредственно вычислять интеграл по траекториям. Обычное изложение квантовой механики основано именно на таком дифференциальном уравнении, известном как уравнение Шредингера. В данной главе мы выведем это уравнение на основе нашей формулировки квантовой механики, но не будем рассматривать его решение для большого числа примеров, поскольку такие решения достаточно подробно рассмотрены в других книгах ').
Заметим, что эта глава преследует двойную цель. 1. По отношению к читателю, который интересуется главным образом квантовой механикой, наша задача состоит в том, чтобы связать формулировку, основанную на интегралах по траекториям, с другими изложениями, встречающимися в научной литературе и учебниках, с тем чтобы читатель мог продолжить самостоятельное изучение предмета, научившись переходить с одного языка на другой и обратно. 2. г1итателя, который интересуется в основном методом интегралов по траекториям, глава познакомит с техникой сведения ') См., например, [2).
(Болыпое число поучительных примеров, связанных с решением уравнения Шредингера, имеется в книгах советских авторов: Л. Д. Л а н да у и Е. М. Л и фши ц, Квантовая механика, нерелятивистская теория, М., 1963; Д. И. В л о х и н ц е в, Основы квантовой механики, М., 1962; А. А. С о к о л о в, Ю. М., Л о с к у т о в и И. М. Т е р н о в, Квантовая механика, М., 1962, и многих других.— Прим. рад.) 90 Гл. А Шрединсераескае описание кеантоеой механики определенного класса зтих интегралов к дифференциальным уравнениям; такое сведение лучше всего показать на одном квантовомехаиическом примере, к которому мы теперь и переходим.
у 1. ахраенение Шредингера Дифференциальная форма соотношений. Причина того, что мы можем перейти к дифференциальному уравнению, заключена в том, что соотношение (4.1) справедливо для любых точек 1, 2 и 8. Например, момент 8х может отличаться от момента гг всего лишь на бесконечно малый интервал е. Это позволяет нам связать значение интеграла по траекториям, вычисленное для одного момента, с его значением в другой момент, бесконечно близкий к первому. Таким путем мы можем получить для интеграла некоторое дифференциальное уравнение.
Как было уже показано, понятие волновой функции можно ввести как следствие соотношения (4.1). Более того, мы знаем, что выражение ~)(хю сг) = ~ К(хю сг', хм се) ф(хо ге) йхе описывает волновую функцию в момент времени ~, через волновую функцию в момент времени г,.
Чтобы получить искомое дифференциальное уравнение, применим зто соотношение к специальному случаю, когда время сх отличается от времени 8, всего лишь на бесконечно малую величину е. Ядро К (2,1) пропорционально зкспоненциальной функции от действия для интервала времени (с,г,), выраженного в единицах ~Я. Но для малого интервала з действие приближенно равно произведению е на значение лагранжиана в некоторой точке етого интервала. Следовательно, в том же приближении, что и для равенства (2.34), мы можем записать 1е(х, Е+е)кк '1 — 1ехр ( з в Ь( з, 2 ) ~ ф(у, е)сгу.
(4.3) се Применим теперь зто выражение к частному случаю одномерного движения частицы под воздействием потенциала У (е, «), т. е. к случаю, когда Ь = (лыс/2) — й (х, г). Соотношение (4.3) тогда запишется в виде еу(х' с+з) ~ А ')ехр[Ь 2 ~~ Х х ~ехр( — — ' зХ ( — *' у, г) ) ~ ф (у, г) Ыу. (4.4) з 1. Уравнение П1рединеера 91 В показателе первой экспоненты появляется величина (х — у)а/з. Ясно, что если у заметно отличается от х, то эта величина очень велика и, следовательно, при изменении у экспонента быстро осциллирует. Область осцилляций первого сомножителя дает очень малый вклад в интеграл (вследствие слабого изменения всех других величин).
Существенный вклад дают лишь значения у, близкие к х,когда экспонента изменяется более медленно. На этом основании сделаем подстановку у =- х + т), имея в виду, что заметные вклады в интеграл будут получаться лишь при малых т). После подстановки получаем ер(х,1+с).= ~ — ехр( ~ )ехр~ — — „К[х+ 9,1)) ~ф[(х+т]),1]й~. (4.5) Фаза первой экспоненты изменяется примерно на радиан, когда т] порядка ]l еКТт, так что наибольший вклад в интеграл получится в областй именно таких значений а]. Функцию в]в мы можем разложить в степенной ряд, причем необходимо удержать лишь члены порядка з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
