Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Это было показано Гейзенбергом, Бором, Борпом, ~еймапоьг и многими другими физиками на примере огромного количества частных случаев. Однако, несмотря на все эти исследования, нельзя считать доказанным, что такие противоречия никогда ке смогут возникнуть. По этой причпне квантовая механика кажется новичку трудной и до некоторой степени таинственной дисциплиной. Тайна постепенно уменьшается по мере того, как разбирается все болыпее число примеров, но никогда не исчезает полностью ощущение, что у этого предмета есть что-то необычное.
д. Над чем мое следует задумать Существует несколько проблем, связанных с интерпретацией, над которыми можно было бы еще поработать. Эти проблемы трудно изложить, пока опи еще полностью не разработаны. Одна из них — это доказать, что вероятностная интерпретация функции гр является единственной последовательпой интерпретацией этой величины. Мы и наши измерительные средства составляем часть природы и, следовательно, должны в принципе описываться функцией, удовлетворяющей детерминистскому уравнению. Почему же мы можем предсказать лишь вероятность того, что данный акснеримент приведет к некоторому определенному реаультату? Откуда возникает неопределенность? Почти нет сомнения, что она возникает из необходимости усиливать эффекты одиночпых атомных событий до уровня, доступного наблюдению с помощью больших систем.
Детали же должны изучаться только на основе предположения, что ~ ф ~ ' есть вероятность, а последовательность этой гипотевы уже доказана. Было бы интересно показать, что нельзя предложить никакого другого последовательного истолкования этой величины. Другие вопросы, которые можно было бы изучать, связаны с теорией познания.
На первый взгляд кажется, что в нашем описании мира нет симметрии по оси времени, и наше знание прошлого качественно отличается от знания будущего. Почему нам доступна только вероятность будущего события, в то время как достоверность прошедшего события часто может считаться очевидной? Эти вопросы следует проанализировать более тщательно.
Впрочем, чтобы внести ясность, может быть, стоит сказать несколько больше. Видимо, здесь мы снова сталкиваемся с последствиями макроскопических размеров нас самих и наших приборов. На самом доле не должно быть обычного разделения на наблюдаемого и наблюдателя, применяемого нами сейчас при анализе измерений в квантовой механике; этот вопрос требует обстоятельного научения. Что, по-видимому, действительно нужно,— это статистическая механика макроскопических приборов, усиливающих изучаемый аффект. В сущности изучение таких вопросов представляет собой предмет философии; для дальнейшего развития физики в нем нет необходимости.
Мы знаем, что у нас есть последовательная интерпретация функции ~р и что она, почти несомненно, является единственной. Задачей сегодняшнего дня представляется открытие законов, описывающих поведение функции ~р в случае явлений с участием мезонов и атомных ядер.
Интерпретация функции ф представляет интерес, однако значительно более интригующим является вопрос: какие изменения в наших представлениях потребуются для того, чтобы мы смогли изучать явления внутриядерных масштабов? Га. 1. Основные идеи квантовой механики у 6. Пель этой всннгн Выше мы установили форму, в которой следует выражать законы квантовой механики, т. е. ввели амплитуду вероятности и в общих чертах наметили путь к ее вычислению. Однако возможны и другие формулировки. При более привычном подходе к квантовой механике амплитуду вероятности вычислягот, решая волновое уравнение определенного типа.
В случае частиц с малой скоростью оно называется уравнением Шредингера. Более точным уравнением, справедливым и для тех электронов, чья скорость сколь угодно близка к скорости света, является уравнение Дирака. В этом случае амплитуда вероятности представляет собой некоторое гиперкомплексное число. В нашей книге мы не будем рассматривать уравнение Дирака и не будем также исследовать эффекты, связанные со спином. Вместо этого ограничим свое внимание электронами низких энергий и немного продвинемся в направлении квантовой электродинамики путем изучения фотонов — частиц, поведение которых определяется уравнениями Максвелла.
Правила вычисления амплитуды вероятности для нерелятивистских задач мы выводим в этой книге несколько непривычным способом. Иногда, особенно при первом знакомстве с основами квантовой механики, этот способ может быть более предпочтителен; в других же случаях, например при выполнении расчетов в простых задачах и при изучении уже имеющейся литературы, он не дает преимуществ. Традиционному подходу, основанному на уравнении Шредингера, посвящено уже много книг; взгляды же, которые будут изложены ниже, представлены лишь в сокращенном виде в нескольких журнальных статьях [11. Главная цель нашей книги— собрать работы, выполненные в этом направлении, в один том, где их можно изложить достаточно ясно и подробно.
Такая книга оказалась бы полезной для студентов, интересующихся этими вопросами, Чтобы остаться в разумных границах, мы не будем делать полного построения квантовой механики. Вместо этого всякий раз, когда дальнейшее разъяснение лучше всего было бы проводить с помощью обычных аргументов, имеющихся в других книгах, мы будем отсылать читателя к этим источникам. Вследствие такой неполноты наша книга не является замкнутым учебником по квантовой механике. Она может служить лишь введением в ее основные понятия и должна использоваться совместно с другой книгой, где излагались бы уравнение Шредингера, матричная механика и различные приложения квантовой механики.
6. Цель иной книги 37 С другой стороны, освободившееся место мы используем для рассмотрения приложений применяемых в квантовой механике математических методов к другим областям физики. Отыскание строгого метода вычисления амплитуд вероятностей процессов с участием таких (представляющихся сейчас более слоя<ными) частиц, как нуклоны и меаоны, является задачей будущего. Конечно, моя<но надеяться, что после открытия неизвестных нам еще законов мы получим возможность вычислять амплитуды для любых процессов.
Однако сегодняшняя ситуация, видимо, не аналогична той, которая предшествовала появлению квантовой механики. В двадцатые годы многие предполагали, что неправильными являются фундаментальные теоремы н концепции классической механики, поскольку в то время существовало много парадоксов. Общие законы могли быть получены независимо от рассматривавшихся конкретных сил. Некоторые из этих законов оказались несправедливыми. Например, налюдая спектральная линия указывала на наличие в атоме отдельной степени свободы; при температуре Т каждая такая степень свободы должна была бы иметь энергию 7еТ и вносить вклад А в общую удельную теплоемкость.
Однако столь высокая удельная теплоемкость, которую можно было ожидать в соответствии с огромным числом известных спектральных линий, на опыте не проявлялась. В настоящее время представляется правильной любая общая закономерность, которую (как, например, свойства углового момента) мы в состоянии вывести непосредственно из принципа суперпозиции амплитуд вероятности. В то л'е время детали взаимодействий все еще ускользают от нас. Зто наводит на мысль, что амплитуды вероятности будут существовать и в будущей теории, однако метод их вычисления может оказаться для нас весьма необычным, Глава 2 КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИП ЗАНОЯ ДВИЖЕНИЯ В этой главе мы намерены заверпгить построение нерелятивистской квантовой механики, начатое нами в гл. 1. Мы уже отметили, что для каждой траектории существует своя амплитуда вероятности; теперь мьг установим вид этой амплитуды.
Для простоты ограничимся пока случаем одномерного движения частицы. Пусть ее положение в любой момент времени г может быть определено координатой х; под траекторией будем понимать тогда функцию х (1). Если частица в начальный момент времени с, начинает движение из точки х, и приходит в конечную точку хь в момент времени гю то будем просто говорить, что частица движется из а в Ь, а функция х (г) обладает свойством х (г,) = х„х (гь) = — хь. Тогда в квантовомеханическом описании получим амплитуду вероятности перехода из точки а в точку Ь, называемую обычно ядром, которую обозначим через К (Ь, а). Эта амплитуда будет суммой вкладов от всех возможных траекторий между точками а и Ь в противоположность классической механике, где две точки соединяет одна и только одна так называемая классическая траектория.
Последпюю будем обозначать как х (г). Прежде чем перейти к формулировке законов для квантовомеханического случая, вспомним ситуацию, которая имеет место в классической механике. у 1.,ц'емежеие е классической механике Одним из наиболее изящных способов выразить условия, выделяющие из всех возможных траекторий определенную траекторию х (Г), является принцип наименьшего действия.
Допустим, что существует некоторая величина о', которую можно вычислить для каждой траектории. Классическая траектория х — это та, для которой о принимает минимальное значение. Фактически используют только условие экстремальности действия; иными словами, аначение о в первом приближении не изменится, если незначительно отступить от траектории х (г). 39 К 1. Дейппсие е ккассичссксй механике Величина Я задается выражением "ь Я= ~ Х (х, х, с) Ю, (2.1) где Х вЂ” лагранжиан системы. Для частицы с массой т, движу- щейся в потенциальном поле к' (х, г), которое является функцией координаты и времени, лагранжиан запишется как Х =- — х' — У(х, 1).
(2.2) Вид экстремальной траектории х (1) находится с помощью обычных вариационкых методов. Допустим, например, что траектория отличается от х на величину бх (с). Условие того, что конечные точки траектории х фиксированы, требует, чтобы бх (д,) = бх (Гь) = О. (2.3) Условие экстремальности для Я, соответствующего классической траектории х, означает, что 6Я=Я[х+бх) — Я[х) =О (2.4) с точностью до первого порядка малости по бх. Используя определение (2.1), мы можем далее написать сь Я [х+ бх) =- ~ Х, (х+ бх, х+ бх, 8) Ж = са сь = ~ [ Х, (х, х, Е) + бх —, + бх — ] се с = Са дх 'ь = Я [х! + ~ ( бх —. + бх — ) с[к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
