Р. Фейнман, А. Хибс - Квантовая механика и интегралы по траекториям (1120470), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Р. Фейнман А. Хибс Глава й ОСНОВНЫЕ ИДЕИ НВАНаОВОИ МЕХАНИКИ р л. Вероятность в квантовой леезсаникех) В первые десятилетия нашего века экспериментальная физика накопила внушительное количество странных результатов, не укладывавшихся в прежние (классические) представления. Попытки теоретически объяснить новые явления привели сначала к замешательству, поскольку оказалось, что свет и электроны иногда ведут себя как волны, а иногда — как частицы.

Кажущаяся несовместимость этих свойств была полностью устранена в 1926 †19 гг. в теории, названной квантовой механикой. Новая теория утверждала, что существуют эксперименты, точный результат которых в принципе не может быть предскааан, и что в этих случаях следует удовлетвориться вычислепием вероятностей различных возможных исходов. Но гораздо более важным оказалось открытие того, что сложение вероятностей в природе происходит не по законам классической теории Лапласа. Квантовомеханические законы физического мира становятся очень близкими к ааконам Лапласа лишь по мере того, как увеличивается размер объектов, участвующих в эксперименте.

Поэтому обычная теория вероятности вполне подходит для анализа поведения колеса рулетки, но не для рассмотрения отдельного электрона или фотона. Мысленный эксперимент. Само понятие вероятности в квантовой механике не изменяется. Когда мы говорим, что вероятность определепного исхода опыта есть р, то вкладываем в зто обычный смысл: при многократном повторении эксперимента ожидается, что относительное число опытов с интересующим иас исходом составит приблизительно р. Мы не будем вникать в подробности этого определения; никаких изменений понятия вероятности, принятого в классической статистике, нам не потребуется, Зато придется радикально изменить способ вычисления вероятностей.

Последствия этого изменения оказываются наиболее значительными, когда мы имеем дело с объектами атомных размеров; поэтому будем иллюстрировать законы квантовой механики описанием реаультатов мысленных экспериментов с отдельным электроном. ') Ббльшая часть материала этой главы первоначально представляла собой лекцию д-ра Фейнмана и была опубликована под названием «Концепция вероятности в квантовой механиксе в ~26р 14 Гл.

в. Ооновные идеи квантовой механики Фвт. 1.1 поясняет наш воображаемый опыт. В точке А расположен источник электронов Я. Все электроны вылетают из этого источника с одной и той же энергией в направлении экрана В. Этот экран имеет отверстия 1 и 3, через которые могут проходить электроны. Наконец, за экраном В в плоскости С расположен детектор электронов, который можно помещать на различных расстояниях х от центра экрана. Если детектор очень чувствителен (например, счетчик Гейгера), то мы обнаружим, что достигающий точки з ток не непрерывен, а является как бы дождем из отдельных частиц.

При малой д В с Ф и г. 1А. Схема эксперимента. иопуоиаемые в точке я элеитровы летят н детектор, раеположеннмй ва енране с между я в с помещен экран В о двумя Отверстиями г и в, детектор регистрирует каждый пошщающнй н него электрон; вамеряетея отноонтельвое число электровоэ, которые попадают н детектор, когда тот раеположен на раоотоанни х от экрана С, и етровтея кривая эаеиоимоети чиела отсчетов от х, предетаеленвая ва елг. 1.2. интенсивности источника Б детектор зарегистрирует импульсы, свидетельствующие о попадании отдельных частиц, причем эти импульсы будут разделены промежутками времени, в течение которых в детектор ничего не попадает.

Именно поэтому мы' и считаем электроны частицами. Если бы мы расположили детекторы сразу по всему экрану, то в случае очень слабого источника Я сначала сработал бы только один детектор, потом через небольшой промежуток времени появление электрона аарегистрировал бы другой детектор и т. д. При этом ни один детектор не может сработать «наполовину»: либо электрон попадает в него целиком, либо вообще ничего не происходит. Никогда не срабатывали бы и два детектора одновременно (за исключением случаев совпадения, когда за время, меньшее разрешающей способности детекторов, источник испускает два электрона — событие, вероятность которого можно уменьшить дальнейшим ослаблением интенсивности источника). Другими словами, детектор на фиг.

1.1 регистрирует некоторый одиночный корпускулярный объект, пролетающий от источника Ю до точки х через отверстие в экране В. р 1. Вероятность е яеантоеой механике Этот опыт никогда не был поставлен именно таким образом. Некоторые эксперименты, непосредственно иллюстрирующие наши дальнейшие выводы, действительно проиаводились, но они, как правило, оказываются значительно более сложными. Иа соображений наглядности мы предпочитаем отбирать эксперименты, наиболее простые в принципиальном отношении, и не обращаем внимания на реальные трудности их выполнения. Между прочим, в подобном опыте вместо электронов можно использовать свет; это ничего бы не изменило.

Источником Я мог быть источник монохроматического света,,а чувствительным а б с йг Ф и г. 1.2. Ревультаты энспериыевтв. Вероятность попаданвя электронов в точку х представлена нан Функция положения детектора х. Кривая с — рееультат онсперимента, воображенного на Фиг. 1.1. Случаю, когда открыто только отверстие 1 в елевтроны могут пролетать тольно через сто отверстие, соответствует кривая ь; открытому отверствю с соответствует кривая с Веля предполагать, что каждый елентрон проводит тольно синова одно отверстие ва двух, то в случае, когда отярыты оба отверстия, мы должны были бы получать нривую й = ь + с. это существенно отличается от кривой а, которую мы получаем в действительности.

детектором — фотоэлемент (или, еще лучше, фотоумножитель), который регистрировал бы импульсы, возникающие в нем при попадании одного фотона. Величина, измеряемая нами при различных положениях детектора я,— это число импульсов за Ф сек. Другими словами, мы будем экспериментально определять (как функцию я) вероятность Р того, что вылетевший из источника Я электрон попадет в точку х. График этой вероятности (как функции от х) представляет собой сложную кривую, которую в общих чертах передает фиг. 1.2, а.

Эта кривая имеет несколько максимумов и минимумов, причем вблизи центра экрана существуют участки, куда электроны почти никогда не попадают. Объяснить, почему эта кривая имеет такой вид, и является задачей физики. Мы могли бы сначала предположить (поскольку электроны ведут себя как частицы), что: 16 Гл. 1. Основные идеи квантовой механики а) каждый электрон, летящий из источника Я в точку л, должен проходить либо через отверстие 1, либо через отверстие 2; исходя из этого предположения, мы ожидали бы, что б) вероятность Р попадания в точку х является суммой двух слагаемых: вероятности Р, попасть в эту точку через отверстие 1 и вероятности Рэ попасть в эту же точку через отверстие 2. Так ли это, можно выяснить непосредственно на опыте. Каждая из слагаемых вероятностей легко определяется: просто закроем отверстие 2 и подсчитаем число попаданий в точку л, когда открыто только лишь отверстие 1.

Это даст нам вероятность Р, попадания в точку х электронов, пролетевп(их через отверстие 1. Результат изображается кривой Ь на фиг. 1.2. Аналогично, закрывая отверстие 1,найдем вероятность Р, попадания в точку х через отверстие 2 (кривая с на фиг. 1.2). Сумма этих вероятностей (кривая ()), очевидно, не совпадает с кривой а. Следовательно, эксперимент ясно говорит нам о том, что Р ~ Р( + Р„или что утверждение б) ошибочно. Амплитуда вероятности.

Вероятность попадания электрона в точку х, если открыты оба отверстия, не равна сумме вероятностей попадания, когда открыты только первое или только второе Ф и г. 1.3. Аналогичный эксперимент с интэр$ервнцией волн. сложная кривая а на Фяг. 1,2, совпадает е распределением интенсивности 1 (х) волн, которые, выйдя иа источника Я и пройдя череа оба отверстии, достигли бы тачки х. В некоторых точках х часть волн в реаультате янтерсереяции вааимопогашаетея (например, гребень волны, вышедшей яв отверстия 1, приходит в точку х в тот же самый момент, что и впадина волны иа отверстия а); в других же точках интераереяция усиливает волны.

В целом па кривой интенсивности Г (х) воанипают сложные макеямумы н минимумы. отверстие. В действительности кривая Р (х) нам хорошо знакома, поскольку она точно совпадает с распределением интенсивности при интерференции волн, которые, распространяясь от источника Я, проходят через оба отверстия и падают на экран С (фиг. 1.3). Амплитуды волн удобнее всего изображать комплексными числами. Заметив это, мы можем сформулировать правило Е. ВероятностЬ е кеантоеой механике 17 для определения Р (х) в строгой математической форме: Р (х) представляет собой квадрат модули некоторой комплексной величины ер (х), которую мы назовем амплитудой вероятности попасть в точку х (если учитывается спин электрона, то это гиперкомплексная величина).

Далее, ф (х) равна сумме двух вкладов; амплитуды ф, пападания в точку х через отверстие 1 и амплитуды ф, попадания в ту же точку через отверстие 2. Другими словами, в) существуют комплексные числа ф, и ф„такие, что Р=~ф(е, (1Л) ф ф!+фз (!.2) и ! ! )фе! Р2!фзбн (1.3) В последующих главах мы подробно рассмотрим конкретное вычисление ф! и ф,. Сейчас же мы только укажем, что,например, амплитуду ф, можно найти как решение волнового уравнения, описывающего распространение волн от источника Я до точки 1 и из точки 1 в точку х.

Характеристики

Список файлов книги