Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Событие первое — частица движется от начала координат до щели. Событие второо — дальнейшее движение частицы от щели до точки х. Щель имеет конечную ширину, и прохождение через каждую ее точку связано с различными альтернативными возможностями; поэтому мы должны интегрировать по всей ширине щели. Частицы, которые минуют эту щель, выбывают из эксперимента, и их амплитуды в сумму не войдут. Все частицы, которые проходят через щель, движутся как свободные, и соответствующие им ядра задаются выражением (З.З). Амплитуда вероятности имеет, У 2.
Дифрлпция при прохождении череа щель таким образом, вид ь (2л(вт)-г/з ( ~ гж(х — у)в 1) (2я(аг )-г/з )( е( едр ~ 23Г ~) с(у' (3.20) Этот интеграл можно выразить через интегралы Френеля. В таком представлении уже содержатся физические результаты (которые мы обсудим ниже), но они не наглядны из-за математической сложности интегралов Френеля. Чтобы не затемнять Ф и г. 3.3.
Движение частицы сквозь щель. известна, что частица, выходящая в момент времени г О из точки х = О, проходит между точками хо — Ь и хе + Ь в момент времени ( = Т. Мы хотим вычислить вероятность нахонщения частицы в некоторой точке х спустя время т, т. е. когда Г = Т + т. Согласно классическим аакоиам, частица должна находиться между хз (т/Т) + ь (1 + т/Т) и х,(т/Т) — ь (у + т/т), т. е.
внутри ортогональной проекции щели. Однако квантовомеханпческие законы показывают, чта частица может с отличной от нуля вероятностью находиться и вне атих классических пределов. Эту задачу нельая решать, применяя лишь занан движения для свободной частицы, так кзк щель агранвчквает движение частицы. Поатому рааобьем задачу на две— соответственно двум последовательным движениям свободной частицы: в первой вадаче рассматривается движение частицы из точки х = О при г = О в точку х = х, + у при ( = Т, где ~ у ( «Ь; во второй — движение из точка х, + у прн ( = Т в точку х при ( = Т + т. Полная амплитуда вероятности, как зта видно из Формулы (З.(9), равна интегралу от проязведения ядер для двух таких движений свободной частицы.
Гауссова щель. Введем в подынтегральное выражение в качестве вспомогательного множителя функцию С (у). Ксли положить зту функцию равной единице в интервале — Ь<У < +Ь и рав- математикой физический смысл результатов, мы получим другую, но аналогичную формулу, которая приведет нас к более простьум математическим выражениям. бл Гл. о. Дальнейтаее развитые идвй на конкретных примерах ной нулю всюду вне его, то пределы интегрирования можно раа- двинуть до бесконечности без изменения реаультата. Тогда т Р(х)=- ~ (и) (ех ~ — ( ( ") -~- ( '+") ) ~) сту, (3.21) где 1 для — Ь<у~(Ь, О для ( у () Ь.
Допустим теперь, что в качестве бг (у) взята функция Гаусса ~ (У) = е-иа/зье (3. 22) Эта функция имеет вид, указанный на фиг. 3.4; эффективная ширина кривой связана с параметром Ь. Для такой функции приблизительно две трети всей площади под ней лежат между точками — Ь и +Ь. Ф и г. 3.4. Вид гауссоиой фуииции 6 (р) = е "Где . ~норма кривой та же самая, что и у нормального распределения со стандартным откло- неныем, равным С.
Мы не знаем, каким образом можно было бы технически осуществить такую гауссову щель для реализации нашего мысленного эксперимента. Однако здесь нет принципиальной трудности: просто налицо ситуация, .когда в момент времени Т частицы распределены вдоль оси х с относительной амплитудой вероятности, пропорциональной функции 6 (у) (относительная вероятность пропорциональна [6 (у)]'). Если бы частицы двигались классическим образом, то мы ожидали бы, что по истечении времени т они будут распределены вдоль оси х так же, как и раныпе, но с новым центром распределения на расстоянии хт от точки х у 2. Дну)ронцил яри ярояоаедеиии через и(ель и с большей шириной Ь„определяемыми равенствами х,=( — *о)т, Ь,=Ь(4+ т) (3.23) как покааано на фиг.
3.5. Ф и г. 3.5. Траектории частиц, движущихся сквовь гауооову щель. Коля чаетлцы 'подчиняются нлаоенчееннм занонам двяження, то нх раепределеняе в момент времени Т + т будет иметь тот же самый ввд, что и в момент времени Т. Разлнчне состояло бы тольао в велнчнне ушнрення, пройорцнонагтьного времени пролЪ- та частиц. Харантернетячееная шнрнна раепределення (т. е. ширина на половнне выеоты пнна.
— Реб.) будет воараетать от значении 2Ь до 2Ь„ где Ь, = Ь (Т + т)/Т. В дейетвнтельноетн ширина в случае нвантовомеханнчеоного двягненяя будет больше унааанной. В случае такой гауссовой щели выражением для амплитуды будет т()(х)= ~ . — .(охр (2Л ( — р Т )+ -+ 'ж ( — — -)- — о) р+ ( — „+ — „— —,) р~~ ) г(р. (3.24) Этот интеграл, подынтегральная функция которого имеет вид ехр (ах'+ рх), можно вычислить, дополняя покааатель экспоненты до полного квадрата: О (ехр(ах~+Рх)) ((х= ~/ ~ ехр( — 4 ) длЯ Ве(а) <О. (3.25) 4 Гл.
8. Дальнейшее раееитие идей на конкретных примерах Таким образом, амплитуда становится равной р(з) = ~/' —,",„~тт( —,'+ — '+ —,",' Ц '*Х Г й~ / хе хо е) (~т/З)е ( — х/к+ха/Т)е Классическая скорость при движении от начала координат до центра щели есть по=ха/Т. Подставив это в последнее равенство и сгруппировав некоторые члены, получим следующее выражение для амплитуды: ~ехр ~2л ("о7+ . )+ ( /в)(/т+г/.) 1/ье) 1. Рассмотрим сначала относительную вероятность достижения частицей различных точек оси л. Эта вероятность пропорциональна квадрату модуля амплитуды. Заметим, что модуль экспоненты с мнимым показателем равен единице. Выделяя действительные части во втором сомножителе и в показателе последней экспоненты выражения (3.27), получаем Здесь применялась подстановка Как мы и ожидали, распределение оказывается гауссовым с центром в точке л, = рот, определяемой соотношением (3.23), однако втирина распределения Лх больше той величины Ьы которая следует из этого соотношения.
Интерпретировать это можно следующим образом. Пусть а, и а, — две независимые величины и их среднеквадратичные отклонения от средних значений составляют соответственно а, и аю Тогда если ае — — аь + аю то среднеквадратичное отклонение величины ае от ее среднего значения равно ае — — (а,' + а,')Ые. Далее, для какого-либо распределения среднеквадратичное отклонение является мерой его протяженности, или шириной этого распределения, и для гауссова распределения ехр ( †/2Ь') величина среднеквадратичного отклонения действительно равна Ь. Таким образом, мы видим, что в данном случае квантовомеханическая система ведет себя так, как если бы она обладала дополнительной случайной переменной л„ среднеквадратичное х 2.
Дифраиция ири прохождении нерее щель отклонение которой составляет Йх Лхь — — — . ть (з.зо) Связанный с шириной щели параметр 2Ь мы могли бы рассматривать как меру неопределенности координаты частицы в момент ее прохождения сквозь щель. Если обозначить эту неопределенность через бх и записать произведение то как импульс р, то выражение (3.31) приобретает вид брбх=2й.
(3.32) Мы снова пришли к одной из формулировок принципа неопределенности; хотя в классическом смысле скорость могла быть известна точно, последуеощее положение частицы приобретает такуго дополнительную неопределенность, как если бы частица при прохождении сквозь щель ширины бх получала случайный импульс бр. Если бы для качественного описания результатов квантовой механики использовались классические понятия, то мы бы сказали, что точное определение положения порождает неопределенность в импульсе. Что за множитель появляется перед экспонентой в выражении (3.28)2 Если проинтегрировать это выражение по всей области изменения х от — оо до +со, то в результате получим Р(для всех х) = — 2 вп Б~l я. (з.зз) Эта величина есть, очевидно, вероятность того, что частица проходит сквозь щель, так как при интегрировании включаются те и только те частицы, которые действительно прошли сквозь Физический смысл имеет именно это дополнительное уширение Лх„а ие сама переменная х,.
Поскольку в этом члене появляется константа й, ясно, что по природе своей он — квантовомеханический. Такой член является существенным в случае узких щелей и частиц с малой массой. Итак, квантовая механика говорит нам, что после прохождения малых частиц сквозь узкую щель возникает неопределенность в их последующем положении.
Эта неопределенность Лх, пропорциональна интервалу времени т между прохождением частицы сквозь щель и последующим наблюдением ее положения. Вводя классическое понятие скорости, мы должны сказать, что прохождение частицы сквозь щель создает в значении ее скорости неопределенность, величина которой равна бо= — . в тд ' (3.31) 66 Гл. 8. Дальнейшее раеешкие идей на конкретных нримерах щель.
Существует и другой способ получения этого результата. Предположиьт, что мы знаем квадрат модуля ядра К (хе + + у, Т; О, 0), составляющего вторую половину подынтегрального выражения (3.20). Это есть не что иное, как отнесенная к единице длины вероятность попадания частицы в точку щели хо+у (3.34) 1 (хо + У) "У = 2твг "У Эта вероятность в пределах щели не зависит от координаты; следовательно, умножив ее на втирину этой щели, мы получили бы полную вероятность попадания частицы в щель.
Это означает, что эффективная ширина гауссовой щели равна Ь )/я. Если бы мы использовали первоначальную щель с резкими границами, то эффективная ширина получилась бы равной 2Ь. Задача 8.8. Возведя в квадрат амплитуду, заданную выражением (3.20), и интегрируя затем по х, покажите, что вероятность прохождения частицы сквозь нашу первоначальную щель (3.35) Р(пройти сквозь щель) = „2Ь. В ходе решения атой задачи появится-интеграл е"" е(х, (3.36) который является интегральным представлением дираковской б-функции Ь (а) '). Таким образом, квантовомеханические реаультаты согласуются с представлением о том, что вероятность прохождения частицы сквозь щель равна вероятности попадания этой частицы в щель.
Импульс и энергия. Убедимся теперь еще раз в том, что когда импульс частицы известен точно, соответствующая ей амплитуда изменяется как ега . Для этого вернэмся к подробному изученшо амплитуды, заданной выраитеннем (3.26). 11а этот раз попытаемся создать в нашем эксперименте такие условия, чтобы скорость частиц после прохождения щели была известна настолько точно, насколько это возможно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
